Storyboard

Le moment d'inertie est l'équivalent en rotation de la masse dans un mouvement de translation. Dans le cas d'un cylindre tournant autour d'un axe parallèle à son propre axe, le cas le plus simple se présente lorsque la rotation s'effectue autour du centre de masse.

>Modèle

ID:(2086, 0)

Iframe

>Top

ID:(15854, 0)

Description

>Top

Lorsque l'axe de rotation ne passe pas par le centre de masse (CM), le moment d'inertie $I$ peut être calculé à l'aide du Théorème de Steiner. Pour ce faire, on commence par le moment d'inertie par rapport au centre de masse, par exemple :

• Pour une barre avec un axe perpendiculaire, il est calculé

• Pour un cylindre avec un axe perpendiculaire, il est calculé

• Pour un cylindre avec un axe parallèle, il est calculé

• Pour un parallélépipède, il est calculé

• Pour un cube, il est calculé

• Pour une sphère, il est calculé

Ensuite, la masse multipliée par le carré de la distance entre l'axe de rotation et le centre de masse est ajoutée

ID:(15867, 0)

Image

>Top

Considérons une rotation d'un cylindre de masse $m$ et de rayon $r$ autour de l'axe du cylindre, où le centre de masse (CM) se situe à mi-hauteur :

ID:(10964, 0)

Image

>Top

Pour un cylindre avec un axe parallèle à son propre axe :

dont le moment d'inertie par rapport au centre de masse (CM) est donné par

le moment d'inertie peut être calculé en utilisant le théorème de Steiner avec la formule suivante

.

ID:(11551, 0)

Top

>Top

Paramètres

$\alpha_0$

alpha_0

Accélération angulaire constante

rad/s^2

$\theta_0$

theta_0

Angle de départ

rad

$d$

d

Distance centre de masse et axe

m

$m$

m

Masse corporelle

kg

$I_{CM}$

I_CM

Moment d\'inertie CM d\'un cylindre, axe parallèle à l\'axe du cylindre

kg m^2

$I$

I

Moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM

kg m^2

$r$

r

Radio

m

$r_c$

r_c

Rayon du cylindre

m

$t_0$

t_0

Temps initial

s

$T$

T

Torque

N m

$\omega_0$

omega_0

Vitesse angulaire initiale

rad/s

Variables

$\theta$

theta

Angle

rad

$F$

F

Force

N

$t$

t

Temps

s

$\omega$

omega

Vitesse angulaire

rad/s

Calculs

• Méthode alternative
• Méthode traditionnelle
• Stratégie
• 2D
• 3D

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation: à , puis, sélectionnez la variable: à

---

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable Donnée Calculer Cible : Équation À utiliser

Équations

ID:(15859, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le moment d'inertie d'un cylindre en rotation autour d'un axe parallèle ($\parallel$) à son axe central est obtenu en segmentant le corps en petits volumes et en les additionnant :



ce qui aboutit à

$I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$

Conditions

Variables

$m$

Masse corporelle

$kg$

6150

$I_{CM}$

Moment d\'inertie CM d\'un cylindre, axe parallèle à l\'axe du cylindre

$kg m^2$

5324

$r_c$

Rayon du cylindre

$m$

5319

Relation

.

ID:(4434, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM ($I$) peut être calculé en utilisant a moment d\'inertie du centre de masse ($I_{CM}$) et en ajoutant le moment d'inertie de a masse corporelle ($m$) comme s'il s'agissait d'une masse ponctuelle à A distance centre de masse et axe ($d$) :

$I = I_{CM} + m d ^2$

Conditions

Variables

$d$

Distance centre de masse et axe

$m$

5285

$m$

Masse corporelle

$kg$

6150

$I$

Moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM

$kg m^2$

5315

$I_{CM}$

$I_{CM}$

Moment d\'inertie CM d\'un cylindre, axe parallèle à l\'axe du cylindre

$kg m^2$

5324

Relation

ID:(3688, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Puisque la relation entre le moment angulaire et le moment est

sa dérivée temporelle nous conduit à la relation du moment de force

$T = r F$

Conditions

Variables

$F$

Force

$N$

4975

$r$

Radio

$m$

9884

$T$

Torque

$N m$

4988

Relation

La rotation du corps se produit autour d'un axe dans la direction du moment de force, qui passe par le centre de masse.

