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Modelo Cuánticos del Sólidos

Storyboard

>Model

ID:(487, 0)

Modelo de Solido

Concept

>Top

En caso de un pez, la velocidad es del orden de $v = 0.05,m/s$ , la densidad $\rho = 1.0\times 10^3,kg/m^3$ , la viscosidad es $\eta = 1.0\times 10^3,Pa s$ y la dimensión del orden de $R = 0.05,m$ por lo que el numero de Reynold es

$Re =\displaystyle\frac{\rho R v}{\eta}\sim 2500$

por ello la corriente tendera a ser Turbulenta.

ID:(1579, 0)

Hamiltoniano del sólido

Equation

>Top, >Model

Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada partícula interactua con sus vecinos via campo efectivo con lo que se describe como que fuera y la energía potencia se puede describir como la de un resorte.

En este caso el hamilitoneano de un solido se puede describir mediante con lo que:

$H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

ID:(4800, 0)

Energías de los estados

Equation

>Top, >Model

En mecánica cuántica se puede resolver en forma analítica el problema del hamiltoneano de un oscilador armónico con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , hamiltoneano del oscilador armónico $J$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ , posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ and velocidad de la partícula r $m/s$

$H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$

lo que resulta en los estado de energía r con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , hamiltoneano del oscilador armónico $J$ , masa de la partícula $kg$ , numero de partículas $-$ , posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ and velocidad de la partícula r $m/s$ es de la forma

$\epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

ID:(4801, 0)

Energía del solido

Equation

>Top, >Model

Como la energía del estado r es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía del estado $r$ $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$\epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

se tiene que la energía total es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía del estado $r$ $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

ID:(4802, 0)

Binding energy at zero temperature

Equation

>Top, >Model

El estado de mínima energía con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$ de

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

\\n\\nse obtiene si todos los osciladores están en su estado fundamental, es decir\\n\\n

$n_r=0$

\\n\\ncon lo que la energía se reduce a\\n\\n

$V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r =1}^{3 N }\hbar\omega_r$

por lo que se puede introducir una energía base que puede contener la energía de deformación elástica. Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$

$\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

ID:(3894, 0)

Solid state partition function

Equation

>Top, >Model

Con la función partición con

$Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$

y la energía del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$

$E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r$

se obtiene la función partición del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido mecánico cuántico $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , numero cuántico del oscilador armónico $-$ and numero de partículas $-$

$Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

ID:(3895, 0)

Reordenando los productos

Equation

>Top, >Model

La expresión de la función partición con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$

puede ser re-escrita con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$ como

$Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

ID:(9499, 0)

Función partición de un solido

Equation

>Top, >Model

En la expresión con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$

\\n\\ncada elemento del producto puede ser sumado ya que corresponde a una serie geométrica en un q=e^{-\beta\hbar\omega_r}:\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}q^{n_r}=\displaystyle\frac{1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta \hbar\omega_r}}$

por lo que el logaritmo de la función partición es con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido mecánico cuántico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

ID:(9500, 0)

Logaritmo de la función partición de un solido

Equation

>Top, >Model

Si se toma el logaritmo de la función partición de un solido con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido clásico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$

se obtiene la expresión con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , función partición del solido clásico $-$ and numero cuántico del oscilador armónico $-$

$\ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

ID:(9501, 0)

Partition function solid state with spectrum function

Equation

>Top, >Model

Si se introduce una función \sigma(\omega) tal que \sigma(\omega)d\omega indica el número de modos que existen entre las frecuencias \omega y \omega+d\omega se puede pasar la suma sobre los 3N estados a una integral\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$

con lo que el logaritmo de la función partición con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ and numero de partículas $-$

$\ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$

se estima con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ , logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ and numero de partículas $-$

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

ID:(3896, 0)

Energía mínima del solido con función de espectro

Equation

>Top, >Model

Con el paso discreto al continuo\\n\\n

$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$

la energía mínima del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero de partículas $-$

$\eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$

se estima con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ and numero de partículas $-$

$\eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

ID:(9540, 0)

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Video

Video: Quantum mechanical model of solids