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Fréquence BruntVäisälä
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Si un milieu présente une stratification, c'est-à-dire qu\'il est composé de couches de densités différentes, il existe une possibilité que la différence de densité devienne instable, provoquant le mélange des couches et rendant le système homogène.
Tant que le système reste stable, toute perturbation entraînera des oscillations qui se dissipent avec le temps. La fréquence associée à ce comportement est appelée fréquence de Brunt-Väisälä, qui se manifeste à la fois dans l\'atmosphère et dans l\'océan.
La vidéo suivante montre un système avec deux densités différentes, où un bouchon flotte et oscille en réponse à une perturbation, maintenant l\'ordre entre les couches stables :
ID:(11754, 0)
Température potentielle
Équation
La stabilité verticale dans l'atmosphère dépend à la fois des variations de température $T$ et de pression $p$. Par conséquent, pour modéliser l'instabilité, il est utile de travailler avec un paramètre unique appelé température potentielle, définie comme suit :
 $ \theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }$ |
où $R$ est la constante universelle des gaz, $c_p$ est la chaleur spécifique du gaz à pression constante et $p_0$ est une pression de référence.
Ce paramètre fournit une mesure combinée de la température et de la pression, ce qui nous permet d\'analyser la stabilité verticale de manière plus simplifiée. En utilisant la température potentielle, nous pouvons évaluer comment les variations de température et de pression affectent la stabilité atmosphérique et la formation de phénomènes météorologiques.
ID:(11757, 0)
Stabilité verticale dans l'atmosphère
Équation
Dans l'air, les variations de température ($T$) et de pression ($p$) peuvent rendre la colonne d'air instable. Si nous introduisons la température potentielle à l\'aide de l\'équation :
| $ \theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }$ |
où $R$ est la constante universelle des gaz, $c_p$ est la chaleur spécifique de l\'air et $p_0$ est la pression de référence (1000 mb).
Une atmosphère structurée dans laquelle la variation de la température potentielle ($\Delta\theta/\theta$) avec l\'altitude ($\Delta z$) est toujours positive est stable et oscille avec une fréquence donnée par :
| $ N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$ |
où $g$ est l\'accélération due à la gravité.
Si la variation de la température potentielle avec l\'altitude est négative ($\Delta\theta/\Delta z$), la racine carrée n\'a pas de solution réelle, ce qui signifie qu\'il n\'y a pas de solution stable et que les couches commenceront à se déplacer.
ID:(11758, 0)
Stabilité verticale dans l'océan
Équation
Dans l'eau, les variations de densité ou de salinité $\Delta\rho$ peuvent rendre la colonne d\'eau instable. Lorsque le système est stable, il oscille à une fréquence appelée fréquence de Brunt-Väisälä $N$, calculée de la manière suivante :
| $ N = \sqrt{-\displaystyle\frac{ g }{ \rho }\displaystyle\frac{ \Delta\rho }{ \Delta z }}$ |
où $g$ est l\'accélération gravitationnelle, $\rho$ est la densité et $\Delta z$ est la variation de profondeur.
Si à un moment donné l\'argument à l\'intérieur de la racine carrée devient négatif, le système devient instable. Par conséquent, nous pouvons conclure que l\'eau devient instable chaque fois que la variation de densité devient positive, car l\'expression contient un signe négatif. Cela signifie que l\'eau devient instable lorsqu\'il y a une densité plus élevée au-dessus d\'une densité plus faible, ce qui indique que le poids provoque la déséquilibration de la colonne.
ID:(11759, 0)
Stabilité horizontale: nombre de Rossby
Équation
Pour comparer la force de Coriolis à la force inertielle, nous pouvons définir leur relation comme un nombre adimensionnel caractéristique connu sous le nom de nombre de Rossby. Étant donné que ces deux forces dépendent de la masse et de la vitesse $U$, le nombre résultant se simplifie à :
| $ R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$ |
L'énergie associée à la force de Coriolis peut être estimée en considérant la force de Coriolis et une longueur caractéristique L. La force de Coriolis est le produit de la masse $m$, du facteur de Coriolis $f$ et de la vitesse $U$. D\'autre part, l\'énergie associée à la force inertielle est simplement l\'énergie cinétique proportionnelle à $mU^2$.
Sur cette base, le nombre de Rossby est défini comme suit :
$R_0 = \displaystyle\frac{m U^2}{ m f U L}$
Ainsi, le nombre de Rossby représente le rapport entre l\'énergie cinétique du fluide et l\'effet de la force de Coriolis.
| $ R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$ |
qui dépend du facteur de Coriolis $f$ et d'une longueur caractéristique $L$.
En examinant cette relation, nous pouvons constater que le nombre de Rossby représente la proportion entre la vitesse caractéristique du fluide et l\'effet de la force de Coriolis. Ce nombre nous indique si le système est dominé par l\'inertie ou par la force de Coriolis.
ID:(11753, 0)
Stabilité verticale : taille critique dans l'air
Équation
Dans le cas limite où la force de Coriolis est du même ordre de grandeur que la force inertielle, le nombre de Rossby est de l'ordre de l\'unité. Cela implique que la longueur caractéristique L est de l\'ordre de la vitesse U divisée par le facteur de Coriolis f. D\'autre part, si nous modélisons la vitesse en utilisant la fréquence de Brunt-Väisälä N et la hauteur H, on a:
| $ \lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$ |
Dans le cas où le nombre de Rossby
| $ R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$ |
avec $U$ représentant la vitesse, $f$ étant le facteur de Coriolis et $L$ une longueur caractéristique de l'ordre de l\'unité, nous pouvons déterminer que la longueur caractéristique est approximativement donnée par :
$L \sim \displaystyle\frac{U}{f}$
La vitesse $U$ peut être modélisée en utilisant la fréquence de Brunt-Väisälä
| $ N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$ |
où $g$ est l\'accélération gravitationnelle, $\Delta\theta/\theta$ représente la variation de la température potentielle et $\Delta z$ est la variation de l\'altitude. Dans ce cas, la vitesse peut être exprimée comme suit :
$U\sim H N$
où $H$ représente la hauteur. Ainsi, la taille caractéristique peut être obtenue comme suit :
| $ \lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$ |
ID:(11760, 0)