Para poder calcular probabilidades debemos contabilizar las veces que una situaci n se da. En este caso podemos discretizar el espacio de fase en intervalos de largo \Delta q en la posici n y \Delta p en el momento.

Cada una de estas celdas es de un 'volumen' \Delta p\Delta q que se puede asumir debe ser del orden de la constante de Planck que es un an logo del principio de Heisenberg.

Por ello con se tiene que

Surge asi una red de puntos discretos en el espacio de fase. Cada sistema esta en un estado que corresponde a uno de estos puntos.

La probabilidad de que el sistema se encuentre en un punto en particular se determina contabilizando los sistemas del ensamble que cumplen esta condici n dividido por todos los posibles estados.

(ID 527)

In der klassischen Mechanik wird ein System durch die Koordinaten $q_1, q_2, \ldos, q_f$ und die Impulse $p_1, p_2, \ldos, p_f$ beschrieben, wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade darstellt. Der Zustand des Systems wird als Punkt im Phasenraum dargestellt und durch $(q_1, q_2, \ldos, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$ angegeben.

Im Fall eines Systems, das aus $N$ freien Teilchen besteht und mit insgesamt $3N$ Koordinaten beschrieben wird, wird die Anzahl der Freiheitsgrade als $f = 3N$ definiert.

(ID 524)

In der Quantenmechanik wird der Zustand durch die Wellenfunktion $\psi$ beschrieben, die von den Variablen $q_1, q_2, \ldos, q_f$ abh ngt, wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems darstellt.

Die Wellenfunktion ist eine L sung der Schr dinger-Gleichung im nicht-relativistischen Fall und f r Teilchen ohne Spin. Den Wellenfunktionen werden Eigenwerte zugeordnet, die in der Regel ganze Zahlen sind. Diese ganzen Zahlen repr sentieren m gliche Zust nde des Systems, die durch die Energie des Systems begrenzt sind.

(ID 523)

Im Fall von freien Teilchen gibt es keine Positionsabh ngigkeit, und bei der Berechnung des Phasenraums ist es notwendig, ber alle Positionen zu summieren oder zu integrieren.

Daher ergibt sich unter Verwendung der Notation von :

(ID 522)

In der klassischen Mechanik wird ein System durch die Koordinaten $q_1, q_2, \ldots, q_f$ und die Impulse $p_1, p_2, \ldots, p_f$ beschrieben, wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade darstellt. Der Zustand des Systems wird als Punkt im Phasenraum dargestellt und durch $(q_1, q_2, \ldots, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$ angegeben.

Im Fall eines Systems, das aus $N$ freien Teilchen besteht und mit insgesamt $3N$ Koordinaten beschrieben wird, wird die Anzahl der Freiheitsgrade als $f = 3N$ definiert.

(ID 10580)

Im Fall von $N$ freien Teilchen in der klassischen Approximation m ssen wir eine Integration im Phasenraum unter Ber cksichtigung der die Systembeschreibung darstellenden Beschr nkung durchf hren.

Da es sich um ein Gas freier Teilchen handelt, beschr nkt sich die Einschr nkung ausschlie lich auf die Energie und h ngt nicht von der Position ab. Daher k nnen wir die Energie wie folgt ausdr cken:

$E=\displaystyle\frac{1}{2m}\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$

Diese Ausdruck kann unter Verwendung mathematischer Notation vereinfacht werden zu:

Diese Formel repr sentiert eine "Kugel mit Radius" $\sqrt{2mE}$ in einem "Phasenraum" mit $3N$ Dimensionen.

(ID 528)

La integral sobre el espacio de estados se calcula con posición $m$ und volumen $m^3$ mediante

con la condici n para la energ a que con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ und numero de Partículas $-$ es

\\n\\nse deja integrar en forma simple en las coordenadas espaciales. Cada integral es igual al volumen V y como son N part culas dichas integrales dan V^N.\\n\\nLa integral sobre el momento se limita a una la superficie de una esfera de radio \sqrt{2mE}. En analog a al caso tridimensional la superficie sera proporcional al radio elevado al numero de grados de libertad 3N menos uno, lo que igual se puede asumir como:\\n\\n

$3N-1\sim 3N$

Por ello se puede estimar con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ und numero de Partículas $-$

(ID 3433)

En el calculo del n mero de estados se obtiene el n mero de estados con energía del sistema $J$, factor de normalización $-$, incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$, masa de la partícula $kg$, numero de estados para energía y partículas dadas $-$, numero de Partículas $-$ und volumen $m^3$ son

Como el elemento de volumen del espacio de fase es con incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$ und planck Konstante $J s$ igual a

por lo que el n mero de estados se deja simplificar con incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$ und planck Konstante $J s$ a

(ID 4805)