ID:(4431, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas où le moment d'inertie est constant, la dérivée du moment angulaire est égale à

ce qui implique que le couple est égal à

$T = I \alpha_0$

$T = I \alpha$

Conditions

Variables

$\alpha$

$\alpha_0$

Accélération angulaire constante

$rad/s^2$

5298

$I$

$I$

Moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM

$kg m^2$

5315

$T$

Torque

$N m$

4988

Relation

Développement

Comme le moment est égal à

$L = I \omega$

il en découle que dans le cas où le moment d'inertie ne change pas avec le temps,

$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$

ce qui implique que

$T = I \alpha$

.

Cette relation correspond à l'équivalent de la deuxième loi de Newton pour la rotation au lieu de la translation.

ID:(3253, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Avec a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), a vitesse angulaire ($\omega$) établit une relation linéaire avec le temps ($t$), intégrant également les variables a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) et le temps initial ($t_0$) comme suit :

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Conditions

Variables

$\alpha_0$

Accélération angulaire constante

$rad/s^2$

5298

$t$

Temps

$s$

5264

$t_0$

Temps initial

$s$

5265

$\omega$

Vitesse angulaire

$rad/s$

6068

$\omega_0$

Vitesse angulaire initiale

$rad/s$

5295

Relation

Développement

Si nous supposons que a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est constant, équivalent à A accélération angulaire constante ($\alpha_0$), alors l'équation suivante s'applique :

$\bar{\alpha} = \alpha_0$

Par conséquent, en considérant a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) avec a vitesse angulaire ($\omega$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) :

$\Delta\omega = \omega - \omega_0$

et le temps écoulé ($\Delta t$) en relation avec le temps ($t$) et le temps initial ($t_0$) :

$\Delta t \equiv t - t_0$

l'équation pour a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) :

$\bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$

peut être exprimée comme suit :

$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$

En résolvant cela, nous obtenons :

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Cette équation représente une droite dans le plan de la vitesse angulaire par rapport au temps.

ID:(3237, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Étant donné que le déplacement total correspond à l'aire sous la courbe de vitesse angulaire par rapport au temps, dans le cas de une accélération angulaire constante ($\alpha_0$), il est déterminé que le déplacement le angle ($\theta$) avec les variables le angle de départ ($\theta_0$), le temps ($t$), le temps initial ($t_0$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) est le suivant :

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Conditions

Variables

$\alpha_0$

Accélération angulaire constante

$rad/s^2$

5298

$\theta$

Angle

$rad$

6065

$\theta_0$

Angle de départ

$rad$

5296

$t$

Temps

$s$

5264

$t_0$

Temps initial

$s$

5265

$\omega_0$

Vitesse angulaire initiale

$rad/s$

5295

Relation

Développement

Dans le cas de a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), a vitesse angulaire ($\omega$) en fonction de le temps ($t$) suit une relation linéaire avec le temps initial ($t_0$) et a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) sous la forme :

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

Étant donné que le déplacement angulaire est égal à l'aire sous la courbe de vitesse angulaire-temps, dans ce cas, on peut ajouter les contributions du rectangle :

$\omega_0(t-t_0)$

et du triangle :

$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$

Cela nous mène à l'expression pour le angle ($\theta$) et le angle de départ ($\theta_0$) :

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

Cette expression correspond à la forme générale d\'une parabole.

ID:(3682, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas de a accélération angulaire constante ($\alpha_0$), la fonction de a vitesse angulaire ($\omega$) par rapport à Le temps ($t$), avec les variables supplémentaires a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) et le temps initial ($t_0$), est exprimée par l'équation :

À partir de cette équation, il est possible de calculer la relation entre le angle ($\theta$) et le angle de départ ($\theta_0$), ainsi que le changement de vitesse angulaire :

$\theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

Conditions

Variables

$\alpha_0$

Accélération angulaire constante

$rad/s^2$

5298

$\theta$

Angle

$rad$

6065

$\theta_0$

Angle de départ

$rad$

5296

$\omega$

Vitesse angulaire

$rad/s$

6068

$\omega_0$

Vitesse angulaire initiale

$rad/s$

5295

Relation

Développement

Si nous résolvons le temps dans l'équation de a vitesse angulaire ($\omega$) qui inclut les variables a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$), le temps ($t$), le temps initial ($t_0$) et a accélération angulaire constante ($\alpha_0$) :

$\omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$

nous obtenons l'expression suivante pour le temps :

$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$

Cette solution peut être substituée dans l'équation pour calculer le angle ($\theta$) en utilisant le angle de départ ($\theta_0$) de la manière suivante :

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$

ce qui donne la formule suivante :

$\theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$

ID:(4386, 0)