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Limite continuo
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En base a las distintas propiedades que se pueden calcular con las distribuciones de velocidades se pueden también establecer ecuaciones diferenciales continuas que equivalen a las conocidads ecuación de continuidad, Navier Stokes y transporte de calor.

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ID:(1222, 0)


Limite continuo
Descripción

En base a las distintas propiedades que se pueden calcular con las distribuciones de velocidades se pueden también establecer ecuaciones diferenciales continuas que equivalen a las conocidads ecuación de continuidad, Navier Stokes y transporte de calor.

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Ejemplos

Como la masa es constante, la fuerza con es

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}\cdot\nabla_{\vec{x}} f+\displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}\cdot\nabla_{\vec{v}} f=0$



puede ser reemplazada por la masa por la aceleraci n quedando con la ecuaci n de Boltzmann de la forma

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

en que se incluyo un termino que representa las colisiones.

(ID 9709)

Si se multiplica la ecuaci n con

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



por la masa y se integra sobre las velocidades se obtiene con que

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

(ID 9710)

El primer termino de la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



puede reescribirse con la expresi n para la densidad con

$\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



con como

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v f=\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}$

(ID 9711)

El primer termino de la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



puede reescribirse con la expresi n para la velocidad media con

$\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



con como

$m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_i)=\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})$

(ID 9712)

El tercer termino de la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

\\n\\npuede reescribirse como\\n\\n

$m\displaystyle\int_V d^3v \displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int_V d^3v\vec{\nabla}\cdot(\vec{a}f)$

\\n\\nlo que se puede reducir, mediante el teorema de la divergencia, a una integral sobre la superficie \\n\\n

$m\displaystyle\int_V d^3v\vec{\nabla}\cdot(\vec{a}f)=m\displaystyle\int_S dS\hat{n}\cdot(\vec{a}f)$



Como se puede asumir que la velocidad en el infinito es cero se tendr con que el tercer termino es nulo:

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=0$

(ID 9713)

Como la masa se conserva, el termino de colisiones en la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



debe ser nulo, o sea con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$

(ID 9714)

Partiendo de las expresiones, con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v f=\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}$



con

$m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_i)=\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})$



con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=0$



y con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$



la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3vf+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



se reduce a la ecuaci n de continuidad con :

$\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})=0$

(ID 9715)

Si se multiplica la ecuaci n con

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



por la masa y componente j de la velocidad y se integra sobre las velocidades se obtiene con que

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

(ID 9716)

El primer termino de la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



puede reescribirse con la expresi n para la velocidad media con

$\vec{u}(\vec{x},t) = \displaystyle\frac{m}{\rho}\int \vec{v}f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



con como

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf=\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)$

(ID 9717)

El segundo termino de la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



involucra un tensor del promedio del producto de las velocidades con :

$\rho\langle v_jv_i\rangle\equiv m\displaystyle\int d^3v v_jv_if$

(ID 9718)

La velocidad \vec{v} de las part culas se define respecto de un sistema de coordenadas fijo en el laboratorio. Como el flujo se desplaza a la velocidad \vec{u} se tiene que la velocidad de las part culas respecto de un sistema de coordenadas que se desplaza con el flujo es

$\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}$

(ID 9720)

Por definici n de la velocidad media de las part culas es igual a la velocidad del flujo:\\n\\n

$\langle\vec{v}\rangle=\vec{u}$



y por ello la velocidad de las part culas en el sistema local con es

$\langle\vec{w}\rangle=\langle\vec{v}\rangle-\langle\vec{u}\rangle=\langle\vec{v}\rangle-\vec{u}=0$

(ID 9721)

Con la definici n de la velocidad en el sistema de coordenadas locales \vec{w} definido con mediante

$\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}$



se puede reescribir el tensor del promedio del producto de las velocidades con como

$m\displaystyle\int d^3v v_jv_if=\rho\langle v_jv_i\rangle=\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle$

(ID 9722)

El tercer termino de la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

\\n\\ncorresponde a la derivada temporal de la densidad por el producto de la velocidad y la derivada de la funci n de distribuci n\\n\\n

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_i v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}$

\\n\\nen que se puede realizar una integraci n parcial quedando\\n\\n

$m\displaystyle\sum_i a_i\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\sum_i a_i\displaystyle\int d^3v\left[\displaystyle\frac{\partial}{\partial v_i}(fv_i)-\delta_{ij}f\right]$

