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Modelo SIRD

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El modelo SIRD considera una enfermedad que infecta personas susceptibles (S) formando infectados (I) que posteriormente se recuperan (R) o mueren (D).

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Modelos SIRD

Ecuación

Los modelos tipos SIRD consideran cuatro tipos de poblaciones, los susceptibles S, los infectados I y los recuperados R y los muertos D.

En la medida que

• la infección no es mortal,
• el modelo no incluya natalidad
• el modelo no incluya muerte por otra causa

el numero total de la población sera igual a la suma de los cuatro grupos:

$ N = S + I + R + D $

En el fondo el modelo SIRD es una generalización simple del modelo original SIR. Su interés radica en estudiar los desfaces de las propagaciones de las poblaciones de recuperados R y muertos D.

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Ecuación de susceptibles de SIRD

Ecuación

En el modelo SIRD la única diferencia con respecto del modelo SIR se da en la generación de dos poblaciones (recuperados y muertos) desde la misma población infectada. Por ello la dinámica de la evolución de los suceptibles S es idéntica a la del modelo SIR. Por ello se da que la ecuación se rige por

$\displaystyle\frac{ dS }{ dt }=- C \displaystyle\frac{ I }{ N } S \beta $

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Ecuación de recuperados de SIRD

Ecuación

En el caso de los recuperados R se puede modelar su taza como proporcional a el universo de infectados que existe en un momento I. Si también en este caso se denomina la constante de proporcionalidad como \gamma se tiene que la población de recuperados estará descrita por

$\displaystyle\frac{ dR }{ dt }= \gamma I $

ID:(8220, 0)


Ecuación de muertos de SIRD

Ecuación

En analogía al caso de los recuperados R se puede modelar la taza de muertos como proporcional a el universo de infectados que existe en un momento I. Si la constante de proporcionalidad de denomina \delta se tiene que la población de recuperados estará descrita por

$\displaystyle\frac{ dD }{ dt }= \delta I $

ID:(8221, 0)


Ecuación de infectados

Ecuación

En el caso del modelo SIR la dinámica de los infectados esta descrita por las ecuaciones

$\displaystyle\frac{dI}{dt}=i(t)-\displaystyle\frac{dR}{dt}$



donde

$i(t)=C\displaystyle\frac{I}{N}S\beta$



En el caso del modelo SIRD a los recuperados $R$ debe sumar seles los muertos $D$ por lo que la ecuación pasa a ser

\displaystyle\frac{dI}{dt}=C\beta\displaystyle\frac{I}{N}S-\displaystyle\frac{dR}{dt}-\displaystyle\frac{dD}{dt}

pero con

$\displaystyle\frac{ dR }{ dt }= \gamma I $



y

$\displaystyle\frac{ dD }{ dt }= \delta I $



esta ecuación se puede escribir como

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $

ID:(8222, 0)


Susceptibles críticos

Ecuación

La tasa de infección

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



su signo cuando el factor entre paréntesis es cero. Esto ocurre cunado la población de susceptibles alcanza un numero critico tal que

$\displaystyle\frac{ S_{crit} }{ N }=\displaystyle\frac{ \gamma + \delta }{ \beta C }$

En dicha circunstancia la epidemia comienza a ser controlada. El numero S_{crit} se puede alcanzar ya sea por infección o por vacunación preventiva.

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Factor de recuperación

Ecuación

El factor de reproducción de define como el factor inverso de la proporción de susceptibles críticos y el tamaño del grupo social N

$\displaystyle\frac{ S_{crit} }{ N }=\displaystyle\frac{ \gamma + \delta }{ \beta C }$



por lo que se tiene que:

$ R_0 =\displaystyle\frac{ \beta C }{ \gamma + \delta }$

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Limite de contención

Ecuación

Para contener la propagación se debe reducir el número de susceptibles S al numero crítico

$\displaystyle\frac{ dI }{ dt }=\left(\displaystyle\frac{ \beta C }{ N } S - \gamma - \delta \right) I $



Por ello la fracción a vacunar es igual a

q = \displaystyle\frac{S-S_{crit}}{N}

que en el caso de ser la totalidad de la población N suceptible igual a

q = 1-\displaystyle\frac{S_{crit}}{N}

o con el factor de recuperación

$ R_0 =\displaystyle\frac{ \beta C }{ \gamma + \delta }$



se puede escribir como:

$ q =1-\displaystyle\frac{1}{ R_0 }$

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