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Mischvorgänge in flachen Gewässern
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Mischmechanismen in flachen Gebieten werden von verschiedenen Arten von Wellen erzeugt. Dazu gehören interne Wellen, Oberflächenwellen, Wechselwirkungen zwischen Wellen und Strömungen, Gezeiten und Wellenbrechen an der Küste.
ID:(1629, 0)
Mischvorgänge in flachen Gewässern
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Mischmechanismen in flachen Gebieten werden von verschiedenen Arten von Wellen erzeugt. Dazu gehören interne Wellen, Oberflächenwellen, Wechselwirkungen zwischen Wellen und Strömungen, Gezeiten und Wellenbrechen an der Küste.
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Genauso wie die Kinematischer Stress ($\tau_x$) mit die Turbulente Viskosität ($A$) und die Mischlänge ($l$) zusammenh ngt, ergibt sich:
Wenn die Karman-Konstante ($\kappa$), die Gesamttiefe ($H$) und die Rauigkeit ($k$) verwendet werden:
und mit die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$):
ergibt sich:
So wie die Kinematischer Stress ($\tau_x$) sich auf die Turbulente Viskosität ($A$), der Geschwindigkeitsprofil ($u_z$) und die Tiefe ($z$) bezieht, wird es durch
definiert und kann von der Unebenheit ($d$) bis die Tiefe ($z$) integriert werden, um die Geschwindigkeit mit folgendem Ausdruck zu berechnen:
$u_z=\displaystyle\int_d^z\displaystyle\frac{\tau_x}{A}dz'$
Mit der Formulierung von die Turbulente Viskosität ($A$) in Bezug auf die Relative Tiefe ($\xi$) zusammen mit die Gesamttiefe ($H$), die Rauigkeit ($k$) und die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$), und unter Ber cksichtigung, dass
wird die folgende Geschwindigkeitsgleichung abgeleitet:
$u_z=\displaystyle\frac{U_d\sqrt{1-k}}{\kappa}(\ln(z/d) + \Phi(\xi,k))$
wo
$\Phi=2[\arctan(\lambda)-\arctan(\lambda_0)]-\ln\left(\displaystyle\frac{1+\lambda}{1+\lambda_0}\right)$
definiert wird mit
$\lambda=\sqrt{1-\xi}$
und
$\lambda=\sqrt{1-k}$
Da ber weite Teile der Tiefe
$\ln(z/d) \gg \Phi(\xi,k)$
kann das Geschwindigkeitsprofil vereinfacht werden zu
Sedimente neigen dazu, mit eine Sedimentationsrate ($\omega_s$) zu Boden zu sinken, w hrend die Diffusion, die in diesem Fall dem durch Wirbel erzeugten Mischen entspricht, einen Fluss induziert, der gleich die Turbulente Viskosität ($A$) und dem Gradienten von der Concentración de sedimentos ($c_z$) in die Tiefe ($z$) ist, wie folgt:
$A\displaystyle\frac{\partial c_z}{\partial z}+\omega_s c_z= 0$
Die Integration dieses Ausdrucks ergibt:
$c_z = \displaystyle\frac{E}{\omega_s}e^{-\displaystyle\int_d^z \omega_s/A dz'}$
mit die Mischlänge ($l$):
haben wir:
$c_z=\displaystyle\frac{E}{\omega_s}e^{-\displaystyle\int_d^z \omega_s/l\sqrt{\tau_x} dz'}$
was zu folgendem Ergebnis f hrt:
$c_z=\displaystyle\frac{E}{\omega_s}\left(\displaystyle\frac{z}{d}\right)^{R_s}\Phi_c(\xi,k)$
mit der Rouse Faktor ($R_s$) und der Rouse-Nummer ($R_0$):
wo:
$\Phi=\left(\displaystyle\frac{1+\lambda}{1+\lambda_0}\right)^{2R_s}e^{2R_s[\arctan(\lambda)-\arctan(\lambda_0)]}$
mit:
$\lambda=\sqrt{1-\xi}$
und:
$\lambda=\sqrt{1-k}$
Da ber weite Teile der Tiefe:
$\Phi\sim 1$
haben wir die Konzentrationsverteilung:
Genauso wie die Turbulente Viskosität ($A$) mit die Mischlänge ($l$) verbunden ist, werden der Geschwindigkeitsprofil ($u_z$) und die Tiefe ($z$) wie folgt definiert:
und da die Kinematischer Stress ($\tau_x$) ist
ergibt das Eliminieren des Gradienten
Beispiele
Para el caso en el borde costero en donde hay baja profundidad se tienen los siguientes mecanismos que contribuyen el mezclado de las aguas por efecto de:
• olas internas
adicionalmente existen contribuciones adicionales mediante
• mezcla por ola
• interacci n de corriente con olas
• mezcla por mares
• mezcla por quiebre de olas en costa
Las perturbaciones se pueden ordenar en funci n de sus escalas de tiempo y dimensiones. El resultado se presenta en la siguiente grafica:
Der Strouhal-Zahl ($St$) steht empirisch in Beziehung zu der Reynolds Nummer ($Re$). Der Strouhal-Zahl ($St$) ist mit die Frequenz der Wirbelerzeugung ($\omega$), die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) und die Gesamttiefe ($H$) verbunden:
Dies erm glicht es, ber der Reynolds Nummer ($Re$) die H ufigkeit zu sch tzen, mit der sich die Konzentration der zu diffundierenden Komponenten austauschen kann. Es ist jedoch zu beachten, dass der Prozess abgebrochen werden kann, wenn die H ufigkeit geringer ist als die der Gezeiten.
