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Em maiores profundidades, os mecanismos de dissipação de energia dos vórtices estão relacionados com a viscosidade e a flutuabilidade. Qual deles domina depende da situação e pode ser determinado utilizando números característicos associados a ambos os fenômenos.

[1] Marine Physics, Jerzy Dera, Elsevier, 1992 (6.2 The Turbulent Exchange of Mass, Heat and Momentum in the Sea)

>Modelo

ID:(1628, 0)

Iframe

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ID:(15616, 0)

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Em geral, a dissipação de energia ocorre em função do tempo considerado, então deve-se comparar la energia cinética ($\epsilon_v$) com uma tempo característico ($\tau$) de modo que

$\displaystyle\frac{d\epsilon}{dt}\sim\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau}$

Existem dois tipos de processos que reduzem a energia dos vórtices até que se tornem flutuações térmicas. Por um lado, há a difusão de momento ou viscosidade, enquanto por outro lado há a flotação.

A perda de la energia cinética ($\epsilon_v$) varia em função de la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) em la tempo característico ($\tau$) como:

ID:(15621, 0)

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Como la energia cinética ($\epsilon_v$), onde para simplificação, negligenciamos o fator de 1/2 e ela depende de la densidade média ($\rho$) e la velocidade do vórtice ($v_l$),

$\epsilon =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2$

a perda de energia será essa energia por la tempo característico ($\tau$), que com la comprimento de mistura ($l$) é

e assim, a variação é

ID:(15608, 0)

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Como la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) está relacionado con la viscosidade da água do oceano ($\eta$), la velocidade do vórtice ($v_l$) y la comprimento de mistura ($l$),

$\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}$

a perda de energia será essa energia por la tempo característico ($\tau$), que com la comprimento de mistura ($l$) é

e assim, a variação é

ID:(15609, 0)

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Como la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) está relacionado com ($$), ($$) e la comprimento de mistura ($l$):

$\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g l$

a perda de energia será essa energia por la tempo característico ($\tau$), que é

e assim, a variação é

ID:(15610, 0)

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No caso em que os processos difusivos são mais relevantes do que os de flutuação, observa-se que com la energia cinética ($\epsilon_v$), la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) e la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$),

$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$

Dado que com la tempo característico ($\tau$), la energia cinética ($\epsilon_v$) é

e la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) é

a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}$

resulta na exigência de que se deve ser o caso de

ID:(15612, 0)

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No caso em que com la energia cinética ($\epsilon_v$), la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) são tais que

$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$

Dado que la energia cinética ($\epsilon_v$) é com la densidade ($\rho$), la comprimento de mistura ($l$) e la velocidade do vórtice ($v_l$) em la tempo característico ($\tau$),

e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) é com ($$), la aceleração gravitacional ($g$) e la velocidade do vórtice ($v_l$) em la tempo característico ($\tau$),

a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l$

resulta na exigência de que com o número Richardson ($R_i$) deve satisfazer

ID:(15611, 0)

Descrição

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A relação entre ($$) com la densidade ($\rho$), la velocidade do vórtice ($v_l$), la viscosidade da água do oceano ($\eta$) e ($$) é dada por

e o número Richardson ($R_i$) com ($$) e la aceleração gravitacional ($g$) é representada por

como mostrado no gráfico abaixo, onde ambos os casos limites marcam as situações de limite de estabilidade:

ID:(12211, 0)

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Parâmetros

$g$

g

Aceleração gravitacional

m/s^2

$\rho$

rho

Densidade média

kg/m^3

$R_i$

R_i

Número Richardson

-

$\eta$

eta

Viscosidade da água do oceano

Pa s

Variáveis

$l$

l

Comprimento de mistura

m

$\epsilon_v$

epsilon_v

Energia cinética

J

$\epsilon_{\eta}$

epsilon_eta

Energia dissipada pela viscosidade

J

$\epsilon_{\rho}$

epsilon_rho

Energia dissipada por flutuação

J

$Re$

Re

Número de Reynolds

=

$\tau$

tau

Tempo característico

s

$v_l$

v_l

Velocidade do vórtice

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15620, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Existem dois tipos de processos que reduzem a energia dos vórtices até que se tornem flutuações térmicas. Por um lado, há a difusão de momento ou viscosidade, enquanto por outro lado há a flotação.

A perda de la energia cinética ($\epsilon_v$) varia em função de la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) em la tempo característico ($\tau$) como:

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau } $

Condições

Variáveis

$\epsilon_v$

Energia cinética

$J$

9492

$\epsilon_{\eta}$

Energia dissipada pela viscosidade

$J$

9486

$\epsilon_{\rho}$

Energia dissipada por flutuação

$J$

9487

Relação

ID:(12205, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Com la velocidade do vórtice ($v_l$) e la comprimento de mistura ($l$), pode-se definir uma tempo característico ($\tau$), o que permite estimar a perda de energia tanto por viscosidade quanto por flutuação.

