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Soluciones Aproximadas
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La complejidad de la ecuación de transporte radica en la consideración del termino de colisiones. Una de las aproximaciones es tomar la función de distribución y definir que el elemento de colisión es proporcional a la diferencia entre la función de distribución real y aquella en estacionaria.

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ID:(1114, 0)


Aproximación por distribución Maxwell Boltzmann
Ecuación

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En primera aproximación se puede suponer que la función distribución debe de asumir la forma de una distribución de Maxwell Boltzmann, es decir

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$

ID:(9082, 0)


Aproximación de Relajación
Ecuación

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Una forma de solucionar la ecuación general de Boltzmann es linearizar la ecuación suponiendo que el termino de colisión se puede escribir como la diferencia entre la función distribución y la solución en equilibrio representada por la función distribución de Maxwell Boltzmann

$\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$

ID:(9083, 0)


Aproximación de Bhatnagar-Gross-Krook
Ecuación

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En la aproximación Bhatnagar-Gross-Krook la distribución en equilibrio se asume como la de un gas de partículas sin interacción

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$



con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresión en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$

con \omega_i los pesos dados por

Modelo$\omega_i$Index
1DQ3 ? i=0
- ? i=1, 2
2DQ9 4/9 i=0
- 1/9 i=1,...,4
- 1/36 i=5,...,8
3DQ15 1/3 i=0
- 1/18 i=1,...,6
- 1/36 i=7,...,14
3DQ19 ? i=0
- ? i=1,...,6
- ? i=7,...,18

que se determinan asegurando que la distribución equilibrio cumpla las leyes de conservación.

ID:(9084, 0)


Streaming
Ecuación

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En el proceso de streaming se desplazan las partículas según sus direcciones de velocidades a las celdas vecinas

$f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$

donde \vec{x} es la posición, t el tiempo, \delta t el incremento en el tiempo, \vec{e}_i la dirección de la grilla y c la velocidad.

ID:(9150, 0)


Función de discretización
Ecuación

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En el caso de la discretización en los modelos LBM se trabaja no con funciones de la velocidad si no que con componentes discretas. De esta forma se define la componente i mediante:

$f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$

en donde w_i es el peso relativo.

ID:(8466, 0)