Wenn angenommen wird, dass es keinen Wind an der Oberfl che gibt, kann angenommen werden, dass dort keine Spannung existiert. Daher wird es nur Spannung des Wassers am Boden geben. Diese Spannung wird linear vom Boden zur Oberfl che abnehmen. Um das Modell zu vereinfachen, kann das Verh ltnis zwischen die Tiefe ($z$) und die Gesamttiefe ($H$) verwendet werden, was uns einen dimensionslosen Faktor die Relative Tiefe ($\xi$) liefert. Die Kinematischer Stress ($\tau_x$) wird daher proportional sein zu
$\tau_x \propto 1-\xi$
Da die Kinematischer Stress ($\tau_x$) der Energiedichte geteilt durch die Dichte entspricht, muss der Wert am Boden proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit am Boden sein. Dies wird im Modell mit die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) beschrieben und bedeutet, dass
$\tau_x \propto U_d^2$
Schlie lich gibt es den Effekt von die Rauigkeit ($k$) des Meeresbodens, d.h. das Verh ltnis von der Unebenheit ($d$) und die Gesamttiefe ($H$). Dies bedeutet, dass die Kinematischer Stress ($\tau_x$) durch einen Faktor analog zur Tiefe korrigiert werden muss:
$\tau_x \propto \displaystyle\frac{1-\xi}{1-k}$
Daraus ergibt sich ein Modell der folgenden Form:
welches wie folgt grafisch dargestellt wird:
Die Mischlänge ($l$) entspricht der Gr e der Wirbel. In der N he der Wand k nnen diese nur so gro sein wie der Abstand zur Wand, was minimal ist. Je n her wir der Oberfl che kommen, desto gr er k nnen sie werden, sodass die Funktion an diesem Punkt ein Maximum erreichen sollte.
Um die Modellierung zu vereinfachen, kann das Verh ltnis zwischen die Tiefe ($z$) und die Gesamttiefe ($H$) verwendet werden, was uns einen dimensionslosen Faktor die Relative Tiefe ($\xi$) liefert. Eine einfache Funktion, die dieser Beschreibung entspricht, ist:
$l \propto \xi\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\xi\right)$
Andererseits zeigt Prandtls Modell der Grenzschicht, dass diese eine Fraktion des Flusses mit einer Breite von die Gesamttiefe ($H$) und einem Anteil von die Karman-Konstante ($\kappa$) sind, sodass:
$l \propto \kappa H$
Schlie lich m ssen wir den Effekt der Rauheit auf die gleiche Weise wie beim kinematischen Stress korrigieren:
$l \propto \displaystyle\frac{\kappa H}{1-k}$
Daher kann die Mischlänge ($l$) wie folgt modelliert werden:
Wenn Prandtl die Bildung von Wirbeln in der N he von W nden modelliert, stellt er die Beziehung zwischen die Turbulente Viskosität ($A$), die Mischlänge ($l$) und dem Gradienten von der Geschwindigkeitsprofil ($u_z$) in die Tiefe ($z$) wie folgt her:
Auf der anderen Seite entspricht die typische viskose Kraft, die als Viskosit t multipliziert mit der Kontaktfl che und dem Geschwindigkeitsgradienten modelliert wird, im Falle der Turbulenzen die Kinematischer Stress ($\tau_x$):
Aus beiden Gleichungen ergibt sich die Beziehung:
Diese Beziehung erm glicht die Berechnung von die Turbulente Viskosität ($A$) in Abh ngigkeit von die Kinematischer Stress ($\tau_x$) und die Mischlänge ($l$), die in diesem Fall modelliert werden. So erh lt man mit die Gesamttiefe ($H$), die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$), die Rauigkeit ($k$), die Relative Tiefe ($\xi$) und die Karman-Konstante ($\kappa$):
die wie folgt dargestellt wird:
Das Ergebnis ist, dass die turbulente Viskosit t in mittlerer Tiefe maximal ist und sowohl nahe dem Boden als auch nahe der Oberfl che auf minimale Werte abnimmt. Mit anderen Worten, in diesen Zonen sind das Mischen und der Impulsverlust geringer.
