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>Modelo

ID:(1647, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La temperatura reducida es una escala normalizada que se calcula utilizando dos temperaturas de referencia, con el objetivo de obtener valores entre 0 y 1.

Por lo tanto, utilizando $T_0$ como temperatura base, $T_r$ como rango de temperaturas y $T$ como la temperatura en cuestión, se puede definir la temperatura reducida como:

$\tau = \displaystyle\frac{ T - T_0 }{ T_r }$

Condiciones

Variables

$T$

Temperatura

$K$

9343

$T_0$

Temperatura base

$K$

9345

$T_r$

Temperatura de referencia

$K$

9344

$\tau$

Temperatura reducida

$-$

9346

Relación

ID:(12350, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La presión reducida es una escala normalizada que se calcula utilizando dos presiones de referencia, con el objetivo de obtener valores entre 0 y 1.

Por lo tanto, utilizando $p_0$ como una presión base, $p_r$ como el rango de presiones y $p$ como la presión en cuestión, se puede definir la presión reducida como:

$\pi = \displaystyle\frac{ p - p_0 }{ p_r }$

Condiciones

Variables

$p$

Presión

$Pa$

9347

$p_0$

Presión de base

$Pa$

9349

$p_r$

Presión de referencia

$Pa$

9350

$\pi$

Presión reducida

$-$

9348

Relación

ID:(12351, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La salinidad reducida es una escala normalizada calculada utilizando una salinidad de referencia para obtener valores alrededor de 1.

Por lo tanto, utilizando $i_r$ como el rango de salinidad y $i$ como la salinidad en cuestión, se puede definir la salinidad reducida como:

$\xi = \sqrt{ \displaystyle\frac{ i }{ i_r } }$

Condiciones

Variables

$i$

Salinidad

$-$

9352

$i_r$

Salinidad de referencia

$-$

9353

$\xi$

Salinidad reducida

$-$

9351

Relación

ID:(12352, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para el cálculo de los distintos parámetros, es necesario ser capaz de derivar el potencial de Gibbs, lo cual implica analizar las pendientes de dicha función en términos de presión o temperatura.

En general, los factores del potencial de Gibbs se definen como $g_x$, donde $x$ representa la variable y $g$ representa la energía libre molar de Gibbs, de la siguiente manera:

$g_x =\displaystyle\frac{\partial g }{\partial x }$

Condiciones

Variables

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$g_x$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9357

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

Relación

ID:(12356, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para el cálculo de varios parámetros, es necesario poder derivar el potencial de Gibbs en segundo orden, lo que implica considerar las curvaturas de dicha función en términos de la presión y/o temperatura.

En general, los factores del potencial de Gibbs se definen de la siguiente manera:

$g_{xy} =\displaystyle\frac{\partial^2 g }{\partial x \partial y }$

Condiciones

Variables

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

$g_{xy}$

Segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9358

$y$

Segunda variable termodinámica

$-$

9355

Relación

ID:(12357, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La densidad de la energía libre de Gibbs, es decir, la energía libre específica de Gibbs, en función de la temperatura y la presión $g(T,p)$, se puede expresar como un polinomio en la temperatura reducida $\tau$ y la presión reducida $\pi$, que se escribe de la siguiente manera:

$\displaystyle\frac{ g^w(T,p) }{ g_r } = \displaystyle\sum_{j=0}^7\displaystyle\sum_{k=0}^6 g_{jk} \tau ^ j \pi ^ k$

Condiciones

Variables

$g_r$

Energía libre de Gibbs molar de referencia

$J/mol$

9379

$g_w$

Energía libre de Gibbs molar del agua

$J/mol$

9341

$\pi$

Presión reducida

$-$

9348

$\tau$

Temperatura reducida

$-$

9346

Relación

Desarrollo

La ecuación de la energía específica de Gibbs en función de la temperatura y presión, $g(T,p)$, se puede expresar como un polinomio en la temperatura reducida $\tau$

$\tau = \displaystyle\frac{ T - T_0 }{ T_r }$

y la presión reducida $\pi$

$\pi = \displaystyle\frac{ p - p_0 }{ p_r }$

que se puede escribir como

$\displaystyle\frac{ g^w(T,p) }{ g_r } = \displaystyle\sum_{j=0}^7\displaystyle\sum_{k=0}^6 g_{jk} \tau ^ j \pi ^ k$

donde $g_r$ es el valor de la energía específica de Gibbs para la temperatura y presión de referencia.

