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Aproximación por distribución Maxwell Boltzmann
Equation

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En primera aproximación se puede suponer que la función distribución debe de asumir la forma de una distribución de Maxwell Boltzmann, es decir

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$

ID:(9082, 0)


Relaxation Approach
Equation

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One way to solve Boltzmann's general equation is to linearize the equation by assuming that the collision term can be written as the difference between the distribution function and the equilibrium solution represented by the distribution function of Maxwell Boltzmann

$\displaystyle\frac{df}{dt}=-\displaystyle\frac{1}{\tau}(f-f^{(0)})$

ID:(9083, 0)


Bhatnagar-Gross-Krook Approach
Equation

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En la aproximación Bhatnagar-Gross-Krook la distribución en equilibrio se asume como la de un gas de partículas sin interacción

$f^{(0)}(\vec{x},\vec{v},t)=c(\vec{x},t)\left(\displaystyle\frac{m\beta}{2\pi}\right)^{3/2}e^{-\beta m(\vec{v}-\vec{u}(\vec{x},t))^2/2}$



con \vec{u} la velocidad del flujo, k la constante de Boltzmann, T la temperatura y m la masa de la particula. Si se desarrolla esta expresión en el limite de velocidades \vec{u} comparada con la velocidad de las moleculas c\hat{e}_i se tiene que

$f_i^{eq}=\rho\omega_i\left(1+\displaystyle\frac{3\vec{u}\cdot\vec{e}_i}{c}+\displaystyle\frac{9(\vec{u}\cdot\vec{e}_i)^2}{2c^2}-\displaystyle\frac{3u^2}{2c^2}\right)$

con \omega_i los pesos dados por

Modelo$\omega_i$Index
1DQ3 ? i=0
- ? i=1, 2
2DQ9 4/9 i=0
- 1/9 i=1,...,4
- 1/36 i=5,...,8
3DQ15 1/3 i=0
- 1/18 i=1,...,6
- 1/36 i=7,...,14
3DQ19 ? i=0
- ? i=1,...,6
- ? i=7,...,18

que se determinan asegurando que la distribución equilibrio cumpla las leyes de conservación.

ID:(9084, 0)


Streaming
Equation

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In the streaming process the particles are moved according to their velocity directions to neighboring cells

$f_i(\vec{x},t)\leftarrow f_i(\vec{x}+ce_i\delta t,t+\delta t)$

where \vec{x} is the position, t time, \vec{e} _i the direction of the grid and c the speed.

ID:(9150, 0)


Discretization function
Equation

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In the case of the discretization in the LBM models we work not with functions of the speed if not with discrete components. In this way the i component is defined by:

$f_i(\vec{x},t)=w_if(\vec{x},\vec{v}_i,t)$

where w_i is the relative weight.

ID:(8466, 0)