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Distribución de Gauss

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En el limite de probabilidades similares la distribución binomial se reduce en el limite continuo a la distribución Gausseana.

>Modelo

ID:(1556, 0)

Distribución binomial

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la probabilidad de que se de un numero definido de pasos a la derecha e izquierda esta dada por

$W_N(n_1,n_2)=\displaystyle\frac{N!}{n_1!n_2!}p^{n_1}q^{n_2}$

con el número total de pasos es

$N=n_1+n_2$

y solo existe la probabilidad de ir a la derecha o a la izquierda, con se tiene para las probabilidades que

$p+q=1$

por lo que con se tiene la distribución binomial

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

ID:(8961, 0)

Aproximación para $N!$

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la aproximación de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

y el cambio de variables

$ u = N $

se obtiene que

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$

ID:(8998, 0)

Aproximación para $n!$

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la aproximación de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

y el cambio de variables

$ u = n $

se obtiene que

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

ID:(9003, 0)

Aproximación para $(N-n)!$

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la aproximación de Stirling

$u!\sim\sqrt{2\pi u}\left(\displaystyle\frac{u}{e}\right)^u$

y el cambio de variables

$ u = N - n $

se obtiene

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$

ID:(8999, 0)

Factor $N!/n!(N-n)!$ para $N\gg 1$, $n\gg 1$ y $N>n$

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de probabilidades medianas (p\sim q \sim 1/2) y numeros grandes N se puede mostrar con

$N!\sim\sqrt{2\pi N}\left(\displaystyle\frac{N}{e}\right)^N$

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\displaystyle\frac{n}{e}\right)^n$

$(N-n)!\sim\sqrt{2\pi(N-n)}\left(\displaystyle\frac{N-n}{e}\right)^{N-n}$

se obtiene

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

ID:(507, 0)

Binomial para números grandes y probabilidades medias

Ecuación

>Top, >Modelo

La expresión

$ W_N(n) =\displaystyle\frac{ N !}{ n !( N - n )!} p ^ n (1- p )^{ N - n }$

se reduce con

$\displaystyle\frac{N!}{n!(N-n)!}\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}$

a la representación

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

ID:(506, 0)

Posición media

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se dan N pasos totales con una probabilidad p en dirección de la derecha y estos tienen un largo a la posición final esperada será

$\mu=aNp$

ID:(9008, 0)

Cambio de variables por desplazamiento $x=(n-Np)a$

Ecuación

>Top, >Modelo

Para obtener la distribución de Gauss es necesario desarrollar la distribución en torno de su desviación de su posición media que se puede dar por

$x=(n-Np)a$

ID:(8973, 0)

Factor $n/N$ en función del camino $x$

Ecuación

>Top, >Modelo

Como el camino es

$x=(n-Np)a$

el factor n/N se puede escribir como

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

ID:(9004, 0)

Factor $N-n/N$ en función del camino $x$

Ecuación

>Top, >Modelo

Como el camino es

$x=(n-Np)a$

el factor n/N se puede escribir como

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

ID:(9005, 0)

Distribución binomial en función de la desviación

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se introduce en la distribución binomial para el caso números grandes y probabilidades en torno a 1/2

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}}\left(\displaystyle\frac{n}{N}\right)^{-n-1/2}\left(\displaystyle\frac{N-n}{N}\right)^{-N+n-1/2}p^n(1-p)^{N-n}$

las expresiones

$\displaystyle\frac{n}{N}=p\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)$

$\displaystyle\frac{N-n}{N}=(1-p)\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)$

se obtiene una distribución de la forma

$W_N(n)\sim\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N}p(1-p)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)^{-n-1/2}\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)^{-N+n-1/2}$

ID:(8974, 0)

Cambio de variable $u=x/aNp$

Ecuación

>Top, >Modelo

Para desarrollar el factor 1+x/aNp se puede trabajar con el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$

ID:(9021, 0)

Factor $1+x/aNp$ para $N\gg 1$ y $p\sim 1/2$

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la aproximación

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

y el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aNp}$

se tiene que

$\left(1+\displaystyle\frac{x}{aNp}\right)\sim e^{x/aNp-x^2/2a^2N^2p^2}$

ID:(9006, 0)

Cambio de variable $u=x/aN(1-p)$

Ecuación

>Top, >Modelo

Para desarrollar el factor 1+x/aN(1-p) se puede trabajar con el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$

ID:(9022, 0)

Factor $1-x/aN(1-p)$ para $N\gg 1$ y $p\sim 1/2$

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la aproximación

$1+u\sim e^{u-\frac{1}{2}u^2}$

y el cambio de variable

$u=\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}$

se tiene que

$\left(1-\displaystyle\frac{x}{aN(1-p)}\right)\sim e^{-x/aN(1-p)-x^2/2a^2N^2(1-p)^2}$

ID:(9007, 0)

Probabilidad para $N$ grandes y $p$ medianos

Ecuación

>Top, >Modelo

Se puede demostrar que para un número grande N y probabilidad p ni muy pequeño ni muy cercano a 1, la distribución binomial se reduce a una gausseana para la posición x=na:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi N^2p(1-p)}}e^{-(x-aNp)^2/2N^2p(1-p)}$

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

ID:(3367, 0)

Generalización del límite de números grandes

Ecuación

>Top, >Modelo

En el problema del Random Walk, con probabilidades p y q iguales, el valor medio termina siendo cero. Sin embargo si generalizamos la ecuación y elegimos coordenadas no centradas en el origen se obtiene que a la distancia x le debemos restar el valor esperado \mu:

$P(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$

En este caso se reemplazo la probabilidad q por 1-p.

ID:(3368, 0)