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>Modelo

ID:(1650, 0)

Ecuación

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La termodinámica es la ciencia de los 'pequeños pasos', donde se explora el comportamiento de un sistema físico realizando variaciones en las funciones conocidas. Para ello:

- Se determina de qué parámetros (por ejemplo, $x$ y $y$) depende una función, es decir, $f(x,y)$.
- Se varía cada uno de estos parámetros (por ejemplo, $dx$ y $dy$) e identifica la correspondiente pendiente de la variación.
- Se busca encontrar la relación entre la pendiente y las relaciones ya encontradas dentro de la termodinámica.

Matemáticamente, esto se expresa como :

$df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy$

Condiciones

Variables

$df$

Diferencial de la función termodinámica

$-$

9381

$dx$

Diferencial de la primera variable termodinámica

$-$

9382

$dy$

Diferencial de la segunda variable termodinámica

$-$

9383

$f$

Función termodinámica

$-$

9380

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

$y$

Segunda variable termodinámica

$-$

9355

Relación

La expresión

$D_{x,y}f\equiv\left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y$

corresponde a la pendiente en la dirección x sin variar las demás variables (en este caso, y). Se lee como 'derivada parcial de f respecto a x, manteniendo y constante'.

ID:(12388, 0)

Ecuación

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Para el cálculo de los distintos parámetros, es necesario ser capaz de derivar el potencial de Gibbs, lo cual implica analizar las pendientes de dicha función en términos de presión o temperatura.

En general, los factores del potencial de Gibbs se definen como $g_x$, donde $x$ representa la variable y $g$ representa la energía libre molar de Gibbs, de la siguiente manera:

$g_x =\displaystyle\frac{\partial g }{\partial x }$

Condiciones

Variables

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$g_x$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9357

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

Relación

ID:(12356, 0)

Ecuación

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Para el cálculo de varios parámetros, es necesario poder derivar el potencial de Gibbs en segundo orden, lo que implica considerar las curvaturas de dicha función en términos de la presión y/o temperatura.

En general, los factores del potencial de Gibbs se definen de la siguiente manera:

$g_{xy} =\displaystyle\frac{\partial^2 g }{\partial x \partial y }$

Condiciones

Variables

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

$g_{xy}$

Segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9358

$y$

Segunda variable termodinámica

$-$

9355

Relación

ID:(12357, 0)

Descripción

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Si consideramos la energía interna $U(V,S)$, esta depende de dos variables:

• El volumen $V$
• La entropía $S$

Por lo tanto, su variación puede ser expresada utilizando la relación:

en la forma:

$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S dV + \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V dS$

De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, sabemos que la variación de la energía interna $dU$ es igual a:



De esta manera, podemos concluir que las pendientes son la presión $p$:

$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S = -p$

y la temperatura $T$:

$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V = T$

ID:(12389, 0)

Descripción

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Para encontrar las relaciones, se introducen los llamados potenciales termodinámicos, que son energías potenciales que incluyen o excluyen ciertas formas de energía en un sistema, como la energía asociada al trabajo $pV$ y la energía asociada a la entropía $TS$, que no puede ser utilizada para realizar trabajo.

En el caso de la entalpía $H$, esta corresponde a la energía interna del sistema, que incluye el movimiento de las partículas, pero también incorpora la energía necesaria para formar el sistema, es decir, el trabajo $pV$ realizado para establecerlo. Por lo tanto, se define como:

ID:(12390, 0)

Ecuación

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Además del potencial termodinámico propiamente dicho, se puede definir su versión molar simplemente dividiendo su magnitud por la masa molar. En el caso de la entalpía $H$, esto se define como

$h = \displaystyle\frac{ H }{ M_{mol} }$

Condiciones

Variables

$H$

Entalpía

$J$

9384

$h$

Entalpía molar

$J/mol$

9374

$M_m$

Masa molar

$kg/mol$

9393

Relación

donde $M_m$ es la masa molar.

ID:(12391, 0)

Ecuación

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La entalpía depende de la presión $p$, la entropía $h$ y, en nuestro caso, también de la concentración de sal $i$. Por lo tanto, las respectivas diferencias $dh$, $dp$ y $di$ deben cumplir:

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

Condiciones

Variables

$dh$

Variación de la entalpía molar

$J/mol$

9386

$Dh_s$

Variación de la entalpía molar con la entropía

$K$

9928

$Dh_p$

Variación de la entalpía molar con la presión

$m^3/kg$

9927

$Dh_i$

Variación de la entalpía molar con la salinidad

$J/mol$

9929

$ds$

Variación de la entropía

$J/mol K$

9387

$dp$

Variación de la presión

$Pa$

9388

$di$

Variación de la salinidad

$-$

9389

Relación

ID:(12392, 0)

Ecuación

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Se ha determinado que la entalpía molar $h$ varía en función de la entropía molar $s$, presión $p$ y salinidad $i$ de la siguiente manera:

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

Condiciones

Variables

$\mu$

Pendiente de la salinidad

$J/mol$

9394

$T$

Temperatura

$K$

9343

$dh$

Variación de la entalpía molar

$J/mol$

9386

$ds$

Variación de la entropía

$J/mol K$

9387

$dp$

Variación de la presión

$Pa$

9388

$di$

Variación de la salinidad

$-$

9389

$\alpha$

Volumen especifico

$m^3/kg$

9396

Relación

ID:(12393, 0)

