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Differentialle
Gleichung 
Die Thermodynamik ist die Wissenschaft der 'kleinen Schritte', bei der das Verhalten eines physikalischen Systems durch Variationen bekannter Funktionen
- Es wird bestimmt, von welchen Parametern (z.B. $x$ und $y$) eine Funktion abhängt, also $f(x,y)$.
- Jeder dieser Parameter wird variiert (z.B. $dx$ und $dy$), und die entsprechende Steigung der Variation wird ermittelt.
- Es wird versucht, die Beziehung zwischen der Steigung und den bereits in der Thermodynamik festgestellten Beziehungen zu finden.
Mathematisch wird dies durch ausgedrückt:
 $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
Der Ausdruck
$D_{x,y}f\equiv\left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y$
entspricht der Steigung in Richtung x bei konstanten anderen Variablen (in diesem Fall, y). Er wird als 'partielle Ableitung von f nach x bei konstantem y' gelesen.
ID:(12388, 0)
Definition der ersten Ableitung des Gibbs-Potentials
Gleichung
Um die verschiedenen Parameter zu berechnen, ist es notwendig, das Gibbs-Potential differenzieren zu können, was den Steigungen dieser Funktion in Bezug auf Druck oder Temperatur entspricht.
Im Allgemeinen werden die Faktoren des Gibbs-Potentials, mit $x$ als Variable und $g$ als molare Gibbs-Freie-Energie, wie folgt definiert:
| $ g_x =\displaystyle\frac{\partial g }{\partial x }$ |
ID:(12356, 0)
Zweite Ableitung des Gibbs-Potentials
Gleichung
Für die Berechnung verschiedener Parameter ist es notwendig, die zweite Ableitung des Gibbs-Potentials zu berücksichtigen, was den Krümmungen dieser Funktion bezüglich Druck und/oder Temperatur entspricht.
Im Allgemeinen werden die Faktoren des Gibbs-Potentials wie folgt definiert:
| $ g_{xy} =\displaystyle\frac{\partial^2 g }{\partial x \partial y }$ |
ID:(12357, 0)
Beispiel für die Anwendung der Methode
Beschreibung
Wenn wir die innere Energie $U(V,S)$ betrachten, hängt sie von zwei Variablen ab:
• Das Volumen $V$
• Die Entropie $S$
Daher kann ihre Variation mit der Beziehung ausgedrückt werden:
| $ df = \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial x }\right)_ y dx + \left(\displaystyle\frac{\partial f }{\partial y }\right)_ x dy $ |
in der Form:
$dU = \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S dV + \left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V dS$
Gemäß dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik wissen wir, dass die Variation der inneren Energie $dU$ gleich ist:
Daraus können wir schließen, dass die Steigungen den Druck $p$ darstellen:
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial V }\right)_ S = -p$
und die Temperatur $T":
$\left(\displaystyle\frac{\partial U }{\partial S }\right)_ V = T$
ID:(12389, 0)
Beispiel für ein thermodynamisches Potential
Beschreibung
Um die Zusammenhänge zu finden, werden die sogenannten thermodynamischen Potentiale eingeführt, die potenzielle Energien darstellen und bestimmte Formen von Energie in einem System einschließen oder ausschließen, wie die Energie, die mit der Arbeit $pV$ und der Entropie $TS$ verbunden ist, die nicht für Arbeit verwendet werden kann.
Im Fall der Enthalpie $H$ entspricht sie der internen Energie des Systems, die die Bewegung der Teilchen umfasst, aber auch die Energie beinhaltet, die erforderlich ist, um das System zu bilden, d.h. die Arbeit $pV$, die zur Einrichtung des Systems geleistet wird. Sie wird daher definiert als:
ID:(12390, 0)
Molare Enthalpie
Gleichung
Neben dem eigentlichen thermodynamischen Potential kann seine molare Version definiert werden, indem seine Größe durch die molare Masse geteilt wird. Im Fall der Enthalpie $H$ wird dies definiert als
| $ h = \displaystyle\frac{ H }{ M_{mol} }$ |
wobei $M_m$ die molare Masse ist.
