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Exemple de particules libres
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Une fois que nous avons défini la méthode pour compter les états et estimer les probabilités dans des situations d'intérêt, nous pouvons étudier comment se comporte un système de nombreuses particules libres.
ID:(435, 0)
Cas de mécanique classique
Description
En mécanique classique, un système est décrit par les coordonnées $q_1, q_2, \ldos, q_f$ et les impulsions $p_1, p_2, \ldos, p_f$, où $f$ représente le nombre de degrés de liberté. L'état du système est représenté comme un point dans l'espace des phases, donné par $(q_1, q_2, \ldos, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
Dans le cas d'un système composé de $N$ particules libres, décrites à l'aide d'un total de $3N$ coordonnées, le nombre de degrés de liberté est défini comme $f = 3N$.
ID:(524, 0)
Cas de mécanique quantique
Description
En mécanique quantique, l'état est décrit par la fonction d'onde $\psi$, qui dépend des variables $q_1, q_2, \ldos, q_f$, où $f$ représente le nombre de degrés de liberté du système.
La fonction d'onde est une solution, dans le cas non relativiste et pour les particules sans spin, de l'équation de Schrödinger. Aux fonctions d'onde sont associées des valeurs propres qui sont généralement des nombres entiers. Ces entiers représentent les états possibles du système, qui sont limités par l'énergie du système.
ID:(523, 0)
Cas d'un gaz à particules libres, volume
Équation
Dans le cas des particules libres, il n'y a pas de dépendance par rapport à la position, et lors du calcul de l'espace des phases, il est nécessaire de sommer ou d'intégrer sur toutes les positions.
Par conséquent, en utilisant la notation de , nous obtenons :
 $V=\displaystyle\int_V d^3q$ |
ID:(522, 0)
Calcul du nombre d'états
Description
En mécanique classique, un système est décrit par les coordonnées $q_1, q_2, \ldots, q_f$ et les moments $p_1, p_2, \ldots, p_f$, où $f$ représente le nombre de degrés de liberté. L'état du système est représenté comme un point dans l'espace des phases, donné par $(q_1, q_2, \ldots, q_f, p_1, p_2, \ldos, p_f)$.
Dans le cas d'un système composé de $N$ particules libres, décrites à l'aide d'un total de $3N$ coordonnées, le nombre de degrés de liberté est défini comme $f = 3N$.
ID:(10580, 0)
Cas d'un gaz de particules libres
Équation
Dans le cas de $N$ particules libres dans l'approximation classique, nous devons effectuer une intégration dans l'espace des phases en tenant compte de la contrainte qui décrit le système.
Étant donné qu'il s'agit d'un gaz de particules libres, la contrainte est uniquement liée à l'énergie et ne dépend pas de la position. Par conséquent, nous pouvons exprimer l'énergie comme suit :
$E=\displaystyle\frac{1}{2m}\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$
Cette expression peut être simplifiée en utilisant la notation mathématique comme suit :
| $2mE=\displaystyle\sum_i^N\vec{p}_i^2$ |
Cette formule représente une "sphère de rayon" $\sqrt{2mE}$ dans un "espace des phases" de $3N$ dimensions.
ID:(528, 0)