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Énergie cinétique de rotation
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L'énergie cinétique de rotation est une fonction de la vitesse angulaire atteinte grâce à l'application d'un couple pendant un certain temps tout en parcourant un angle donné. Ainsi, l'énergie cinétique de rotation est proportionnelle au moment d'inertie de l'objet et au carré de la vitesse angulaire.
ID:(2080, 0)
S'écouler dans un canal
Description
Dans le cas de l'écoulement vers un canal, le système peut être modélisé de manière unidimensionnelle, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est une fonction de a position de la colonne d'eau au sol ($x$) représentant a densité de flux ($j_s$), et elle satisfait à la condition
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
avec le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) définissant le profil de l'eau dans le sol :
La clé de cette équation est que le produit de a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) et de a densité de flux ($j_s$) doit toujours rester constant. En ce sens, si a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) augmente, a densité de flux ($j_s$) diminue et vice versa. De plus, le signe reste le même ; donc, l'écoulement vers le canal, c'est-à-dire l'écoulement négatif, se produira uniquement lorsque le niveau de la nappe phréatique est plus élevé que celui du canal. À mesure que le liquide s'approche du canal, le niveau de la nappe phréatique diminue, entraînant une augmentation de la densité de l'écoulement.
ID:(15104, 0)
Solution de hauteur d'écoulement vers un canal
Description
La solution de l'équation de flux unidimensionnel en direction d'un canal, où A hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) est calculé en fonction de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) et a position de la colonne d'eau au sol ($x$) au bord du canal, ainsi que de le longueur caractéristique de l'écoulement dans le sol ($s_0$), a la forme suivante :
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Cette solution est représentée graphiquement en fonction des facteurs supplémentaires $h/h_0$ et $x/s_0$ de la manière suivante :
Le profil révèle qu'à distance du canal, la hauteur de la colonne d'eau est considérablement élevée. Cependant, en raison de l'extraction d'eau par le canal, cette hauteur commence à diminuer jusqu'à atteindre le bord du canal. Dynamiquement, a densité de flux ($j_s$) détermine la quantité d'eau qui s'écoule dans le canal, tandis que a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) s'ajuste progressivement jusqu'à atteindre un état d'équilibre. En d'autres termes, si la valeur de a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) est trop basse par rapport à la quantité totale d'eau qui arrive dans le canal, elle augmente ; et si elle est trop élevée, elle diminue. De cette manière, a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) acquiert la valeur qui équilibre la quantité d'eau entrante avec la quantité d'eau s'écoulant à travers le canal.
ID:(15109, 0)
Solution de densité de flux vers un canal
Description
La solution obtenue pour la hauteur et les paramètres le flux à un point de référence ($j_{s0}$) et a hauteur de référence de la colonne d'eau ($h_0$) révèle que a densité de flux ($j_s$) est donné par :
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Nous pouvons représenter graphiquement a densité de flux ($j_s$) en fonction des facteurs additionnels $j_s/j_{s0}$ et $x/s_0$ de la manière suivante :
Il est notable que a densité de flux ($j_s$) continue d'augmenter à mesure que nous nous approchons du canal, car a hauteur de la colonne d'eau au sol ($h$) diminue. Cette augmentation est nécessaire pour maintenir la vitesse de l'écoulement dans a densité de flux ($j_s$) ou, en alternance, pour l'augmenter.
ID:(15110, 0)
Énergie cinétique de rotation
Description
Dans le cas de la rotation dun corps, il est possible de manière analogue au mouvement de translation de définir une énergie cinétique, mais cette fois liée à la rotation. Tout comme lénergie cinétique translationnelle dépend de la masse et de la vitesse linéaire, en rotation apparaît un rôle équivalent lié à linertie. Bien quelle dépende de la masse, sa valeur est également déterminée par la distance de cette masse par rapport à laxe de rotation. Ainsi, on introduit le concept de moment dinertie, qui joue un rôle analogue à celui de la masse inertielle. Le moment dinertie est multiplié par le carré de la vitesse angulaire, et en divisant ce produit par deux, on obtient lénergie cinétique de rotation.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
La d finition de l'acc l ration angulaire moyenne repose sur l'angle parcouru
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
et le temps coul
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
La relation entre les deux est d finie comme l'acc l ration angulaire moyenne
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
pendant cet intervalle de temps.
(ID 3234)
Comme le moment est gal
| $ L = I \omega $ |
il en d coule que dans le cas o le moment d'inertie ne change pas avec le temps,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
ce qui implique que
| $ T = I \alpha $ |
.