Da die Kinematischer Stress ($\tau_x$) gleich die Turbulente Viskosität ($A$) und dem Gradienten von der Geschwindigkeitsprofil ($u_z$) in Bezug auf die Tiefe ($z$) ist, l sst sich die Gleichung integrieren, um das Geschwindigkeitsprofil zu erhalten:
$u_z = \displaystyle\int_d^z \frac{\tau_x}{A} dz'$
Nach der Integration unter Verwendung von die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$), die Karman-Konstante ($\kappa$), die Rauigkeit ($k$) und die Relative Tiefe ($\xi$) ergibt sich:
Diese Gleichung entspricht dem bekannten logarithmischen Gesetz des Geschwindigkeitsprofils nach Prandtl und Schlichting.
Das Profil ist in der folgenden Grafik dargestellt:
Das Profil erm glicht auch eine Beziehung zwischen der Velocidad en la superficie ($U$) und die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) in Abh ngigkeit von die Widerstandsbeiwert ($C_D$):
Au erdem l sst sich die Widerstandsbeiwert ($C_D$) aus die Rauigkeit ($k$) und die Karman-Konstante ($\kappa$) absch tzen:
Wenn wir das Verhalten des suspendierten Materials betrachten, werden zwei Hauptfaktoren deutlich. Erstens gibt es eine Tendenz zur Sedimentation mit einer Geschwindigkeit die Sedimentationsrate ($\omega_s$), die einen Fluss abh ngig von der Concentración de sedimentos ($c_z$) generiert, ausgedr ckt als:
$\omega_s c_z$
Auf der anderen Seite neigen Wirbel dazu, das Wasser zu mischen und eine Diffusion zu erzeugen, die Sedimente zur Oberfl che tr gt. Dieser Fluss, repr sentiert durch die Turbulente Viskosität ($A$), wird durch den Gradienten von der Concentración de sedimentos ($c_z$) in die Tiefe ($z$) gegeben und ist gleich:
$A\displaystyle\frac{\partial c_z}{\partial z}$
Die Verteilung entsteht, wenn die Sedimente ein Gleichgewicht erreichen, bei dem der Sedimentationsfluss dem durch Wirbel erzeugten Diffusionsfluss zur Oberfl che entspricht. Durch Integration beider Terme der Gleichung mit der Erosionsrate ($E$) und der Unebenheit ($d$) erhalten wir die Verteilung:
$c_z=\displaystyle\frac{E}{\omega_s}e^{\displaystyle\int_d^z \omega_s/A dz'}$
Nach Verwendung des Ausdrucks f r die Turbulente Viskosität ($A$) mit der Rouse Faktor ($R_s$), die Rauigkeit ($k$) und die Relative Tiefe ($\xi$) erhalten wir den Ausdruck:
der grafisch dargestellt werden kann als:
Der Strouhal-Zahl ($St$) charakterisiert die Frequenz der Wirbelerzeugung ($\omega$). Vergleiche die Geschwindigkeit, die mit die Frequenz der Wirbelerzeugung ($\omega$) verbunden ist, und ihre Gr e mit der des durch die Gesamttiefe ($H$) dargestellten Stroms.
Daher haben wir
Das Verhalten der Str mung und die zu erzeugende oder zu d mpfende Turbulenz h ngen von die Rauigkeit ($k$) des Meeresbodens ab. Dies wird definiert, indem das durchschnittliche Profil von der Unebenheit ($d$) mit dem Profil von die Gesamttiefe ($H$) verglichen wird, wo es sich befindet.
