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Proceso de mezcla en aguas profundas
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En mayores profundidades, los mecanismos de disipación de energía de los vórtices están relacionados con la viscosidad y la flotabilidad. Cuál de estos domina depende de la situación y puede determinarse mediante los números característicos asociados a ambos fenómenos.
[1] Marine Physics, Jerzy Dera, Elsevier, 1992 (6.2 The Turbulent Exchange of Mass, Heat and Momentum in the Sea)
ID:(1628, 0)
Mecanismos
Iframe
Mecanismos
ID:(15616, 0)
Energía cinética disipada por el vórtice
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En general, la disipación de energía ocurre en función del tiempo considerado, por lo que se debe comparar la energía cinética ($\epsilon_v$) con una tiempo característico ($\tau$), de modo que
$\displaystyle\frac{d\epsilon}{dt}\sim\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau}$
Existen dos tipos de proceso que reducen la energía de los vórtices hasta que pasan a ser fluctuaciones térmicas. Por un lado está la difusión del momento o viscosidad mientras que por el otro lado está la flotación.
La pérdida de la energía cinética ($\epsilon_v$) varía en función de la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) en la tiempo característico ($\tau$) es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau } $ |
ID:(15621, 0)
Variación de la energía cinética
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Como la energía cinética ($\epsilon_v$), donde por simplicidad descartamos el factor de 1/2 y depende de la densidad del medio ($\rho$) y la velocidad del vórtice ($v_l$),
$\epsilon =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2$
la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que con la longitud de mezcla ($l$) es
| $ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$ |
y así, la variación es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$ |
ID:(15608, 0)
Perdida de energía por viscosidad
Top
Como la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) está con la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$),
$\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}$
la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que con la longitud de mezcla ($l$) es
| $ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$ |
y así, la variación es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$ |
ID:(15609, 0)
Perdida de energía por flotación
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Como la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) está relacionado con la variación de la densidad ($\Delta\rho$), el aceleración gravitacional ($g$) y la longitud de mezcla ($l$):
$\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g l$
la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que es
| $ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$ |
y así, la variación es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $ |
ID:(15610, 0)
Amortiguación por viscosidad
Top
En el caso de que los procesos difusivos sean más relevantes que los de flotación, se tiene que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$),
$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$
Dado que con la tiempo característico ($\tau$), la energía cinética ($\epsilon_v$) es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$ |
y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$ |
la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con
$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}$
resulta la exigencia de que se tenga que
| $ Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$ |
ID:(15612, 0)
Amortiguación por flotación
Top
En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que
$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$
Dado que la energía cinética ($\epsilon_v$) es con la densidad ($\rho$), la longitud de mezcla ($l$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$ |
y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) es con la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $ |
la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con
$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l$
resulta la exigencia de que con se tiene que el número de Richardson ($R_i$) satisfaga
| $ R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$ |
ID:(15611, 0)
Relación numero de Richardson y Reynolds
Descripción
La relación entre el número de Reynold ($Re$) con la densidad ($\rho$), la velocidad del vórtice ($v_l$), la viscosidad del agua oceánica ($\eta$) y la tamaño característico ($l$) está dada por
| $ Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$ |
y el número de Richardson ($R_i$) con la variación de la densidad ($\Delta\rho$) y la aceleración gravitacional ($g$) está representada por
| $ R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$ |
como se muestra en el gráfico a continuación, donde ambos casos límite marcan las situaciones de límite de estabilidad:
Turbulent Coherent Structures in a Thermally stable Boundary Layer, Owen Williams and Alexander J. Smits, https://www.researchgate.net/publication/228761589_Turbulent_Coherent_Structures_in_a_Thermally_Stable_Boundary_Layer
ID:(12211, 0)
Modelo
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Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$
epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2
$ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $
epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l
$ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$
epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l
$ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau } $
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho
$ Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$
Re = rho * l * v_l / eta
$ R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$
R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 )
$ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$
tau = l / v_l
ID:(15620, 0)
Energía cinética disipada por el vórtice
Ecuación
Existen dos tipos de proceso que reducen la energía de los vórtices hasta que pasan a ser fluctuaciones térmicas. Por un lado está la difusión del momento o viscosidad mientras que por el otro lado está la flotación.
