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Energía cinética total
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La energía cinética total es la suma de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación. Esta distinción es importante porque dependiendo de cómo se mueva un objeto, la energía cinética puede distribuirse de manera diferente entre la traslación y la rotación, lo que afecta la velocidad con la que se desplaza.
ID:(1418, 0)
Cilindro que rota en torno a eje $\parallel$
Descripción
Una rotación de un cilindro con masa $m$ y radio $r$ alrededor del eje del cilindro, donde el centro de masa (CM) se encuentra a media altura:
ID:(10964, 0)
Esfera
Descripción
Una esfera con masa $m$ y radio $r$ está girando alrededor de su centro de masa, el cual se encuentra en el centro de la esfera:
ID:(10490, 0)
Energía cinética total
Descripción
La energía cinética total es la suma de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación. Esta distinción es importante porque dependiendo de cómo se mueva un objeto, la energía cinética puede distribuirse de manera diferente entre la traslación y la rotación, lo que afecta la velocidad con la que se desplaza.
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Ecuaciones
La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad inicial ($v_0$) a la velocidad ($v$) se obtiene aplicando la fuerza ($F$) que produce un desplazamiento angular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), según:
| $ \Delta W = F \Delta s $ |
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de la masa inercial ($m_i$) y la aceleración constante ($a_0$):
| $ F = m_i a $ |
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = m_i a \Delta s$
o, utilizando la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
obtenemos:
$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
resulta:
$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s= m_i v \Delta v$
donde la diferencia de velocidad ($\Delta v$) se expresa como:
| $ dv \equiv v - v_0 $ |
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
| $ \bar{v} = \displaystyle\frac{ v_1 + v_2 }{2}$ |
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = m_i v \Delta v = m_i(v_2 - v_1) \displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}v_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
(ID 3244)
La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
| $ T = I \alpha $ |
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
obtenemos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
resulta:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
(ID 3686)
Cuando un objeto rueda, su velocidad angular est relacionada con la velocidad de traslaci n a trav s de
| $ v = r \omega $ |
lo cual conduce a la energ a cin tica de rotaci n
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
que se expresa como
$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$
As , combinando la energ a cin tica de traslaci n
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2$ |
la energ a cin tica de un cuerpo que rota se calcula mediante la suma
| $ K = K_t + K_r $ |
es decir,
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
(ID 9877)
La energía cinética total ($K$) corresponde a la suma de la energía cinética de traslación ($K_t$) y la energía cinética de rotación ($K_r$):
| $ K = K_t + K_r $ |
Dado que la energía cinética de traslación ($K_t$) se expresa en función de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) como:
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2$ |
y que la energía cinética de rotación ($K_r$), en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), se define como:
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
se obtiene finalmente:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 9944)
Ejemplos
(ID 15605)
(ID 15607)
La energía cinética de traslación ($K_t$) se determina en función de la velocidad ($v$) y de la masa inercial ($m_i$), de acuerdo con:
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
5288 se asocia a 6290 y no a 8762, aunque numéricamente sean iguales. La energía que posee un objeto es consecuencia directa de la inercia que fue necesario vencer para lograr su movimiento.
(ID 3244)
La energía cinética de rotación ($K_r$) es una función de la velocidad angular ($\omega$) y de una medida de la inercia representada por el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$):
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 3255)
La energía cinética total ($K$) puede tener componentes de traslación y/o de rotación. Por lo tanto, se expresa como la suma de la energía cinética de traslación ($K_t$) y la energía cinética de rotación ($K_r$):
| $ K = K_t + K_r $ |
(ID 3686)
La energía cinética total ($K$), cuando existen tanto una traslación que depende de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) como una rotación que depende de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), se puede calcular mediante:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
(ID 9944)
Cuando un objeto rueda,
su velocidad angular se relaciona con la velocidad de traslaci n mediante
| $ v = r \omega $ |
lo que nos lleva a la energ a cin tica de rotaci n
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
y, en consecuencia, a la obtenci n de una energ a cin tica total
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
(ID 9877)
ID:(1418, 0)