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Poisson-Verteilungen
Storyboard

In dem Fall, in dem die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, wird die Binomialverteilung auf eine Poisson-Verteilung reduziert.

>Modell

ID:(1555, 0)


Distribución binomial
Gleichung

>Top, >Modell


Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$



con el número total de pasos es

$N=n_1+n_2$



y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$



por lo que con se tiene la distribución binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

ID:(8961, 0)


Anwendung des Sterling-Ansatzes
Gleichung

>Top, >Modell


Daher sind Ausdrücke wie N!/(Nn)! für N groß (N\gg 1) und n klein (N\gg n) kann mit angenähert werden

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$



mit dem, was Sie mit N\gg n erhalten

\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{\sqrt{2\pi N}}{\sqrt{2\pi (N-n)}}\displaystyle\frac{N^N}{(N-n)^{N-n}}\displaystyle\frac{e^{N-n}}{e^N}\sim N^n

folglich

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$

ID:(4738, 0)


Desviación Estandard Poison
Gleichung

>Top, >Modell


ID:(8964, 0)


Schätzen von $N! p^n/(N-n)! $ wenn $p\sim 0$ und $N\gg n$
Gleichung

>Top, >Modell


Mit der Annäherung

$N^n\sim\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}$



und beschäftigen

$\lambda=Np$



es kann gezeigt werden, dass

$\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$

ID:(8969, 0)


Schätzung von $(1-p)^{N-n}$, wenn $p \sim 0$ und $N\gg n$
Gleichung

>Top, >Modell


Wie das Exponential definiert ist als

$e^z\sim\left(1+\displaystyle\frac{z}{u}\right)^u$



und durch Eingabe

$\lambda=Np$



Sie können z=-\lambda=-Np und u=N-n durch N\gg n welche Ergebnisse ersetzen

$e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$

ID:(8968, 0)


Wahrscheinlichkeit für große $N$ und kleine $p$
Gleichung

>Top, >Modell


Da die Wahrscheinlichkeit, n Schritte in eine Richtung zu unternehmen, ist

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$



für eine große Anzahl N und die Wahrscheinlichkeit ist sehr klein p \ll 1 kann angenähert werden

$\displaystyle\frac{N!}{(N-n)!}p^n\sim \lambda^n$



und

$e^{-\lambda}\sim (1-p)^{N-n}$



Die Binomialverteilung wird auf eine Poisson-Verteilung reduziert:

$ P_{\lambda}(n) =\displaystyle\frac{ \lambda ^ n }{ n! }e^{- \lambda }$

ID:(3369, 0)


Beispielvergleich mit der Poisson-Verteilung
Bild

>Top


Wenn wir die Binomialverteilung für große Zahlen N und eine sehr kleine Wahrscheinlichkeit p \ ll 1 untersuchen, kann sie mit einer Poisson-Verteilung angenähert werden. Der Vergleich kann mit folgendem Simulator durchgeführt werden:

ID:(7794, 0)


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Video

Video: Poisson-Verteilungen