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Beispiel für freie Partikel
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Sobald wir die Methode zur Zustandszählung und Wahrscheinlichkeitseinschätzung in interessanten Situationen definiert haben, können wir untersuchen, wie sich ein System aus vielen freien Teilchen verhält.
ID:(435, 0)
Quantum Berechnung der Anzahl der Staaten
Gleichung
Para poder calcular probabilidades debemos contabilizar las veces que una situación se da. En este caso podemos discretizar el espacio de fase en intervalos de largo
Cada una de estas celdas es de un 'volumen'
Por ello con se tiene que
| $\Delta p\Delta q \sim h$ |
Surge asi una red de puntos discretos en el espacio de fase. Cada sistema esta en un estado que corresponde a uno de estos puntos.
La probabilidad de que el sistema se encuentre en un punto en particular se determina contabilizando los sistemas del ensamble que cumplen esta condición dividido por todos los posibles estados.
ID:(527, 0)
Fall Klassische Mechanik
Beschreibung
In der klassischen Mechanik wird ein System durch die Koordinaten $q_1, q_2, \ldos, q_f$ und die Impulse $p_1, p_2, \ldos, p_f$ beschrieben, wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade darstellt. Der Zustand des Systems wird als Punkt im Phasenraum dargestellt und durch $(q_1, q_2, \ldos, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$ angegeben.
Im Fall eines Systems, das aus $N$ freien Teilchen besteht und mit insgesamt $3N$ Koordinaten beschrieben wird, wird die Anzahl der Freiheitsgrade als $f = 3N$ definiert.
ID:(524, 0)
Fall Quantenmechanik
Beschreibung
In der Quantenmechanik wird der Zustand durch die Wellenfunktion $\psi$ beschrieben, die von den Variablen $q_1, q_2, \ldos, q_f$ abhängt, wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade des Systems darstellt.
Die Wellenfunktion ist eine Lösung der Schrödinger-Gleichung im nicht-relativistischen Fall und für Teilchen ohne Spin. Den Wellenfunktionen werden Eigenwerte zugeordnet, die in der Regel ganze Zahlen sind. Diese ganzen Zahlen repräsentieren mögliche Zustände des Systems, die durch die Energie des Systems begrenzt sind.
ID:(523, 0)
Fall eines freien Partikelgases, Volumen
Gleichung
Im Fall von freien Teilchen gibt es keine Positionsabhängigkeit, und bei der Berechnung des Phasenraums ist es notwendig, über alle Positionen zu summieren oder zu integrieren.
Daher ergibt sich unter Verwendung der Notation von :
 $V=\displaystyle\int_V d^3q$ |
ID:(522, 0)
Berechnung der Anzahl der Zustände
Beschreibung
In der klassischen Mechanik wird ein System durch die Koordinaten $q_1, q_2, \ldots, q_f$ und die Impulse $p_1, p_2, \ldots, p_f$ beschrieben, wobei $f$ die Anzahl der Freiheitsgrade darstellt. Der Zustand des Systems wird als Punkt im Phasenraum dargestellt und durch $(q_1, q_2, \ldots, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$ angegeben.
Im Fall eines Systems, das aus $N$ freien Teilchen besteht und mit insgesamt $3N$ Koordinaten beschrieben wird, wird die Anzahl der Freiheitsgrade als $f = 3N$ definiert.
ID:(10580, 0)
Bei einem freien Gas Teilchen
Gleichung
Im Fall von $N$ freien Teilchen in der klassischen Approximation müssen wir eine Integration im Phasenraum unter Berücksichtigung der die Systembeschreibung darstellenden Beschränkung durchführen.
Da es sich um ein Gas freier Teilchen handelt, beschränkt sich die Einschränkung ausschließlich auf die Energie und hängt nicht von der Position ab. Daher können wir die Energie wie folgt ausdrücken:
$E=\displaystyle\frac{1}{2m}\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$
Diese Ausdruck kann unter Verwendung mathematischer Notation vereinfacht werden zu:
| $2mE=\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$ |
Diese Formel repräsentiert eine "Kugel mit Radius" $\sqrt{2mE}$ in einem "Phasenraum" mit $3N$ Dimensionen.
ID:(528, 0)
Anzahl der Zustände eines Gas Freier Particle
Gleichung
La integral sobre el espacio de estados se calcula con posición $m$ und volumen $m^3$ mediante
| $V=\displaystyle\int_V d^3q$ |
con la condición para la energía que con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ und numero de Partículas $-$ es
| $2mE=\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$ |
\\n\\nse deja integrar en forma simple en las coordenadas espaciales. Cada integral es igual al volumen
$3N-1\sim 3N$
Por ello se puede estimar con energía del sistema $J$, masa de la partícula $kg$, momento de la i-esima partícula $J$ und numero de Partículas $-$
| $\Omega(E,N)=\Omega_0\left(\displaystyle\frac{V}{\Delta q^3}\right)^N\left(\displaystyle\frac{2mE}{\Delta p^2}\right)^{3N/2}$ |
ID:(3433, 0)
Anzahl der freien Partikelzustände mit Zelle
Gleichung
En el calculo del número de estados se obtiene el número de estados con energía del sistema $J$, factor de normalización $-$, incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$, masa de la partícula $kg$, numero de estados para energía y partículas dadas $-$, numero de Partículas $-$ und volumen $m^3$ son
| $\Omega(E,N)=\Omega_0\left(\displaystyle\frac{V}{\Delta q^3}\right)^N\left(\displaystyle\frac{2mE}{\Delta p^2}\right)^{3N/2}$ |
Como el elemento de volumen del espacio de fase es con incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$ und planck Konstante $J s$ igual a
| $\Delta p\Delta q \sim h$ |
por lo que el número de estados se deja simplificar con incerteza en el momento $kg m/s$, incerteza en la posición $m$ und planck Konstante $J s$ a
| $ \Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}$ |
ID:(4805, 0)
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Video: Beispiel für freie Partikel