\\n\\nEn este caso se puede realizar la integraci n en que el primer termino es nulo en la medida que la distribuci n lo sea en el infinito, por lo que se tiene\\n\\n

$m\displaystyle\sum_i a_i\displaystyle\int d^3v\left[\displaystyle\frac{\partial}{\partial v_i}(fv_i)-\delta_{ij}f\right]=-a_jm\displaystyle\int d^3v f$



que con la densidad con

$\rho(\vec{x},t) = m\displaystyle\int f(\vec{x},\vec{v},t)d\vec{v}$



resulta con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_i v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=-\rho a_j$

(ID 9719)

Como el momento se conserva en las colisiones, el termino de colisiones en la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



debe ser nulo, o sea con

$m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$

(ID 9723)

De las expresiones, con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf=\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)$



con

$m\displaystyle\int d^3v v_jv_if=\rho\langle v_jv_i\rangle=\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle$



con

$m\displaystyle\int d^3v \displaystyle\sum_i v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=-\rho a_j$



y con

$m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c=0$



la ecuaci n con

$m\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v v_jf+m\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v v_jv_if+m\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v v_ja_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=m\displaystyle\int d^3v v_j\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



se reduce a la ecuaci n de continuidad con :

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle)-\rho a_j=0$

(ID 9724)

La ecuaci n con

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}(\rho u_j)+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho u_ju_i + \rho\langle w_jw_i\rangle)-\rho a_j=0$



se puede reescribir con la ecuaci n de continuidad con

$\displaystyle\frac{\partial\rho}{\partial t}+\vec{\nabla}\cdot(\rho\vec{u})=0$



con como:

$\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho\langle w_jw_i\rangle)=\rho\vec{a}$

(ID 9725)

La presi n se puede expresar con en funci n de las velocidades locales de las part culas mediante:

$p=\displaystyle\frac{1}{3}\rho\displaystyle\sum_i\langle w_i^2\rangle$

(ID 9726)

Para escribir la ecuaci n del flujo en la forma tradicional se puede introducir con el tensor de tensi n viscosa definido con la presi n:

$p=\displaystyle\frac{1}{3}\rho\displaystyle\sum_i\langle w_i^2\rangle$



con por

$\pi_{ij}=p\delta_{ij}-\rho\langle w_iw_j\rangle$

(ID 9727)

Con el tensor de tensi n viscosa con :

$\pi_{ij}=p\delta_{ij}-\rho\langle w_iw_j\rangle$



la ecuaci n de flujo con

$\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}(\rho\langle w_jw_i\rangle)=\rho\vec{a}$



se escribe con como

$\rho\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\vec{u}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}+\vec{\nabla} p-\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\pi_{ij}=\rho\vec{a}$

(ID 9728)

Si se multiplica la ecuaci n con

$\displaystyle\frac{\partial f}{\partial t}+\displaystyle\sum_iv_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_i}+\displaystyle\sum_ia_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$



por la energ a cin tica y se integra sobre las velocidades se obtiene que con

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2f+\displaystyle\sum_i \displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i}\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2v_if+\displaystyle\sum_i\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2a_i\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v_i}=\displaystyle\int d^3v \displaystyle\frac{1}{2}mv^2\displaystyle\frac{df}{dt}\mid_c$

(ID 9729)

La energ a se puede calcular con de

$\epsilon=\displaystyle\frac{1}{2}\langle\vec{w}\cdot\vec{w}\rangle$

(ID 9730)

El flujo de energ a por conducci n se puede calcular con de

$\vec{F}=\displaystyle\frac{1}{2}\langle\vec{w}(\vec{w}\cdot\vec{w})\rangle$

(ID 9731)

La fracci n de disipaci n viscosa se puede calcular con de

$\Psi=\displaystyle\sum_{i,j}\pi_{ij}\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$

(ID 9732)

La energ a se puede calcular con

$\rho\displaystyle\frac{\partial\epsilon}{\partial t}+\rho\vec{u}\cdot\vec{\nabla}\epsilon=-p\vec{\nabla}\cdot\vec{u}-\vec{\nabla}\cdot\vec{F}+\Psi$

(ID 9733)

ID:(1222, 0)