Ecuación

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La pendiente de la entalpía molar $h$ con respecto a la entropía es igual a la temperatura $T$:

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

Condiciones

Variables

$T$

Temperatura

$K$

9343

$Dh_s$

Variación de la entalpía molar con la entropía

$K$

9928

Relación

Desarrollo

Si comparamos la diferenciación de la entalpía

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

con su variación

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

se puede concluir que

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

ID:(12394, 0)

Ecuación

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La pendiente de la entalpía molar $h$ con respecto a la entropía es igual a la presión $p$:

$\alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }$

Condiciones

Variables

$Dh_p$

Variación de la entalpía molar con la presión

$m^3/kg$

9927

$\alpha$

Volumen especifico

$m^3/kg$

9396

Relación

Desarrollo

Si comparamos la diferenciación de la entalpía

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

con su variación

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

se puede concluir que

$\alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }$

ID:(12395, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La pendiente de la entalpía molar $h$ con respecto a la entropía es igual a la salinidad $s$:

$\mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$

Condiciones

Variables

$\mu$

Pendiente de la salinidad

$J/mol$

9394

$Dh_i$

Variación de la entalpía molar con la salinidad

$J/mol$

9929

Relación

Desarrollo

Si comparamos la diferenciación de la entalpía

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

con su variación

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

se puede concluir que

$\mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$

ID:(12396, 0)

Ecuación

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La estabilidad del agua marina se caracteriza mediante la llamada tasa de lapso adiabático, que se relaciona directamente con el problema de los gradientes de temperatura y salinidad que pueden desestabilizar la columna de agua marina.

La tasa de lapso adiabático se define como:

$\Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$

Condiciones

Variables

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$DT_p$

Variación de la temperatura con la presión

$K/Pa$

9930

Relación

ID:(12397, 0)

Ecuación

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La tasa de lapso adiabático se puede calcular utilizando el volumen efectivo $\alpha$ y el calor específico a presión constante $c_p$ de la siguiente manera:

$\Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$

Condiciones

Variables

$c_p$

Capacidad calorica a presión constante

$J/kg K$

9395

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$\alpha$

Volumen especifico

$m^3/kg$

9396

Relación

Desarrollo

La tasa de lapso adiabático, dada por

$\Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$

se puede expresar en función de la entalpía utilizando la relación

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

y la relación

$\alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }$

como

$\Gamma =\displaystyle\frac{\partial T}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial p}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial \alpha}{\partial s}$

por lo tanto, la tasa de lapso adiabático es

$\Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$

ID:(12398, 0)

Ecuación

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La entropía molar varía con la temperatura de acuerdo a la siguiente relación:

$\left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$

Condiciones

Variables

$c_p$

Capacidad calorica a presión constante

$J/kg K$

9395

$Ds_T$

Variación de la entropía molar con la temperatura

$J/mol K$

9932

Relación

Desarrollo

Como la capacidad calorífica a presión constante se define a través de la entalpía como

$c_p=\left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial T }\right)_{ p , i }$

se tiene que

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

lo cual implica que

$c_p=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}=T\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}$

por lo tanto, se tiene la relación

$\left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$

ID:(12399, 0)

Ecuación

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La tasa de lapso adiabático se puede calcular mediante la siguiente ecuación:

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T }$

Condiciones

Variables

$c_p$

Calor especifico a presión constante

$J/kg K$

9426

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$T$

Temperatura

$K$

9343

$D\alpha_T$

Variación del volumen especifico con la temperatura

$m^3/kg K$

9931

Relación

Desarrollo

Con la tasa de lapso adiabático dado por

$\Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$

se tiene que

$\left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$

que la tasa de lapso adiabatico se puede escribir como

$\Gamma=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial s }=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }\displaystyle\frac{\partial T }{\partial s }=\displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }$

se tiene que

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T }$

donde $T$ es la temperatura, $c_p$ es el calor específico a presión constante y $\partial\alpha/\partial T$ es la variación del volumen relativo con respecto a la temperatura.

ID:(12400, 0)

Ecuación

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La tasa de variación adiabática se puede calcular utilizando la temperatura $T$, el calor específico a presión constante $c_p$, la dilatación térmica $k_T$ y la densidad $\rho$, de la siguiente manera:

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$

Condiciones

Variables

$c_p$

Calor especifico a presión constante

$J/kg K$

9426

$k_T$

Coeficiente de dilatación térmica

$1/K$

9361

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

9371

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$T$

Temperatura

$K$

9343

Relación

Desarrollo

Con la definición del volumen específico

$\alpha = \displaystyle\frac{1}{ \rho }$

y la relación para la expansión térmica dada por

$k_T =\displaystyle\frac{1}{ \alpha }\left(\displaystyle\frac{ \partial\alpha }{ \partial T }\right)_{ p , S }$

la derivada del volumen específico en función de la tasa de lapso adiabático, expresada como

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T }$

puede ser expresada como

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$

ID:(12401, 0)