Portanto, tem-se que

$ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

Condições

Variáveis

$l$

Comprimento de mistura

$m$

9489

$\tau$

Tempo característico

$s$

9491

$v_l$

Velocidade do vórtice

$m/s$

9490

Relação

ID:(12206, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A variação de la energia cinética ($\epsilon_v$) em la tempo característico ($\tau$) é proporcional à energia cinética, que depende de la densidade média ($\rho$) e la velocidade do vórtice ($v_l$), dividida por la tempo característico ($\tau$). Uma vez que isso é uma função de la comprimento de mistura ($l$), conclui-se que:

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

Condições

Variáveis

$l$

Comprimento de mistura

$m$

9489

$\rho$

Densidade média

$kg/m^3$

9096

$\epsilon_v$

Energia cinética

$J$

9492

$\tau$

Tempo característico

$s$

9491

$v_l$

Velocidade do vórtice

$m/s$

9490

Relação

Desenvolvimento

Como la energia cinética ($\epsilon_v$) dos vórtices depende de la densidade média ($\rho$) e la velocidade do vórtice ($v_l$) de acordo com

$\epsilon_v =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2$

Como la tempo característico ($\tau$) com la comprimento de mistura ($l$) é

$ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

temos que

$\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau} =\rho \displaystyle\frac{v_l^3}{l}$

ou seja

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

ID:(12212, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A perda devido à viscosidade da água pode ser calculada diretamente a partir da força viscosa e do caminho percorrido pelo vórtice.

A perda de la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) varia em função de la viscosidade da água do oceano ($\eta$), la velocidade do vórtice ($v_l$) e la comprimento de mistura ($l$). Em la tempo característico ($\tau$), é expressa como

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$

Condições

Variáveis

$l$

Comprimento de mistura

$m$

9489

$\epsilon_{\eta}$

Energia dissipada pela viscosidade

$J$

9486

$\tau$

Tempo característico

$s$

9491

$v_l$

Velocidade do vórtice

$m/s$

9490

$\eta$

Viscosidade da água do oceano

$Pa s$

8612

Relação

Desenvolvimento

A perda dos vórtices envolve la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) com la viscosidade da água do oceano ($\eta$), la velocidade do vórtice ($v_l$) e la comprimento de mistura ($l$).

$\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}$

A perda de energia devido a la tempo característico ($\tau$), que é

$ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

é descrita por

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$

ID:(12207, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A perda devido à flutuação pode ser calculada diretamente a partir da força de sustentação e da distância percorrida pelo vórtice.

A perda de la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) varia dependendo de ($$), la aceleração gravitacional ($g$) e la velocidade do vórtice ($v_l$). Em la tempo característico ($\tau$), é expressa como

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\epsilon_{\rho}$

Energia dissipada por flutuação

$J$

9487

$\tau$

Tempo característico

$s$

9491

$v_l$

Velocidade do vórtice

$m/s$

9490

Relação

Desenvolvimento

Como la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) é igual a ($$), la aceleração gravitacional ($g$) e à distância percorrida ($\Delta z$),

$\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g \Delta z$

a perda de energia será esta energia por la tempo característico ($\tau$), que com la comprimento de mistura ($l$) é

$ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

portanto, com la velocidade do vórtice ($v_l$), é

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $

ID:(12208, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que com la energia cinética ($\epsilon_v$), la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) são tais que

$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$

a amortização é principalmente devido à viscosidade.

Nesse caso, obtém-se uma condição para o número de Reynolds ($Re$), que é uma função de la densidade média ($\rho$), la velocidade do vórtice ($v_l$), ($$) e la viscosidade da água do oceano ($\eta$), que deve satisfazer

$ Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$

Condições

Variáveis

$\rho$

Densidade média

$kg/m^3$

9096

$Re$

Número de Reynolds

$-$

9107

$v_l$

Velocidade do vórtice

$m/s$

9490

$\eta$

Viscosidade da água do oceano

$Pa s$

8612

Relação

Desenvolvimento

No caso em que os processos difusivos são mais relevantes do que a flutuação, temos que com la energia cinética ($\epsilon_v$), la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) e la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$),

$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$

Já que com la tempo característico ($\tau$), la energia cinética ($\epsilon_v$) e la densidade média ($\rho$) é

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

e la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) é

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$

a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}$

o requisito de que o número de Reynolds ($Re$) deve ser

$ Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$

ID:(12209, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de com la energia cinética ($\epsilon_v$), la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) serem tais que

$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$

a amortização é principalmente devido à flutuabilidade.

Nesse caso, obtém-se uma condição para o número Richardson ($R_i$), que é uma função de ($$), la densidade média ($\rho$), la velocidade do vórtice ($v_l$), la aceleração gravitacional ($g$) e la comprimento de mistura ($l$), que deve satisfazer

$ R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$

Condições

Variáveis

$g$

Aceleração gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$l$

Comprimento de mistura

$m$

9489

$\rho$

Densidade média

$kg/m^3$

9096

$R_i$

Número Richardson

$-$

9494

$v_l$

Velocidade do vórtice

$m/s$

9490

Relação

Desenvolvimento

No caso de com la energia cinética ($\epsilon_v$), la energia dissipada pela viscosidade ($\epsilon_{\eta}$) e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) serem tais que

$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$

Dado que la energia cinética ($\epsilon_v$) está com la densidade média ($\rho$), la comprimento de mistura ($l$) e la velocidade do vórtice ($v_l$) em la tempo característico ($\tau$),

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

e la energia dissipada por flutuação ($\epsilon_{\rho}$) está com ($$), la aceleração gravitacional ($g$) e la velocidade do vórtice ($v_l$) em la tempo característico ($\tau$),

$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $

a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l$

surge a exigência de que o número Richardson ($R_i$) deve satisfazer

$ R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$

ID:(12210, 0)