(ID 3253)
A écart de travail ($\Delta W$) nécessaire pour quun objet passe de a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) à A vitesse angulaire ($\omega$) est obtenue en appliquant un a torque ($T$) qui produit un déplacement angulaire a différence d'angles ($\Delta\theta$), selon :
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
En appliquant la deuxième loi de Newton pour la rotation, avec a moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM ($I$) et a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) :
| $ T = I \bar{\alpha} $ |
cette expression peut être réécrite comme :
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
ou, en utilisant a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) et le temps écoulé ($\Delta t$) :
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
nous obtenons :
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
En utilisant la définition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) et le temps écoulé ($\Delta t$) :
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
il en résulte :
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
où A différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) sexprime comme :
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Dautre part, la vitesse angulaire peut être approximée par la vitesse angulaire moyenne :
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
En combinant les deux expressions, on obtient léquation :
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Ainsi, la variation dénergie sexprime comme :
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Cela permet de définir lénergie cinétique de rotation comme :
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
A écart de travail ($\Delta W$) nécessaire pour quun objet passe de a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) à A vitesse angulaire ($\omega$) est obtenue en appliquant un a torque ($T$) qui produit un déplacement angulaire a différence d'angles ($\Delta\theta$), selon :
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
En appliquant la deuxième loi de Newton pour la rotation, avec a moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM ($I$) et a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) :
| $ T = I \bar{\alpha} $ |
cette expression peut être réécrite comme :
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
ou, en utilisant a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) et le temps écoulé ($\Delta t$) :
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
nous obtenons :
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
En utilisant la définition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) et le temps écoulé ($\Delta t$) :
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
il en résulte :
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
où A différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) sexprime comme :
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Dautre part, la vitesse angulaire peut être approximée par la vitesse angulaire moyenne :
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
En combinant les deux expressions, on obtient léquation :
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Ainsi, la variation dénergie sexprime comme :
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Cela permet de définir lénergie cinétique de rotation comme :
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
(ID 10301)
En utilisant la définition classique de lénergie, avec a écart de travail ($\Delta W$) calculé à partir de a force à masse constante ($F$) et a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) selon :
| $ \Delta W = F \Delta s $ |
Dans le cas de la rotation, la force est perpendiculaire à Le radio ($r$), générant a torque ($T$), ce qui sexprime par :
| $ T = r F $ |
Comme larc est égal à Le radio ($r$) multiplié par a différence d'angles ($\Delta\theta$) :
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
on obtient :
$\Delta W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{s} = F\Delta s = F r\Delta\theta = T\Delta\theta$
Cest-à-dire :
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
(ID 12550)
Exemples
(ID 15604)
(ID 15606)
A écart de travail ($\Delta W$), dans le cas de la rotation, peut être calculé à partir du générateur de rotation, qui correspond à A torque ($T$) multiplié par a variation d'angle ($\Delta\theta$) :
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
(ID 12550)
A énergie cinétique de rotation ($K_r$) est une fonction de a vitesse angulaire ($\omega$) et dune mesure de linertie représentée par a moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM ($I$) :
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
A énergie cinétique de rotation ($K_r$) est une fonction de a vitesse angulaire ($\omega$) et dune mesure de linertie représentée par a moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM ($I$) :
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
Le taux auquel la vitesse angulaire varie dans le temps est d fini comme a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$). Pour le mesurer, il est n cessaire d'observer a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) et le temps écoulé ($\Delta t$).
L' quation qui d crit a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) est la suivante :
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
(ID 3234)
L'acc l ration est d finie comme le changement de vitesse angulaire par unit de temps.
Par cons quent, l'acc l ration angulaire a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) peut tre exprim e en termes de vitesse angulaire a vitesse angulaire ($\omega$) et de temps a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) comme suit :
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
(ID 3681)
Pour d crire la rotation d'un objet, nous devons d terminer a variation d'angle ($\Delta\theta$). Cela se fait en soustrayant le angle de départ ($\theta_0$) de le angle ($\theta$), la valeur atteinte par l'objet pendant sa rotation:
| $ \Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 $ |
(ID 3680)
Pour d crire le mouvement d'un objet, il est n cessaire de calculer le temps coul . Cette grandeur est obtenue en mesurant le temps initial ($t_0$) et le temps ($t$) du mouvement de l'objet. La dur e est d termin e en soustrayant le temps final du temps initial.
Lorsque le temps ($t$) est tr s similaire le temps initial ($t_0$), le temps coul est consid r comme infinit simal et est d sign par a variation infinitésimale du temps ($dt$):
| $dt \equiv t - t_0 $ |
(ID 10301)
Dans le cas o le moment d'inertie est constant, la d riv e du moment angulaire est gale
| $ L = I \omega $ |
ce qui implique que le couple est gal
| $ T = I \alpha $ |
Cette relation correspond l' quivalent de la deuxi me loi de Newton pour la rotation au lieu de la translation.
(ID 3253)
ID:(2144, 0)