ID:(12391, 0)
Differenzierung der molaren Enthalpie
Gleichung
Die Enthalpie hängt von Druck $p$, Entropie $h$ und in unserem Fall auch von der Salzkonzentration $i$ ab. Daher müssen die entsprechenden Unterschiede $dh$, $dp$ und $di$ erfüllen:
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
ID:(12392, 0)
Änderung der molaren Enthalpie
Gleichung
Es wurde festgestellt, dass die molare Enthalpie $h$ in Abhängigkeit von der molaren Entropie $s$, dem Druck $p$ und der Salinität $i$ wie folgt variiert:
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
ID:(12393, 0)
Steigung der Enthalpie in der Entropie
Gleichung
Die Steigung der molaren Enthalpie $h$ in Bezug auf die Entropie ist gleich der Temperatur $T$:
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
Vergleichen wir die Enthalpiedifferenz
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
mit ihrer Variation
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
kann man folgern, dass
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
ID:(12394, 0)
Steigung der Enthalpie im Druck
Gleichung
Die Steigung der molaren Enthalpie $h$ in Bezug auf die Entropie ist gleich dem Druck $p$:
| $ \alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p } $ |
Wenn wir die Ableitung der Enthalpie
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
mit ihrer Variation
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
vergleichen, können wir folgern, dass
| $ \alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p } $ |
ID:(12395, 0)
Steigung der Enthalpie im Salzgehalt
Gleichung
Die Steigung der molaren Enthalpie $h$ bezüglich der Entropie ist gleich der Salinität $s$:
| $ \mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$ |
Wenn wir die Differenzierung der Enthalpie
| $ dh = \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial s }\right)_{ p , i } ds + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial p }\right)_{ p , i } dp + \left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }\right)_{ p , s } di $ |
mit ihrer Variation
| $ dh =T ds + \alpha dp + \mu di$ |
vergleichen, können wir daraus schließen, dass
| $ \mu = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial i }$ |
ID:(12396, 0)
Trockenadiabatische Temperaturabnahme
Gleichung
Die Stabilität des Meerwassers wird durch die sogenannte trockenadiabatische Temperaturabnahme charakterisiert, die direkt mit dem Problem von Temperatur- und Salzgradienten verbunden ist, die die Wassersäule destabilisieren können.
Die trockenadiabatische Temperaturabnahme wird definiert als:
| $ \Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$ |
ID:(12397, 0)
Adiabatische Abfallrate und Enthalpie
Gleichung
Die adiabatische Temperaturabnahme kann mithilfe des effektiven Volumens $\alpha$ und der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$ wie folgt berechnet werden:
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$ |
Die adiabatische Temperaturabnahme, gegeben durch
| $ \Gamma \equiv \displaystyle\frac{\partial T }{\partial p }$ |
kann in Bezug auf die Enthalpie unter Verwendung der Beziehung
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
und der Beziehung
| $ \alpha = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial p } $ |
ausgedrückt werden als
$\Gamma =\displaystyle\frac{\partial T}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial p}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}=\displaystyle\frac{\partial}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial h}{\partial p}=\displaystyle\frac{\partial \alpha}{\partial s}$
Daher ergibt sich die adiabatische Temperaturabnahme zu
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$ |
ID:(12398, 0)
Variation der Entropie mit der Temperatur
Gleichung
Die molare Entropie variiert mit der Temperatur gemäß folgender Beziehung:
| $ \left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$ |
Da die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck über die Enthalpie definiert ist als
$c_p=\left(\displaystyle\frac{\partial h }{\partial T }\right)_{ p , i }$
haben wir
| $ T = \displaystyle\frac{\partial h }{\partial S }$ |
was impliziert
$c_p=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial T}=\displaystyle\frac{\partial h}{\partial s}\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}=T\displaystyle\frac{\partial s}{\partial T}$
somit haben wir die Beziehung
| $ \left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$ |
ID:(12399, 0)
Adiabatische Abfallrate ohne Entropie
Gleichung
Die adiabatische Temperaturabnahme kann mithilfe der folgenden Gleichung berechnet werden:
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T } $ |
Mit der adiabatischen Temperaturabnahme, gegeben durch
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ \alpha }{ c_p }$ |
gilt
| $ \left(\displaystyle\frac{\partial s }{\partial T }\right)_{ p , i } = \displaystyle\frac{ c_p }{ T }$ |
dass die adiabatische Temperaturabnahme geschrieben werden kann als
$\Gamma=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial s }=\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }\displaystyle\frac{\partial T }{\partial s }=\displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{\partial \alpha }{\partial T }$
wobei
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T } $ |
wobei $T$ die Temperatur, $c_p$ die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck und $\partial\alpha/\partial T$ die Änderung des relativen Volumens in Bezug auf die Temperatur ist.
ID:(12400, 0)
Adiabatische Abfallrate und Eigenschaften
Gleichung
Die adiabatische Temperaturabnahme kann unter Verwendung der Temperatur $T$, der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$, des thermischen Ausdehnungskoeffizienten $k_T$ und der Dichte $\rho$ wie folgt berechnet werden:
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$ |
Mit der Definition des spezifischen Volumens
| $ \alpha = \displaystyle\frac{1}{ \rho }$ |
und der Beziehung für die thermische Ausdehnung gegeben durch
| $ k_T =\displaystyle\frac{1}{ \alpha }\left(\displaystyle\frac{ \partial\alpha }{ \partial T }\right)_{ p , S }$ |
kann die Ableitung des spezifischen Volumens nach der adiabatischen Temperaturabnahme, ausgedrückt als
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p } \displaystyle\frac{ \partial \alpha }{ \partial T } $ |
ausgedrückt werden als
| $ \Gamma = \displaystyle\frac{ T }{ c_p }\displaystyle\frac{ k_T }{ \rho }$ |
ID:(12401, 0)