ID:(12349, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para tener en cuenta la energía libre específica de Gibbs del agua oceánica, es necesario considerar la parte de la energía específica de Gibbs que corresponde al efecto de la salinidad como función de la temperatura y presión, $g(T,p,i)$. Esto se puede expresar como un polinomio en la temperatura reducida $\tau$, la presión reducida $\pi$ y la salinidad reducida $\xi$, que se calcula de la siguiente manera:

$\displaystyle\frac{ g^i (T,p,i) }{ g_r } = \displaystyle\sum_{j=0}^7 \displaystyle\sum_{k=0}^6 \left( g_{1jk} \xi^2 \ln \xi +\displaystyle\sum_{i=2}^7 g_{ijk} \xi^i \right) \tau ^ j \pi ^ k$

Condiciones

Variables

$g_i$

Energía libre de Gibbs molar de la sal

$J/mol$

9342

$g_r$

Energía libre de Gibbs molar de referencia

$J/mol$

9379

$\pi$

Presión reducida

$-$

9348

$\xi$

Salinidad reducida

$-$

9351

$\tau$

Temperatura reducida

$-$

9346

Relación

Desarrollo

Para considerar la energía libre específica de Gibbs del agua oceánica, se necesita tener en cuenta la parte de la energía libre específica de Gibbs que corresponde al efecto de la salinidad en función de la temperatura y la presión, $g(T,p,i)$. Esto se puede expresar como un polinomio en la temperatura reducida $\tau$,

$\tau = \displaystyle\frac{ T - T_0 }{ T_r }$

la presión reducida $\pi$,

$\pi = \displaystyle\frac{ p - p_0 }{ p_r }$

y la salinidad reducida $\xi$,

$\xi = \sqrt{ \displaystyle\frac{ i }{ i_r } }$

que se calcula de la siguiente forma:

$\displaystyle\frac{ g^i (T,p,i) }{ g_r } = \displaystyle\sum_{j=0}^7 \displaystyle\sum_{k=0}^6 \left( g_{1jk} \xi^2 \ln \xi +\displaystyle\sum_{i=2}^7 g_{ijk} \xi^i \right) \tau ^ j \pi ^ k$

donde $g_r$ es el valor de la energía específica de Gibbs para la temperatura y presión de referencia.

ID:(12353, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía libre específica de Gibbs del océano se puede calcular como la suma de la energía libre específica de Gibbs del agua $g_w(T,p)$ y la energía libre específica de Gibbs de la sal $g_i(T,p,i)$:

$g(T,p,i) = g^w(T,p) + g^i(T,p,i)$

Condiciones

Variables

$g_i$

Energía libre de Gibbs molar de la sal

$J/mol$

9342

$g_w$

Energía libre de Gibbs molar del agua

$J/mol$

9341

$g$

Energía libre de Gibbs molar del océano

$J/mol$

9340

Relación

donde la última depende de la salinidad $i$.

ID:(12354, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La derivada de la energía libre de Gibbs $G$ con respecto a la presión $p$ es igual al volumen $V$. Por lo tanto, al dividir la energía libre de Gibbs por la masa, obtenemos la energía libre específica de Gibbs $g$. De manera similar, al realizar esta operación con el volumen, obtenemos el inverso de la densidad $\rho$. Por lo tanto, la relación entre la derivada de la energía libre de Gibbs y la densidad se expresa de la siguiente manera:

$\rho =\displaystyle\frac{1}{ g_p }$

Condiciones

Variables

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

9371

$g_p$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la presión

$m^3/mol$

9364

Relación

Desarrollo

La derivada de la energía libre de Gibbs $G$ con respecto a la presión $p$ es igual al volumen $V$:

$DG_{p,T} = V$

Si dividimos la ecuación por la masa, obtenemos la misma relación pero con la energía libre específica de Gibbs $g$ y la densidad $\rho$:

$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial p}=\displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\frac{\partial G}{\partial p}=\displaystyle\frac{V}{M}=\displaystyle\frac{1}{\rho}$

Es decir,

$\rho =\displaystyle\frac{1}{ g_p }$

ID:(12355, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La derivada de la energía libre de Gibbs $G$ con respecto a la temperatura $T$ es igual a menos la entropía $S$. Por lo tanto, si dividimos la energía libre de Gibbs $G$ por la masa $M$, obtenemos la energía libre específica de Gibbs $g$. De manera similar, al realizar esta operación con la entropía, obtenemos la entropía específica $s$. Por lo tanto, la relación entre la derivada de la energía libre de Gibbs y la entropía se expresa de la siguiente manera:

$s = - g_T$

Condiciones

Variables

$s$

Entropía molar

$J/mol K$

9375

$g_T$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la temperatura

$J/mol K$

9365

Relación

Desarrollo

La derivada de la energía libre de Gibbs $G$ con respecto a la temperatura $T$ es igual a menos la entropía $S$:

$DG_{T,p} =- S$

Si la dividimos por la masa, obtenemos la misma relación pero con la energía libre de Gibbs molar $g$ y la entropía molar $s$:

$\displaystyle\frac{\partial g}{\partial T}=\displaystyle\frac{1}{M}\displaystyle\frac{\partial G}{\partial T}=\displaystyle\frac{S}{M}=s$

En otras palabras,

$s = - g_T$

ID:(12358, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La entalpía específica $h$ se puede calcular a partir de la energía libre específica de Gibbs $g$ y su derivada $g_T$ mediante:

$h = g - T g_T$

Condiciones

Variables

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$h$

Entalpía molar

$J/mol$

9374

$g_T$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la temperatura

$J/mol K$

9365

$T$

Temperatura

$K$

9343

Relación

Desarrollo

Dado que la energía libre de Gibbs es

$H = U + p V$

podemos despejar la entalpía utilizando

$G = H - T S$

lo cual nos da

$H = G + TS = G - T\displaystyle\frac{\partial G}{\partial T}$

Si dividimos la ecuación por la masa, obtenemos la versión específica:

$h = g - T g_T$

donde $T$ es la temperatura.

ID:(12359, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía interna específica $u$ se puede calcular a partir de la energía libre específica de Gibbs $g$ y sus derivadas en temperatura $g_T$ y presión $g_p$ mediante:

$u = g - T g_T - p g_p$

Condiciones

Variables

$u$

Energía interna molar

$J/mol$

9373

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$p$

Presión

$Pa$

9347

$g_p$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la presión

$m^3/mol$

9364

$g_T$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la temperatura

$J/mol K$

9365

$T$

Temperatura

$K$

9343

Relación

Desarrollo

Dado que la energía libre de Gibbs es



podemos despejar la energía interna utilizando

$G = H - T S$

y

$G =-\displaystyle\frac{1}{ \beta }\ln Z +\displaystyle\frac{ V }{ \beta }\displaystyle\frac{\partial\ln Z }{\partial V }$

lo cual nos da

$U = G + TS + pV = G - T\displaystyle\frac{\partial G}{\partial T} - p\displaystyle\frac{\partial G}{\partial p}$

Si dividimos la ecuación por la masa, obtenemos la versión específica:

$u = g - T g_T - p g_p$

donde $T$ es la temperatura y $p$ es la presión.

ID:(12360, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La energía libre de Helmholtz específica $f$ se puede calcular a partir de la energía libre específica de Gibbs $g$ y sus derivadas en la presión $g_p$ mediante:

$f = g - p g_p$

Condiciones

Variables

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$f$

Energía libre de Helmholtz molar

$J/mol$

9372

$p$

Presión

$Pa$

9347

$g_p$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la presión

$m^3/mol$

9364

Relación

Desarrollo

Dado que la energía libre de Gibbs es



podemos despejar la energía libre de Helmholtz utilizando

$DG_{p,T} = V$

lo cual nos da

$F = G + pV = G - p\displaystyle\frac{\partial G}{\partial p}$

Si dividimos la ecuación por la masa, obtenemos la versión específica:

$f = g - p g_p$

donde $p$ es la presión.

ID:(12361, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La segunda derivada de la energía libre molar de Gibbs con respecto a la temperatura permite calcular el calor específico a presión del agua oceánica mediante

$c_p = - T g_{TT}$

Condiciones

Variables

$c_p$

Calor especifico a presión constante

$J/kg K$

9426

$g_{TT}$

Segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar respecto de la temperatura

$J/K$

9368

$T$

Temperatura

$K$

9343

Relación

Desarrollo

Con la energía específica de Gibbs del agua oceánica dada por:

$g(T,p,i) = g^w(T,p) + g^i(T,p,i)$

y con la segunda derivada correspondiente:

$g_{xy} =\displaystyle\frac{\partial^2 g }{\partial x \partial y }$

es posible estimar el calor específico a presión constante para una temperatura, presión y salinidad dadas. Se calcula mediante la siguiente expresión:

$c_p = - T g_{TT}$

ID:(12362, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El coeficiente de dilatación térmica se calcula como la derivada del volumen con respecto a la presión, dividida por el volumen. Dado que el volumen está relacionado con la derivada de la energía libre de Gibbs con respecto a la presión, podemos mostrar que:

$k_T = \displaystyle\frac{ g_{Tp} }{ g_p }$

Condiciones

Variables

$k_T$

Coeficiente de dilatación térmica

$1/K$

9361

$g_p$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la presión

$m^3/mol$

9364

$g_{Tp}$

Segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar respecto de la presión y temperatura

$m^3/Pa$

9370

Relación

Desarrollo

Como el coeficiente de dilatación se define mediante

$c ^2=\left(\displaystyle\frac{ \partial p }{ \partial \rho }\right)_ S$

se tiene que con la relación

$DG_{p,T} = V$

se puede calcular el coeficiente de dilatación mediante

$k_T=\displaystyle\frac{1}{V}D_T V=\displaystyle\frac{D_{pT} G}{D_p G}$

Si se multiplica y divide la expresión por la masa, se puede convertir la energía libre de Gibbs en energía libre específica de Gibbs, y la relación queda igual a