La pérdida de la energía cinética ($\epsilon_v$) varía en función de la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) en la tiempo característico ($\tau$) es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau } $ |
ID:(12205, 0)
Tiempo característico
Ecuación
Con la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$), se puede definir una tiempo característico ($\tau$), lo que permite estimar la pérdida de energía tanto por viscosidad como flotación.
Por lo tanto, se tiene que
| $ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$ |
ID:(12206, 0)
Variación de la energía cinética
Ecuación
La variación de la energía cinética ($\epsilon_v$) en la tiempo característico ($\tau$) es proporcional a la energía cinética que depende de la densidad del medio ($\rho$) y la velocidad del vórtice ($v_l$), dividida por la tiempo característico ($\tau$). Dado que esta es una función de la longitud de mezcla ($l$), se concluye que:
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$ |
Como la energía cinética ($\epsilon_v$) del vórtices depende de la densidad del medio ($\rho$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) según
$\epsilon_v =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2$
Como la tiempo característico ($\tau$) con la longitud de mezcla ($l$) es
| $ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$ |
se tiene que
$\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau} =\rho \displaystyle\frac{v_l^3}{l}$
osea
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$ |
ID:(12212, 0)
Perdida de energía por viscosidad
Ecuación
La pérdida debido a la viscosidad del agua se puede calcular directamente a partir de la fuerza viscosa y la distancia recorrida por el vórtice.
La pérdida de la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) varía en función de la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$). En la tiempo característico ($\tau$), se expresa como
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$ |
Como la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) de los vórtices está relacionado con la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$),
$\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}$
la pérdida de energía por la tiempo característico ($\tau$), que es
| $ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$ |
se expresa como
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$ |
ID:(12207, 0)
Perdida de energía por flotación
Ecuación
La pérdida debido a la flotación se puede calcular directamente a partir de la fuerza de sustentación y la distancia recorrida por el vórtice.
La pérdida de la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) varía en función de la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la velocidad del vórtice ($v_l$). En la tiempo característico ($\tau$), se expresa como
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $ |
Como la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) es igual a la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la distancia recorrida ($\Delta z$),
$\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g \Delta z$
la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que con la longitud de mezcla ($l$) es
| $ \tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$ |
por lo que con la velocidad del vórtice ($v_l$) es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $ |
ID:(12208, 0)
Amortiguación por viscosidad
Ecuación
En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que
$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$
se tiene que la amortiguación es ante todo debido a la viscosidad.
En ese caso, se obtiene una condición para el número de Reynold ($Re$), que es una función de la densidad del medio ($\rho$), la velocidad del vórtice ($v_l$), la tamaño característico ($l$) y la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), que debe satisfacer
| $ Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$ |
En el caso de que los procesos difusivos sean más relevantes que los de flotación, se tiene que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$),
$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$
Dado que con la tiempo característico ($\tau$), la energía cinética ($\epsilon_v$) y la densidad del medio ($\rho$) es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$ |
y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) es
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$ |
la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con
$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}$
resulta la exigencia de que se tenga que el número de Reynold ($Re$) es
| $ Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$ |
ID:(12209, 0)
Amortiguación por flotación
Ecuación
En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que
$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$
se tiene que la amortiguación es principalmente debido a la flotabilidad.
En ese caso, se obtiene una condición para el número de Richardson ($R_i$), que es una función de la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la densidad del medio ($\rho$), la velocidad del vórtice ($v_l$), la aceleración gravitacional ($g$) y la longitud de mezcla ($l$), que debe satisfacer
| $ R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$ |
En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que
$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$
Dado que la energía cinética ($\epsilon_v$) es con la densidad del medio ($\rho$), la longitud de mezcla ($l$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$ |
y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) es con la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),
| $ \displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l $ |
la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con
$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l$
resulta la exigencia de que con se tiene que el número de Richardson ($R_i$) satisfaga
| $ R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$ |
ID:(12210, 0)