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Brunt-Väisälä-Frequenz
Video 
Wenn ein Medium eine Schichtung aufweist, das heißt, es besteht aus Schichten mit unterschiedlichen Dichten, besteht die Möglichkeit, dass der Dichtunterschied instabil wird und die Schichten sich vermischen, wodurch das System homogen wird.
Solange das System stabil ist, führt jede Störung zu Schwingungen, die sich im Laufe der Zeit auflösen. Die mit diesem Verhalten verbundene Frequenz wird als Brunt-Väisälä-Frequenz bezeichnet und tritt sowohl in der Atmosphäre als auch im Ozean auf.
Das folgende Video zeigt ein System mit zwei unterschiedlichen Dichten, in dem ein Korken platziert wird und in Reaktion auf eine Störung schwingt, wobei die Ordnung zwischen den stabilen Schichten aufrechterhalten bleibt:
ID:(11754, 0)
Mögliche Temperatur
Gleichung
Die vertikale Stabilität in der Atmosphäre hängt sowohl von Temperatur- $T$ als auch von Druckänderungen $p$ ab. Daher ist es hilfreich, mit einem einzigen Parameter namens Potentielle Temperatur zu arbeiten, die wie folgt definiert ist:
 $ \theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }$ |
Hierbei steht $R$ für die allgemeine Gaskonstante, $c_p$ für die spezifische Wärmekapazität des Gases bei konstantem Druck und $p_0$ für einen Referenzdruck.
Dieser Parameter bietet eine kombinierte Messung von Temperatur und Druck, was es uns ermöglicht, die vertikale Stabilität auf eine vereinfachte Weise zu analysieren. Durch die Verwendung der Potentiellen Temperatur können wir bewerten, wie Temperatur- und Druckvariationen die atmosphärische Stabilität und die Bildung meteorologischer Phänomene beeinflussen.
ID:(11757, 0)
Vertikale Stabilität in der Atmosphäre
Gleichung
In der Luft können Variationen in der Temperatur ($T$) und im Druck ($p$) dazu führen, dass die Luftmasse instabil wird. Wenn wir die potentielle Temperatur durch die folgende Gleichung einführen:
| $ \theta = T \left(\displaystyle\frac{ p_0 }{ p }\right)^{ R / c_p }$ |
wobei $R$ die universelle Gaskonstante, $c_p$ die spezifische Wärmekapazität der Luft und $p_0$ der Referenzdruck (1000 mb) ist.
Eine strukturierte Atmosphäre, in der die Variation der potentiellen Temperatur ($\Delta\theta/\theta$) mit der Höhe ($\Delta z$) immer positiv ist, ist stabil und schwingt mit einer Frequenz, die durch folgende Formel gegeben ist:
| $ N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$ |
wobei $g$ die Erdbeschleunigung ist.
Wenn die Variation der potentiellen Temperatur mit der Höhe negativ ist ($\Delta\theta/\Delta z$), hat die Wurzel keine reale Lösung, was bedeutet, dass keine stabile Lösung existiert und die Schichten anfangen werden, sich zu verschieben.
ID:(11758, 0)
Vertikale Stabilität im Ozean
Gleichung
Im Wasser können Variationen der Dichte oder Salinität $\Delta\rho$ dazu führen, dass die Wassersäule instabil wird. Wenn das System stabil ist, schwingt es mit einer Frequenz, die als Brunt-Väisälä-Frequenz $N$ bekannt ist und wie folgt berechnet wird:
| $ N = \sqrt{-\displaystyle\frac{ g }{ \rho }\displaystyle\frac{ \Delta\rho }{ \Delta z }}$ |
Dabei ist $g$ die Erdbeschleunigung, $\rho$ die Dichte und $\Delta z$ die Variation in der Tiefe.
Wenn das Argument unter der Wurzel an irgendeinem Punkt negativ wird, wird das System instabil. Daher können wir schlussfolgern, dass das Wasser instabil wird, sobald die Dichteveränderung positiv wird, da der Ausdruck ein negatives Vorzeichen enthält. Das bedeutet, dass es instabil wird, wenn es eine höhere Dichte über einer niedrigeren Dichte gibt, was darauf hinweist, dass das Gewicht dazu führt, dass die Säule destabilisiert wird.
ID:(11759, 0)
Horizontale Stabilität: Rossby-Zahl
Gleichung
Um die Stärke der Corioliskraft mit der Trägheitskraft zu vergleichen, können wir ihr Verhältnis als dimensionslose charakteristische Zahl, bekannt als die Rossby-Zahl, definieren. Da beide Kräfte von Masse und Geschwindigkeit $U$ abhängen, vereinfacht sich die resultierende Zahl zu:
| $ R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$ |
Die Energie, die mit der Corioliskraft verbunden ist, kann geschätzt werden, indem man die Corioliskraft und eine charakteristische Länge $L$ berücksichtigt. Die Corioliskraft ist das Produkt aus Masse $m$, dem Coriolis-Faktor $f$ und der Geschwindigkeit $U$. Andererseits ist die mit der Trägheitskraft verbundene Energie einfach die kinetische Energie, proportional zu $mU^2$.
Basierend darauf wird die Rossby-Zahl definiert als:
$R_0 = \displaystyle\frac{m U^2}{ m f U L}$
Die Rossby-Zahl repräsentiert somit das Verhältnis zwischen der kinetischen Energie der Flüssigkeit und der Wirkung der Corioliskraft.
| $ R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$ |
die vom Coriolis-Faktor $f$ und einer charakteristischen Länge $L$ abhängt.
Durch Betrachten dieser Beziehung können wir sehen, dass die Rossby-Zahl das Verhältnis zwischen der charakteristischen Geschwindigkeit der Flüssigkeit und der Wirkung der Corioliskraft darstellt. Diese Zahl gibt an, ob das System von Trägheit oder der Corioliskraft dominiert wird.
ID:(11753, 0)
Vertikale Stabilität: kritische Größe in Luft
Gleichung
In dem Grenzfall, in dem die Corioliskraft in derselben Größenordnung wie die Trägheitskraft ist, ist die Rossby-Zahl in der Größenordnung der Einheit. Dies bedeutet, dass die charakteristische Länge L in der Größenordnung der Geschwindigkeit U geteilt durch den Coriolis-Faktor f liegt. Andererseits, wenn wir die Geschwindigkeit mit der Brunt-Väisälä-Frequenz N und der Höhe H modellieren, gilt:
| $ \lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$ |
Für den Fall, dass die Rossby-Zahl
| $ R_0 =\displaystyle\frac{ U }{ f R }$ |
mit $U$ als Geschwindigkeit, $f$ als Coriolis-Faktor und $L$ als charakteristische Länge, die in der Größenordnung der Einheit liegt, haben wir, dass die charakteristische Länge ungefähr gegeben ist durch:
$L \sim \displaystyle\frac{U}{f}$
Die Geschwindigkeit $U$ kann mithilfe der Brunt-Väisälä-Frequenz
| $ N = \sqrt{\displaystyle\frac{ g }{ \theta }\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta z }}$ |
modelliert werden, wobei $g$ die Erdbeschleunigung, $\Delta\theta/\theta$ die Variation der potenziellen Temperatur und $\Delta z$ die Variation der Höhe darstellt. In diesem Fall lässt sich die Geschwindigkeit wie folgt ausdrücken:
$U\sim H N$
wobei $H$ die Höhe ist. Somit ergibt sich die charakteristische Größe als:
| $ \lambda_R = \displaystyle\frac{ N H }{ f }$ |
ID:(11760, 0)