Storyboard

>Modell

ID:(1650, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Thermodynamik ist die Wissenschaft der 'kleinen Schritte', bei der das Verhalten eines physikalischen Systems durch Variationen bekannter Funktionen f erforscht wird. Hierzu geht man wie folgt vor:

- Es wird bestimmt, von welchen Parametern (z.B. $x$ und $y$) eine Funktion abhängt, also $f(x,y)$.
- Jeder dieser Parameter wird variiert (z.B. $dx$ und $dy$), und die entsprechende Steigung der Variation wird ermittelt.
- Es wird versucht, die Beziehung zwischen der Steigung und den bereits in der Thermodynamik festgestellten Beziehungen zu finden.

Mathematisch wird dies durch ausgedrückt:

$df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy$

Bedingungen

Variablen

$df$

Diferencial de la función termodinámica

$-$

9381

$dx$

Diferencial de la primera variable termodinámica

$-$

9382

$dy$

Diferencial de la segunda variable termodinámica

$-$

9383

$f$

Función termodinámica

$-$

9380

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

$y$

Segunda variable termodinámica

$-$

9355

Beziehung

Der Ausdruck

$D_{x,y}f\equiv\left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y$

entspricht der Steigung in Richtung x bei konstanten anderen Variablen (in diesem Fall, y). Er wird als 'partielle Ableitung von f nach x bei konstantem y' gelesen.

ID:(12388, 0)

Gleichung

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Um die verschiedenen Parameter zu berechnen, ist es notwendig, das Gibbs-Potential differenzieren zu können, was den Steigungen dieser Funktion in Bezug auf Druck oder Temperatur entspricht.

Im Allgemeinen werden die Faktoren des Gibbs-Potentials, mit $x$ als Variable und $g$ als molare Gibbs-Freie-Energie, wie folgt definiert:

$g_x =\displaystyle\frac{\partial g }{\partial x }$

Bedingungen

Variablen

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$g_x$

Primera derivada de la energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9357

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

Beziehung

ID:(12356, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Für die Berechnung verschiedener Parameter ist es notwendig, die zweite Ableitung des Gibbs-Potentials zu berücksichtigen, was den Krümmungen dieser Funktion bezüglich Druck und/oder Temperatur entspricht.

Im Allgemeinen werden die Faktoren des Gibbs-Potentials wie folgt definiert:

$g_{xy} =\displaystyle\frac{\partial^2 g }{\partial x \partial y }$

Bedingungen

Variablen

$g$

Energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9356

$x$

Primera variable termodinámica

$-$

9354

$g_{xy}$

Segunda derivada de la energía libre de Gibbs molar

$J/mol$

9358

$y$

Segunda variable termodinámica

$-$

9355

Beziehung

ID:(12357, 0)

Beschreibung

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Wenn wir die innere Energie $U(V,S)$ betrachten, hängt sie von zwei Variablen ab:

• Das Volumen $V$
• Die Entropie $S$

Daher kann ihre Variation mit der Beziehung ausgedrückt werden:

in der Form:

$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S dV + \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V dS$

Gemäß dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik wissen wir, dass die Variation der inneren Energie $dU$ gleich ist:



Daraus können wir schließen, dass die Steigungen den Druck $p$ darstellen:

$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S = -p$

und die Temperatur $T":

$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V = T$

ID:(12389, 0)

Beschreibung

>Top

Um die Zusammenhänge zu finden, werden die sogenannten thermodynamischen Potentiale eingeführt, die potenzielle Energien darstellen und bestimmte Formen von Energie in einem System einschließen oder ausschließen, wie die Energie, die mit der Arbeit $pV$ und der Entropie $TS$ verbunden ist, die nicht für Arbeit verwendet werden kann.

Im Fall der Enthalpie $H$ entspricht sie der internen Energie des Systems, die die Bewegung der Teilchen umfasst, aber auch die Energie beinhaltet, die erforderlich ist, um das System zu bilden, d.h. die Arbeit $pV$, die zur Einrichtung des Systems geleistet wird. Sie wird daher definiert als:

ID:(12390, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Neben dem eigentlichen thermodynamischen Potential kann seine molare Version definiert werden, indem seine Größe durch die molare Masse geteilt wird. Im Fall der Enthalpie $H$ wird dies definiert als

$h = \displaystyle\frac{ H }{ M_{mol} }$

Bedingungen

Variablen

$H$

Entalpía

$J$

9384

$h$

Entalpía molar

$J/mol$

9374

$M_m$

Masa molar

$kg/mol$

9393

Beziehung

wobei $M_m$ die molare Masse ist.

ID:(12391, 0)

Gleichung

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Die Enthalpie hängt von Druck $p$, Entropie $h$ und in unserem Fall auch von der Salzkonzentration $i$ ab. Daher müssen die entsprechenden Unterschiede $dh$, $dp$ und $di$ erfüllen:

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

Bedingungen

Variablen

$dh$

Variación de la entalpía molar

$J/mol$

9386

$ds$

Variación de la entropía

$J/mol K$

9387

$dp$

Variación de la presión

$Pa$

9388

$di$

Variación de la salinidad

$-$

9389

$Dh_p$

Variation der molaren Enthalpie mit dem Druck

$m^3/kg$

9927

$Dh_i$

Variation der molaren Enthalpie mit dem Salzgehalt

$J/mol$

9929

$Dh_s$

Variation der molaren Enthalpie mit der Entropie

$K$

9928

Beziehung

ID:(12392, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Es wurde festgestellt, dass die molare Enthalpie $h$ in Abhängigkeit von der molaren Entropie $s$, dem Druck $p$ und der Salinität $i$ wie folgt variiert:

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

Bedingungen

Variablen

$\mu$

Pendiente de la salinidad

$J/mol$

9394

$T$

Temperatura

$K$

9343

$dh$

Variación de la entalpía molar

$J/mol$

9386

$ds$

Variación de la entropía

$J/mol K$

9387

$dp$

Variación de la presión

$Pa$

9388

$di$

Variación de la salinidad

$-$

9389

$\alpha$

Volumen especifico

$m^3/kg$

9396

Beziehung

ID:(12393, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Steigung der molaren Enthalpie $h$ in Bezug auf die Entropie ist gleich der Temperatur $T$:

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

Bedingungen

Variablen

$T$

Temperatura

$K$

9343

$Dh_s$

Variation der molaren Enthalpie mit der Entropie

$K$

9928

Beziehung

Entwicklung

Vergleichen wir die Enthalpiedifferenz

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

mit ihrer Variation

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

kann man folgern, dass

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

ID:(12394, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Steigung der molaren Enthalpie $h$ in Bezug auf die Entropie ist gleich dem Druck $p$:

$\alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }$

Bedingungen

Variablen

$Dh_p$

Variation der molaren Enthalpie mit dem Druck

$m^3/kg$

9927

$\alpha$

Volumen especifico

$m^3/kg$

9396

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir die Ableitung der Enthalpie

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

mit ihrer Variation

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

vergleichen, können wir folgern, dass

$\alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }$

ID:(12395, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Steigung der molaren Enthalpie $h$ bezüglich der Entropie ist gleich der Salinität $s$:

$\mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$

Bedingungen

Variablen

$\mu$

Pendiente de la salinidad

$J/mol$

9394

$Dh_i$

Variation der molaren Enthalpie mit dem Salzgehalt

$J/mol$

9929

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir die Differenzierung der Enthalpie

$dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di$

mit ihrer Variation

$dh =T ds + \alpha dp + \mu di$

vergleichen, können wir daraus schließen, dass

$\mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$

ID:(12396, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Stabilität des Meerwassers wird durch die sogenannte trockenadiabatische Temperaturabnahme charakterisiert, die direkt mit dem Problem von Temperatur- und Salzgradienten verbunden ist, die die Wassersäule destabilisieren können.

Die trockenadiabatische Temperaturabnahme wird definiert als:

$\Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$

Bedingungen

Variablen

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$DT_p$

Variation der Temperatur mit dem Druck

$K/Pa$

9930

Beziehung

ID:(12397, 0)

Gleichung

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Die adiabatische Temperaturabnahme kann mithilfe des effektiven Volumens $\alpha$ und der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$ wie folgt berechnet werden:

$\Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$

Bedingungen

Variablen

$c_p$

Capacidad calorica a presión constante

$J/kg K$

9395

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$\alpha$

Volumen especifico

$m^3/kg$

9396

Beziehung

Entwicklung

Die adiabatische Temperaturabnahme, gegeben durch

$\Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$

kann in Bezug auf die Enthalpie unter Verwendung der Beziehung

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

und der Beziehung

$\alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }$

ausgedrückt werden als

$\Gamma =\displaystyle\frac{\partial T}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial p}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial \alpha}{\partial s}$

Daher ergibt sich die adiabatische Temperaturabnahme zu

$\Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$

ID:(12398, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die molare Entropie variiert mit der Temperatur gemäß folgender Beziehung:

$\left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$

Bedingungen

Variablen

$c_p$

Capacidad calorica a presión constante

$J/kg K$

9395

$Ds_T$

Variation der molaren Entropie mit der Temperatur

$J/mol K$

9932

Beziehung

Entwicklung

Da die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck über die Enthalpie definiert ist als

$c_p=\left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial T }\right)_{ p , i }$

haben wir

$T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$

was impliziert

$c_p=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}=T\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}$

somit haben wir die Beziehung

$\left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$

ID:(12399, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die adiabatische Temperaturabnahme kann mithilfe der folgenden Gleichung berechnet werden:

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T }$

Bedingungen

Variablen

$c_p$

Spezifische Wärme bei konstantem Druck

$J/kg K$

9426

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$T$

Temperatura

$K$

9343

$D\alpha_T$

Variation des spezifischen Volumens mit der Temperatur

$m^3/kg K$

9931

Beziehung

Entwicklung

Mit der adiabatischen Temperaturabnahme, gegeben durch

$\Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$

gilt

$\left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$

dass die adiabatische Temperaturabnahme geschrieben werden kann als

$\Gamma=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial s }=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }\displaystyle\frac{\partial T }{\partial s }=\displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }$

wobei

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T }$

wobei $T$ die Temperatur, $c_p$ die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck und $\partial\alpha/\partial T$ die Änderung des relativen Volumens in Bezug auf die Temperatur ist.

ID:(12400, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die adiabatische Temperaturabnahme kann unter Verwendung der Temperatur $T$, der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$, des thermischen Ausdehnungskoeffizienten $k_T$ und der Dichte $\rho$ wie folgt berechnet werden:

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

9371

$k_T$

Koeffizient der thermischen Ausdehnung

$1/K$

9361

$c_p$

Spezifische Wärme bei konstantem Druck

$J/kg K$

9426

$\Gamma$

Tasa de lapso adiabático

$K/Pa$

9377

$T$

Temperatura

$K$

9343

Beziehung

Entwicklung

Mit der Definition des spezifischen Volumens

$\alpha = \displaystyle\frac{1}{ \rho }$

und der Beziehung für die thermische Ausdehnung gegeben durch

$k_T =\displaystyle\frac{1}{ \alpha }\left(\displaystyle\frac{ \partial\alpha }{ \partial T }\right)_{ p , S }$

kann die Ableitung des spezifischen Volumens nach der adiabatischen Temperaturabnahme, ausgedrückt als

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T }$

ausgedrückt werden als

$\Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$

ID:(12401, 0)