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To process data
Storyboard

The data that is collected is generally incomplete and with a structure that does not correspond to that of the epidemiological models.

>Model

ID:(1600, 0)


Data normally collected
Description

>Top


The data that is normally collected (WHO and governments in general) are numbers of:

• daily infected

• total infected (accumulated)

• daily dead

• total deaths (accumulated)

Additionally, the number of:

• total recovered (accumulated)

• tests performed

• infected asymptomatic

The numbers generally have problems of the type:

• delay in reporting both infected and dead

• no registry of infected asymptomatic or with mild symptoms

• no association of death with infection due to ignorance and / or lack of test

• deaths from other pathologies triggered by the infection

ID:(11884, 0)


Accumulated infected
Equation

>Top, >Model


Si i(t) es el numero de infectados detectados en el tiempo t el numero total reportado (acumulado) es igual al integral o suma desde el inicio del brote:

$ J(t) =\displaystyle\int_0^t i(u) du $

ID:(11885, 0)


Active infected
Equation

>Top, >Model


Los modelos como el SIR consideran los infectados activos I.que se pueden estimar si se conoce la probabilidad c(t) de que después de un tiempo t una persona es infecciosa. Si se conoce el numero de nuevos infectados i(u) para cada tiempo u en un tiempo posterior t-u una fracción c(t-u) sera contagioso. Por ello el numero total será

$ I(t) = k \displaystyle\int_0^t c(t-u) i(u) du $

El factor k da cuenta de la fracción de infectados no detectados ya sea por no existir síntomas o no diagnosticado adecuadamente.

ID:(11886, 0)


Daily infected
Equation

>Top, >Model


Con el total de infectados definidos mediante

$ J(t) =\displaystyle\int_0^t i(u) du $



el numero de infectados diarios se puede estimar diferenciando esta ecuación

$ i = \dot{ J }$

ID:(11887, 0)


Estimate infected infected
Equation

>Top, >Model


Si el numero de infectados por día es en primer orden constante entones la integral de

$ I(t) = k \displaystyle\int_0^t c(t-u) i(u) du $

\\n\\nserá del orden del numero de días \tau que la persona es infecciosa\\n\\n

$I = k \tau i$



Con la estimación del numero de infectados diarios

$ i = \dot{ J }$



se tiene

$ I = k \tau \dot{ J }$

ID:(11888, 0)


Susceptible
Equation

>Top, >Model


Los susceptibles S son aquellos que aun no han sido infectados lo que se puede calcular con el total de personas N menos aquellos que ya fueron infectados J:

$ S = N - J $

ID:(11892, 0)


Contagion factor
Equation

>Top, >Model


Con la ecuación de los infectados del modelo SIR

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=\left(\displaystyle\frac{\beta C}{N}S-\gamma\right)I$



se puede reescribir con

$ I = k \tau \dot{ J }$



y

$ S = N - J $



con lo que se puede estimar

$ \beta C = \displaystyle\frac{ \gamma + \displaystyle\frac{\ddot{J}}{\dot{J}}}{1-\displaystyle\frac{J}{N}}$

Importante es ver que los factor k\tau se simplifican y no afectan el factor de contagio. Este depende de la probabilidad de contagio \beta (ejemplo uso de mascarilla) y numero de contactos C (ejemplo cuarentena).

ID:(11893, 0)


Reproduction factor, SIR model
Equation

>Top, >Model


Como el factor de reproducción es

$R_0=\displaystyle\frac{\beta C}{\gamma}$



se puede reescribir la ecuación

$ \beta C = \displaystyle\frac{ \gamma + \displaystyle\frac{\ddot{J}}{\dot{J}}}{1-\displaystyle\frac{J}{N}}$



como

$ R_0 = \displaystyle\frac{ 1 + \displaystyle\frac{1}{\gamma}\displaystyle\frac{\ddot{J}}{\dot{J}}}{1-\displaystyle\frac{J}{N}}$

en donde se asumió que el \gamma es del orden del inverso tiempo de recuperación y este ultimo es del orden del tiempo que se esta infeccioso \tau.

ID:(11894, 0)


Accumulated resolved
Equation

>Top, >Model


Los resueltos (recuperados en la definición de los modelos SIR) acumulados R es un factor mas grande que los muertos que se registran D(t). Si se define el factor con f se tendrá que:

$ R = f D $

ID:(11890, 0)


Equations of the recovered
Equation

>Top, >Model


Con la ecuación para los resueltos del modelo SIR:

$\displaystyle\frac{dR}{dt}=\gamma I$



se tiene con la relación

$ R = f D $



y

$ I = k \tau \dot{ J }$



que se puede estimar el parámetro compuesto

$ k = f \displaystyle\frac{ \dot{D} }{ \dot{J} } $

en donde se asumió que el \gamma es del orden del inverso tiempo de recuperación y este ultimo es del orden del tiempo que se esta infeccioso \tau.

El factor f es uno de los parámetros de la enfermedad y se puede estimar. El fator k sin embargo es propio de las in-eficiencias de los sistemas de monitoreo que empleamos.

ID:(11891, 0)


Value estimation
Equation

>Top, >Model


Para evitar las fluctuaciones de corto plazo se puede introducir una parábola local ajustada por mínimos cuadrados de la forma

$ J = a t ^2 + b t + c$



en donde los factores se calculan de

$ a =\displaystyle\frac{ S_{x2y} ( S_x ^2- S_{x2} N )- S_{x3} ( S_{xy} N - S_x S_y )- S_{x2} ^2 S_y + S_x S_{x2} S_{xy} )}{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$



$ b =\displaystyle\frac{ S_{x4} ( S_{xy} N - S_x S_y )+ S_{x3} ( S_{x2} S_y - S_{x2y} N )- S_{x2} ^2 S_{xy} + S_x S_{x2} S_{x2y} }{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$



$ c =\displaystyle\frac{ S_{x4} ( S_{x2} S_y - S_x S_{xy} )- S_{x3} ^2 S_y + S_{x3} ( S_{x2} S_{xy} + S_x S_{x2y} )- S_{x2} ^2 S_{x2y} }{ S_{x4} ( S_{x2} N - S_x ^2)- S_{x3} ^2 N +2 S_x S_{x2} S_{x3} - S_{x2} ^3}$



con

$ S_{xnym} =\displaystyle\sum_i^N x_i ^n y_i ^m$

ID:(11896, 0)


Estimation of the first derivative
Equation

>Top, >Model


Si se asume que el numero acumulado es

$ J = a t ^2 + b t + c$



entonces la primera derivada es

$ \dot{J} = 2 a t + b$

ID:(11897, 0)


Estimation of the second derivative
Equation

>Top, >Model


Si se asume que el numero acumulado es

$ J = a t ^2 + b t + c$



entonces la segunda derivada es

$ \ddot{J} = 2 a $

ID:(11898, 0)