$k_T = \displaystyle\frac{ g_{Tp} }{ g_p }$

ID:(12363, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la derivada de la energía libre de Gibbs molar $g$ con respecto a la presión $p$ es igual al volumen $V$, podemos demostrar que la compresibilidad isotérmica es igual a:

$k_p =- \displaystyle\frac{ g_{pp} }{ g_p }$

Condiciones

Variables

$k_p$

Compresividad isotermica

$1/Pa$

9363

$g_p$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la presión

$m^3/mol$

9364

$g_{pp}$

Segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar respecto de la presión

$m^3/Pa$

9367

Relación

Desarrollo

Como el coeficiente de compresibilidad se define mediante

$k_p =-\displaystyle\frac{ DV_{p,T} }{ V }$

se tiene que con la relación

$DG_{p,T} = V$

se puede calcular el coeficiente de compresibilidad mediante

$k_p=\displaystyle\frac{1}{V}D_p V=\displaystyle\frac{D_{pp} G}{D_p G}$

Si se multiplica y divide la expresión por la masa, se puede convertir la energía libre de Gibbs en energía libre específica de Gibbs, y la relación queda igual a

$k_p =- \displaystyle\frac{ g_{pp} }{ g_p }$

ID:(12364, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la energía especifica de Gibbs del agua oceánica con energía libre de Gibbs molar de la sal $J/mol$, energía libre de Gibbs molar del agua $J/mol$ y energía libre de Gibbs molar del océano $J/mol$

y con la segunda derivada correspondiente con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera variable termodinámica $-$, segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y segunda variable termodinámica $-$

con la primera derivada correspondiente con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$

se puede estimar la compresibilidad isotermal que existe para una temperatura, presión y salinidad dadas. Con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$ se calcula mediante

ID:(12365, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado que la derivada de la energía libre específica de Gibbs, representada como $g$, respecto a la presión, representada como $p$, es igual al inverso de la densidad, representada como $\rho$, podemos demostrar que el coeficiente de contracción halina es igual a:

$k_i =- \displaystyle\frac{ g_{ip} }{ g_p }$

Condiciones

Variables

$k_i$

Coeficiente de contracción halina

$-$

9360

$g_p$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar en la presión

$m^3/mol$

9364

$g_{ip}$

Segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar respecto de la presión y salinidad

$m^3/Pa$

9369

Relación

Desarrollo

Dado que el coeficiente de contracción halina se define mediante la ecuación:

$k_i = -\displaystyle\frac{1}{ \alpha }\left(\displaystyle\frac{ \partial\alpha }{ \partial i }\right)_{ p , T }$

y considerando la relación:

$\rho =\displaystyle\frac{1}{ g_p }$

podemos calcular el coeficiente de compresibilidad utilizando:

$k_i=\displaystyle\frac{1}{\alpha}D_p \alpha=\displaystyle\frac{D_{ip} g}{D_p g}$

Por lo tanto, obtenemos:

$k_i =- \displaystyle\frac{ g_{ip} }{ g_p }$

ID:(12368, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la energía especifica de Gibbs del agua oceánica con energía libre de Gibbs molar de la sal $J/mol$, energía libre de Gibbs molar del agua $J/mol$ y energía libre de Gibbs molar del océano $J/mol$

y con las derivadas correspondientes con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$

se puede estimar el potencial químico que existe para una temperatura, presión y salinidad dadas. Con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$ se calcula mediante

ID:(12369, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la energía especifica de Gibbs del agua oceánica con energía libre de Gibbs molar de la sal $J/mol$, energía libre de Gibbs molar del agua $J/mol$ y energía libre de Gibbs molar del océano $J/mol$

y con la segunda derivada correspondiente con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera variable termodinámica $-$, segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y segunda variable termodinámica $-$

con la primera derivada correspondiente con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$

se puede estimar la compresibilidad isotermal que existe para una temperatura, presión y salinidad dadas. Con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$ se calcula mediante

ID:(12366, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la energía especifica de Gibbs del agua oceánica con energía libre de Gibbs molar de la sal $J/mol$, energía libre de Gibbs molar del agua $J/mol$ y energía libre de Gibbs molar del océano $J/mol$

y con la primera derivada correspondiente con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$

se puede estimar la compresibilidad isotermal que existe para una temperatura, presión y salinidad dadas. Con energía libre de Gibbs molar $J/mol$, primera derivada de la energía libre de Gibbs molar $J/mol$ y primera variable termodinámica $-$ se calcula mediante

ID:(12367, 0)