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Modelo SIRD
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El modelo SIRD considera una enfermedad que infecta personas susceptibles (S) formando infectados (I) que posteriormente se recuperan (R) o mueren (D).

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ID:(890, 0)


Modelo SIRD
Descripción

El modelo SIRD considera una enfermedad que infecta personas susceptibles (S) formando infectados (I) que posteriormente se recuperan (R) o mueren (D).

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Ecuaciones

Ejemplos

Los modelos tipos SIRD consideran cuatro tipos de poblaciones, los susceptibles S, los infectados I y los recuperados R y los muertos D.

En la medida que

• la infecci n no es mortal,
• el modelo no incluya natalidad
• el modelo no incluya muerte por otra causa

el numero total de la poblaci n sera igual a la suma de los cuatro grupos:

$ N = S + I + R + D $

En el fondo el modelo SIRD es una generalizaci n simple del modelo original SIR. Su inter s radica en estudiar los desfaces de las propagaciones de las poblaciones de recuperados R y muertos D.

(ID 8218)

En el modelo SIRD la nica diferencia con respecto del modelo SIR se da en la generaci n de dos poblaciones (recuperados y muertos) desde la misma poblaci n infectada. Por ello la din mica de la evoluci n de los suceptibles S es id ntica a la del modelo SIR. Por ello se da que la ecuaci n se rige por

$\displaystyle\frac{ dS }{ dt }=- C \displaystyle\frac{ I }{ N } S \beta $

(ID 8219)

En el caso de los recuperados R se puede modelar su taza como proporcional a el universo de infectados que existe en un momento I. Si tambi n en este caso se denomina la constante de proporcionalidad como \gamma se tiene que la poblaci n de recuperados estar descrita por

$\displaystyle\frac{ dR }{ dt }= \gamma I $

(ID 8220)

En analog a al caso de los recuperados R se puede modelar la taza de muertos como proporcional a el universo de infectados que existe en un momento I. Si la constante de proporcionalidad de denomina \delta se tiene que la poblaci n de recuperados estar descrita por

$\displaystyle\frac{ dD }{ dt }= \delta I $

(ID 8221)

En el caso del modelo SIR la din mica de los infectados esta descrita por las ecuaciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=i(t)-\displaystyle\frac{dR}{dt}$



donde

$i(t)=C\displaystyle\frac{I}{N}S\beta$



En el caso del modelo SIRD a los recuperados $R$ debe sumar seles los muertos $D$ por lo que la ecuaci n pasa a ser

\displaystyle\frac{dI}{dt}=C\beta\displaystyle\frac{I}{N}S-\displaystyle\frac{dR}{dt}-\displaystyle\frac{dD}{dt}

pero con

$\displaystyle\frac{ dR }{ dt }= \gamma I $



y

$\displaystyle\frac{ dD }{ dt }= \delta I $



esta ecuaci n se puede escribir como

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $

(ID 8222)

La tasa de infecci n

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



su signo cuando el factor entre par ntesis es cero. Esto ocurre cunado la poblaci n de susceptibles alcanza un numero critico tal que

$\displaystyle\frac{ S_{crit} }{ N }=\displaystyle\frac{ \gamma + \delta }{ \beta C }$

En dicha circunstancia la epidemia comienza a ser controlada. El numero S_{crit} se puede alcanzar ya sea por infecci n o por vacunaci n preventiva.

(ID 8224)

El factor de reproducci n de define como el factor inverso de la proporci n de susceptibles cr ticos y el tama o del grupo social N

$\displaystyle\frac{ S_{crit} }{ N }=\displaystyle\frac{ \gamma + \delta }{ \beta C }$



por lo que se tiene que:

$ R_0 =\displaystyle\frac{ \beta C }{ \gamma + \delta }$

(ID 8223)

Para contener la propagaci n se debe reducir el n mero de susceptibles S al numero cr tico

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



Por ello la fracci n a vacunar es igual a

q = \displaystyle\frac{S-S_{crit}}{N}

que en el caso de ser la totalidad de la poblaci n N suceptible igual a

q = 1-\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}

o con el factor de recuperaci n

$ R_0 =\displaystyle\frac{ \beta C }{ \gamma + \delta }$



se puede escribir como:

$ q =1-\displaystyle\frac{1}{ R_0 }$

(ID 8225)

ID:(890, 0)