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Ejemplo de partículas libres
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Una vez que hemos establecido cómo contar estados y estimar probabilidades en situaciones de interés, podemos explorar cómo se comporta un sistema de muchas partículas libres.
ID:(435, 0)
Discretización del Espacio de Fase
Ecuación
Para poder calcular probabilidades debemos contabilizar las veces que una situación se da. En este caso podemos discretizar el espacio de fase en intervalos de largo
Cada una de estas celdas es de un 'volumen'
Por ello con se tiene que
| $\Delta p\Delta q \sim h$ |
Surge asi una red de puntos discretos en el espacio de fase. Cada sistema esta en un estado que corresponde a uno de estos puntos.
La probabilidad de que el sistema se encuentre en un punto en particular se determina contabilizando los sistemas del ensamble que cumplen esta condición dividido por todos los posibles estados.
ID:(527, 0)
Caso Mecánica Clásica
Descripción
En la mecánica clásica, un sistema se describe mediante las coordenadas $q_1, q_2, \ldots, q_f$ y los momentos $p_1, p_2, \ldots, p_f$, donde $f$ representa el número de grados de libertad. El estado del sistema se representa como un punto en el espacio de fase, dado por $(q_1, q_2, \ldos, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
En el caso de un sistema compuesto por $N$ partículas libres, que se describen utilizando un total de $3N$ coordenadas, el número de grados de libertad se define como $f = 3N$.
ID:(524, 0)
Caso Mecánica Cuántica
Descripción
En la mecánica cuántica, el estado se describe mediante la función de onda $\psi$, que depende de las variables $q_1, q_2, \ldos, q_f$, donde $f$ representa el número de grados de libertad del sistema.
La función de onda es una solución, en el caso no relativista y para partículas sin espín, de la ecuación de Schrödinger. A las funciones de onda se les asocian valores propios que típicamente son números enteros. Estos números representan los posibles estados del sistema, los cuales están limitados por la energía del sistema.
ID:(523, 0)
Caso de un gas de partículas libres, volumen
Ecuación
En el caso de partículas libres, no existe dependencia de la posición, y al calcular el espacio de fase, es necesario realizar la suma o la integración sobre todas las posiciones.
Por lo tanto, utilizando la notación de , obtenemos:
 $V=\displaystyle\int_V d^3q$ |
ID:(522, 0)
Calculo del número de estados
Descripción
En la mecánica clásica, un sistema se describe mediante las coordenadas $q_1, q_2, \ldots, q_f$ y los momentos $p_1, p_2, \ldots, p_f$, donde $f$ representa el número de grados de libertad. El estado del sistema se representa como un punto en el espacio de fase, dado por $(q_1, q_2, \ldots, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
En el caso de un sistema compuesto por $N$ partículas libres, que se describen utilizando un total de $3N$ coordenadas, el número de grados de libertad se define como $f = 3N$.
ID:(10580, 0)
Caso de un gas de partículas libres
Ecuación
En el caso de $N$ partículas libres en la aproximación clásica, debemos realizar una integración en el espacio de fase con la restricción que describe el sistema.
Dado que se trata de un gas de partículas libres, la restricción se limita únicamente a la energía y no depende de la posición. Por lo tanto, podemos expresar la energía como:
$E=\displaystyle\frac{1}{2m}\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$
Esta expresión se puede simplificar usando notación matemática como:
| $2mE=\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$ |
Esta fórmula representa una "esfera de radio" de $\sqrt{2mE}$ en un "espacio de fase" de $3N$ dimensiones.
ID:(528, 0)
Número de estados partículas libres
Ecuación
La integral sobre el espacio de estados se calcula con posición $m$ y volumen $m^3$ mediante
| $V=\displaystyle\int_V d^3q$ |
con la condición para la energía que con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ y numero de Partículas $-$ es
| $2mE=\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$ |
\\n\\nse deja integrar en forma simple en las coordenadas espaciales. Cada integral es igual al volumen
$3N-1\sim 3N$
Por ello se puede estimar con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ y numero de Partículas $-$
| $\Omega(E,N)=\Omega_0\left(\displaystyle\frac{V}{\Delta q^3}\right)^N\left(\displaystyle\frac{2mE}{\Delta p^2}\right)^{3N/2}$ |
ID:(3433, 0)
Número de estados partículas libres con celda
Ecuación
En el calculo del número de estados se obtiene el número de estados con energía del sistema $J$, factor de normalización $-$, incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$, masa de la partícula $kg$, numero de estados para energía y partículas dadas $-$, numero de Partículas $-$ y volumen $m^3$ son
| $\Omega(E,N)=\Omega_0\left(\displaystyle\frac{V}{\Delta q^3}\right)^N\left(\displaystyle\frac{2mE}{\Delta p^2}\right)^{3N/2}$ |
Como el elemento de volumen del espacio de fase es con constante de Planck $J s$, incerteza en el momento $kg m/s$ y incerteza en la posición $m$ igual a
| $\Delta p\Delta q \sim h$ |
por lo que el número de estados se deja simplificar con constante de Planck $J s$, incerteza en el momento $kg m/s$ y incerteza en la posición $m$ a
| $ \Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}$ |
ID:(4805, 0)
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