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Modelo con Vectores

Storyboard

ID:(350, 0)


Caso de la malaria

Descripción

En el caso de la malaria, es necesario modelar no solo la infección si no también la evolución del portador de esta.

En el caso de la malaria se trata de un parásito que es transmitido por mosquitos. En el proceso las hembras del mosquito transmite el parásito al ser humano y viceversa el ser humano infectado puede infectar al mosquito.

2.7 millones de personas mueren anualmente por esta enfermedad.

ID:(877, 0)


Modelos con vectores

Descripción

Modelos en que es necesario modelar una segunda especie que participa en la dinámica de infectar a las personas.

ID:(874, 0)


Mosquito

Imagen


ID:(3023, 0)


Ecuación de los humanos infectados

Ecuación

La ecuación que describe la evolución de las personas infectadas I debe incluir un factor que describe la infección y otro que considera la recuperación o muerte de los infectados.\\n\\nEn el primer caso se debe considerar del numero total de población N_I aquellos que aun no están infectados, eso es N_I-I. Después debemos considerar la probabilidad de que sea picado p_b y que esta realmente conduzca a la enfermedad p_I. Ademas debemos considerar la fracción de los mosquitos que infectados V sobre los que existen N_V y que el mosquito sea hembra para lo que tenemos que un factor \Lambda. Con ellos el factor de aumento de las personas infectados sera\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{infectar}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)$

\\n\\nEn el segundo caso corresponde a la fracción de los que se recuperan que se comporta igual que en los modelos 'SIR' y 'SEIR':\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dI}{dt}\right)_{muere}=-\gamma I$



con lo que la ecuación para los infectados es

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$

ID:(4094, 0)


Ecuación de los mosquitos infectados

Ecuación

La ecuación que describe la evolución de los mosquitos infectadas V debe incluir un factor que describe la infección y otro que considera la muerte de los infectados.\\n\\nEn el primer caso se debe considerar del numero total de insectos N_V aquellos que aun no están infectados, eso es N_V-V. Después debemos considerar la probabilidad de que sea picado p_b y que esta realmente conduzca a la enfermedad p_V. Ademas debemos considerar la fracción de los mosquitos que infectados I sobre los que existen N_I. Con ellos el factor de aumento de las personas infectados sera\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dV}{dt}\right)_{infectar}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)$

\\n\\nEn el segundo caso corresponde a la fracción de los que se mueren que se comporta igual que en los modelos SIR y SEIR:\\n\\n

$\left(\displaystyle\frac{dV}{dt}\right)_{muere}=-\mu V$



con lo que la ecuación para los infectados es

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$

ID:(4095, 0)


Factor de reproducción

Ecuación

Con p_b la probabilidad de ser mordido, p_I la probabilidad es que la picadura genere una enfermedad en el ser humano, p_V la probabilidad de que el mosquito se infecte, \Lambda es la proporción de mosquitos sea hembra, \gamma el factor de reproducción y \mu el de muerte del mosquito el factor de reproducción sera

$R_0=\displaystyle\frac{p_b^2p_Vp_I\Lambda}{\mu\gamma}$

ID:(4098, 0)


Número de humanos infectados estacionarios

Ecuación

En el caso de que el sistema entre a una fase estacionaria la derivada temporal sera en ambos ecuaciones iguales a cero. Esto nos entrega las ecuaciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$



y

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$

\\n\\ncon lo que se tiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dt}\displaystyle\bigg|_{I=I_{\infty}}=p_bp_I\Lambda V_{\infty}(N_I-I_{\infty})-\gamma I_{\infty}N_V=0$

\\n\\ny\\n\\n

$\displaystyle\frac{dV}{dt}\displaystyle\bigg|_{V=V_{\infty}}=p_bp_VI_{\infty}(N_V-V_{\infty})-\mu V_{\infty}N_I=0$



por lo que la solución para el ser humano será

$I_{\infty}=N_I\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$

ID:(4096, 0)


Número de mosquitos infectados estacionarios

Ecuación

En el caso de que el sistema entre a una fase estacionaria la derivada temporal sera en ambos ecuaciones iguales a cero. Esto nos entrega las ecuaciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$



y

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$

\\n\\ncon lo que se tiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{dI}{dt}\displaystyle\bigg|_{I=I_{\infty}}=p_bp_I\Lambda V_{\infty}(N_I-I_{\infty})-\gamma I_{\infty}N_V=0$

\\n\\ny\\n\\n

$\displaystyle\frac{dV}{dt}\displaystyle\bigg|_{V=V_{\infty}}=p_bp_VI_{\infty}(N_V-V_{\infty})-\mu V_{\infty}N_I=0$



por lo que la solución para el mosquito será

$V_{\infty}=N_V\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$

ID:(4097, 0)


Fracción de humanos infectados

Ecuación

Para evitar trabajar con números muy grandes es conveniente transformar las ecuaciones en función de la fracción de infectados humanos en vez del número total. Por ello se introduce

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$

ID:(8204, 0)


Fracción de mosquitos infectados

Ecuación

Para evitar trabajar con números muy grandes es conveniente transformar las ecuaciones en función de la fracción de infectados mosquitos en vez del número total. Por ello se introduce

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$

ID:(8205, 0)


Ecuación de la fracción de los humanos infectados

Ecuación

Con la ecuación el número de infectados humanos es

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=p_bp_I\Lambda\displaystyle\frac{V}{N_V}(N_I-I)-\gamma I$



y la fracción de humanos infectados

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$



y mosquitos infectados

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$



se obtiene

$\displaystyle\frac{di}{dt}=p_bp_I\Lambda v(1-i)-\gamma i$

ID:(8207, 0)


Ecuación de la fracción de los mosquitos infectados

Ecuación

Con la ecuación para la evolución del número de mosquitos infectados es

$\displaystyle\frac{dV}{dt}=p_bp_V\displaystyle\frac{I}{N_I}(N_V-V)-\mu V$



y la fracción de humanos infectados

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$



y mosquitos infectados

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$



se tiene que

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=p_bp_Vi(1-v)-\mu v$

ID:(8206, 0)


Fracción de humanos infectados estacionarios

Ecuación

Dado que el número de humanos infectados en el límite estacionario es

$I_{\infty}=N_I\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$



se puede con

$ i =\displaystyle\frac{ I }{ N_I }$



reescribir el límite para la fracción de infectados

$i_{\infty}=\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{p_bp_V(\gamma+\Lambda p_bp_I)}$

ID:(8209, 0)


Fracción de mosquitos infectados estacionarios

Ecuación

Como el número de mosquitos infectados en el límite estacionario es

$V_{\infty}=N_V\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$



y se tiene que la fracción es

$ v =\displaystyle\frac{ V }{ N_V }$



se puede estimar una fracción límite mediante

$v_{\infty}=\displaystyle\frac{\Lambda p_b^2p_Ip_V-\mu\gamma}{\Lambda p_bp_I(\mu+p_bp_V)}$

ID:(8210, 0)


Simulación del modelo de vectores

Html

Con la ecuación para la fracción de humanos infectados

$\displaystyle\frac{di}{dt}=p_bp_I\Lambda v(1-i)-\gamma i$



y la fracción de mosquitos infectados es

$\displaystyle\frac{dv}{dt}=p_bp_Vi(1-v)-\mu v$

se puede correr una simulación que muestra la dinámica de ambas poblaciones.

ID:(8208, 0)