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Energía cinética de rotación
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La energía cinética de rotación es una función de la velocidad angular alcanzada mediante la aplicación de un torque durante un cierto tiempo mientras se recorre un ángulo dado. Por lo tanto, la energía cinética rotacional es proporcional al momento de inercia del objeto y al cuadrado de la velocidad angular.
ID:(2080, 0)
Flujo hacia un canal
Descripción
En el caso del flujo hacia un canal, se puede modelar el sistema de manera unidimensional, donde la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) es una función de la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) que representa la densidad de flujo ($j_s$) y satisface la condición
| $ h j_s = h_0 j_{s0} $ |
con el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) que definen el perfil del agua en el suelo:
La clave de la ecuación es que el producto de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) y la densidad de flujo ($j_s$) debe ser siempre constante. En ese sentido, si la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) crece, la densidad de flujo ($j_s$) decrece y viceversa. Por otro lado, el signo es siempre igual, en este sentido, un flujo hacia el canal, es decir, negativo, ocurrirá solo si la altura de la napa es superior a la del canal, y a medida que el líquido se acerca al canal, la altura disminuirá y la densidad de flujo aumentará.
ID:(15104, 0)
Solución altura del flujo hacia un canal
Descripción
La solución de la ecuación de flujo en una dimensión hacia un canal, en la cual se calcula el valor de la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) en función de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) y la posición de la columna de agua en el suelo ($x$) en el borde del canal, junto con el largo característico del flujo en el suelo ($s_0$), tiene la siguiente forma:
| $ \displaystyle\frac{ h }{ h_0 } = \sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }} $ |
Esta solución se representa gráficamente en función de los factores adicionales $h/h_0$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:
El perfil revela que, lejos del canal, la altura de la columna de agua es notablemente alta. Sin embargo, debido a la extracción de agua por el canal, esta altura comienza a disminuir hasta alcanzar el borde del canal. De manera dinámica, la densidad de flujo ($j_s$) determina la cantidad de agua que fluye hacia el canal, mientras que la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) se ajusta gradualmente hasta alcanzar un estado de equilibrio. En otras palabras, si el valor de la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) es demasiado bajo en relación con la cantidad total de agua que llega al canal, se incrementa; y si es demasiado alto, disminuye. De esta manera, la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) adquiere el valor que equilibra la cantidad de agua que llega con la cantidad de agua que se desplaza a través del canal.
ID:(15109, 0)
Solución densidad de flujo hacia un canal
Descripción
La solución obtenida para la altura y los parámetros el flujo en un punto de referencia ($j_{s0}$) y la altura de referencia de la columna de agua ($h_0$) nos muestra que la densidad de flujo ($j_s$) es igual a:
| $ \displaystyle\frac{ j_s }{ j_{s0} } = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1 + \displaystyle\frac{ 2 x }{ s_0 }}} $ |
Podemos representar la densidad de flujo ($j_s$) gráficamente en función de los factores adicionales $j_s/j_{s0}$ y $x/s_0$ de la siguiente manera:
la densidad de flujo ($j_s$) continúa aumentando a medida que nos acercamos al canal, a medida que la altura de la columna de agua en el suelo ($h$) disminuye. Este aumento es necesario para mantener la velocidad del flujo en la densidad de flujo ($j_s$) o, en su defecto, para incrementarla.
ID:(15110, 0)
Energía cinética de rotación
Descripción
En el caso de la rotación de un cuerpo, se tiene, de manera análoga al movimiento de traslación, que es posible definir una energía cinética asociada, pero esta vez vinculada a la rotación. Así como en la traslación la energía cinética depende de la masa y de la velocidad lineal, en la rotación aparece un papel equivalente asociado a la inercia, que si bien depende de la masa, su valor también está condicionado por la distancia de dicha masa al eje de rotación. De este modo, se introduce el concepto de momento de inercia, que cumple un rol análogo al de la masa inercial, y que se multiplica por el cuadrado de la velocidad angular. Dividiendo ese producto por dos, se obtiene la energía cinética de rotación.
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Cálculos
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Ecuaciones
La aceleraci n angular media se define como la proporci n del ngulo recorrido
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
y el tiempo transcurrido
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Esta relaci n entre ambos se establece como la aceleraci n angular media
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
durante dicho intervalo de tiempo.
(ID 3234)
Dado que el momento es igual a
| $ L = I \omega $ |
se sigue que en el caso en que el momento de inercia no cambia con el tiempo,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
lo que implica que
| $ T = I \alpha $ |
.
(ID 3253)
La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
| $ T = I \bar{\alpha} $ |
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
obtenemos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
resulta:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
| $ T = I \bar{\alpha} $ |
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
obtenemos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
resulta:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
(ID 4440)
(ID 10301)
Utilizando la definición clásica de energía, con la variación del trabajo ($\Delta W$) calculado a partir de la fuerza con masa constante ($F$) y la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) según:
| $ \Delta W = F \Delta s $ |
en el caso de una rotación, la fuerza es perpendicular a el radio ($r$), lo que genera el torque ($T$), expresado como:
| $ T = r F $ |
Dado que el arco recorrido es igual a el radio ($r$) multiplicado por la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$):
| $ \Delta s=r \Delta\theta $ |
obtenemos que:
$\Delta W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{s} = F\Delta s = F r\Delta\theta = T\Delta\theta$
Es decir:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
(ID 12550)
Ejemplos
(ID 15604)
(ID 15606)
En el caso de la rotación, la variación del trabajo ($\Delta W$) se obtiene a partir del generador de rotación, definido como el producto de el torque ($T$) y la variación del angulo ($\Delta\theta$):
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
(ID 12550)
La energía cinética de rotación ($K_r$) es una función de la velocidad angular ($\omega$) y de una medida de la inercia representada por el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$):
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
La energía cinética de rotación ($K_r$) es una función de la velocidad angular ($\omega$) y de una medida de la inercia representada por el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$):
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
La variaci n del trabajo en el tiempo se denomina la potencia. Por lo general es una limitante ya que indica la velocidad que es un sistema capaz de crear/absorber energ a.
| $ \Delta W = W - W_0 $ |
(ID 4440)
La proporci n en la que la variaci n de la velocidad angular a lo largo del tiempo se define como la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$). Para medirla, es necesario observar la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
La ecuaci n que describe la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$) es la siguiente:
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
(ID 3234)
La aceleraci n se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo.
Por lo tanto, la aceleraci n angular la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se puede expresar en t rminos de la velocidad angular la velocidad angular ($\omega$) y el tiempo la velocidad angular inicial ($\omega_0$) de la siguiente manera:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
(ID 3681)
Para describir la rotaci n de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotaci n, que es el ángulo ($\theta$):
| $ \Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 $ |
(ID 3680)
En casos en que se requiere medir peque as variaciones de una variable que varia con el tiempo se analiza como esta varia entre dos tiempos moy proximos. En este caso se trabaja con un un tiempo ($t$) muy similar a un tiempo inicial ($t_0$), lo que se define como una variación infinitesimal del tiempo ($dt$):
| $dt \equiv t - t_0 $ |
(ID 10301)
En el escenario en el que el momento de inercia es constante, la derivada del momento angular es igual a
| $ L = I \omega $ |
lo cual implica que el torque es igual a
| $ T = I \alpha $ |
Esta relaci n equivale a la segunda ley de Newton en el contexto de la rotaci n en lugar de la traslaci n.
(ID 3253)
ID:(2144, 0)