Daher wird definiert, dass die Rauigkeit ($k$) ist
Die Relative Tiefe ($\xi$) wird definiert durch die Tiefe ($z$) und die Gesamttiefe ($H$), ausgedr ckt wie folgt:
Bei laminarer Str mung kann die Viscose Kraft ($F_v$) aus die Parallele Flächen ($S$), die Viskosität ($\eta$), die Geschwindigkeitsunterschied zwischen Oberflächen ($\Delta v$) und die Abstand zwischen Oberflächen ($\Delta z$) mit der folgenden Gleichung berechnet werden:
Im Fall von turbulenter Str mung kann eine Analogie hergestellt werden, indem eine Turbulente Viskosität ($A$) als die durch die Dichte geteilte Viskosit t definiert wird, die sich auf die Kraft pro Fl che und Dichte bezieht, die wir als die Kinematischer Stress ($\tau_x$) bezeichnen und die in Bezug auf der Geschwindigkeitsprofil ($u_z$) und die Tiefe ($z$) wie folgt berechnet wird:
Im Jahr 1925 f hrte Prandtl das Konzept einer Grenzschicht ein, in der Wirbel das Fluid mischen und Impuls bertragen, hnlich wie der Transfer auf molekularer Ebene modelliert wird, was zu viskosem Verhalten f hrt. Die Gr e dieser Zone wird als die Mischlänge ($l$) definiert und der Effekt wird mit einem Analogon zur Viskosit t beschrieben, das die Turbulente Viskosität ($A$) entspricht. Dies kann mit dem Gradienten von der Geschwindigkeitsprofil ($u_z$) in die Tiefe ($z$) wie folgt gesch tzt werden:
[1] Prandtl, Ludwig (1925). "Bericht ber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz" Z. Angew. Math. Mech. 5 (2): 136.
Die Kinematischer Stress ($\tau_x$) kann aus die Turbulente Viskosität ($A$) und die Mischlänge ($l$) mit folgender Methode berechnet werden:
Die Kinematischer Stress ($\tau_x$) wird maximal nahe dem Meeresboden sein und an der Oberfl che null, vorausgesetzt, es gibt keinen Wind auf der Meeresoberfl che. Da es am Boden mit die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) assoziiert wird, jedoch aufgrund des Effekts von die Rauigkeit ($k$) angepasst werden muss, kann es basierend auf die Relative Tiefe ($\xi$) wie folgt modelliert werden:
Die von Prandtl eingef hrte Mischzone der Gr e die Mischlänge ($l$) wird als ein Bruchteil der Gr enordnung die Karman-Konstante ($\kappa$) von die Gesamttiefe ($H$) gesch tzt. Zus tzlich muss der Effekt von die Rauigkeit ($k$) ber cksichtigt werden, und es ist zu beachten, dass die Mischlänge ($l$) von die Relative Tiefe ($\xi$) abh ngt, am Boden null ist und in der N he der Oberfl che ann hernd konstant und maximal ist. Daher kann sie wie folgt modelliert werden:
[1] Prandtl, Ludwig (1925). "Bericht ber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz". Z. Angew. Math. Mech. 5 (2): 136.
Basierend auf Messungen kann die Turbulente Viskosität ($A$) mit die Relative Tiefe ($\xi$), die Gesamttiefe ($H$), die Rauigkeit ($k$), die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) und die Karman-Konstante ($\kappa$) durch den Ausdruck modelliert werden:
Der Geschwindigkeitsprofil ($u_z$) ist eine Funktion von die Relative Tiefe ($\xi$) und den Parametern die Rauigkeit ($k$), die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) und die Karman-Konstante ($\kappa$), dargestellt wie folgt:
Der Velocidad en la superficie ($U$) ist proportional zu die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$), mit einer Proportionalit tskonstante, die von die Karman-Konstante ($\kappa$) und die Rauigkeit ($k$) abh ngt, wie folgt:
Die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) ist proportional zu der Velocidad en la superficie ($U$), wobei die Proportionalit tskonstante die Widerstandsbeiwert ($C_D$) ist, die das Verh ltnis zwischen den entsprechenden kinetischen Energien darstellt:
Der Concentración de sedimentos ($c_z$) ist eine Funktion von die Relative Tiefe ($\xi$), die von der Erosionsrate ($E$), die Sedimentationsrate ($\omega_s$), die Rauigkeit ($k$) und der Rouse Faktor ($R_s$) abh ngt und wie folgt berechnet wird:
Der Wert der Rouse-Nummer ($R_0$) vergleicht die Sedimentationsgeschwindigkeit, die mit der Diffusion konkurriert, die mit der Str mung am Boden verbunden ist. In Kombination mit die Sedimentationsrate ($\omega_s$), die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) und die Karman-Konstante ($\kappa$) ergibt sich:
Der Wert der Rouse-Nummer ($R_0$) bewertet die Sedimentationsgeschwindigkeit, die mit der Diffusion konkurriert, die mit der Str mung am Boden verbunden ist. In Kombination mit die Sedimentationsrate ($\omega_s$), die Reibungsgeschwindigkeit ($U_d$) und die Karman-Konstante ($\kappa$) ergibt sich:
In F llen, in denen der Meeresboden nicht eben ist, tritt die Rauigkeit ($k$) auf, was zu einer Korrektur der Rouse-Zahl f hrt, die wir als Rouse-Faktor bezeichnen:
ID:(1629, 0)
