Storyboard

Um objeto com velocidade tende a se mover em linha reta. Para seguir uma órbita circular, é necessário que o corpo "caia" radicalmente de sua trajetória reta até o raio da órbita. Essa "queda" corresponde a uma aceleração centrípeta (centri = centro, peta = em direção a), como perceberia um observador externo ao sistema.

Por outro lado, se o objeto continuar em seu movimento retilíneo em vez de seguir a órbita, para um observador no sistema rotativo, ele perceberá a mesma aceleração, mas se afastando do centro, o que é denominado aceleração centrífuga (centri = centro, fuga = afastando-se).

>Modelo

ID:(758, 0)

Iframe

>Top

ID:(15417, 0)

Descrição

>Top

Se um objeto é submetido a um modo de manter um raio constante, ele irá girar conforme indicado na figura. Ao observar a figura, notará-se que a massa realiza um movimento de translação com uma velocidade tangencial que é igual ao raio multiplicado pela velocidade angular:

No entanto, se o elemento que conecta o objeto ao eixo for cortado, o objeto continuará a se mover tangencialmente em linha reta.

ID:(310, 0)

Conceito

>Top

Se um corpo fixo a uma corda de comprimento $r$ gira com uma velocidade tangencial $v$ e a corda é cortada, o corpo continuará se movendo em linha reta com velocidade constante $v$ devido à inércia.

Em um intervalo de tempo $\Delta t$, o corpo terá percorrido a distância $v\Delta t$ tangencialmente à sua órbita anterior. Do ponto de vista de um observador no eixo do sistema que está em rotação, a distância é calculada usando o teorema de Pitágoras, somando o quadrado do raio da órbita com o quadrado da distância percorrida:

$\sqrt{r^2+v^2\Delta t^2}$

ID:(1155, 0)

Conceito

>Top

Quando estudamos uma catapulta, notamos que a bala primeiro se move ao longo da curva descrita pela colher. Isso ocorre porque a colher é projetada para reter a bala. Uma vez que o braço para de se mover, a bala continua em linha reta, tangente ao círculo que percorria.

Se um objeto não for retido e viajar com uma velocidade tangencial $v$, percorrerá, em um intervalo de tempo $\Delta t$, a distância $v\Delta t$, indo de B até C. No entanto, se continuar orbitando, chegará, após o intervalo de tempo $\Delta t$, ao ponto D. Se o objeto chegar a C, para um observador na Terra, haverá uma aceleração pela qual o objeto se afasta da Terra (aceleração centrífuga), percorrendo a distância $\Delta r$ no tempo $\Delta t$.

Para um observador no espaço, um objeto em movimento na órbita está em queda constante: em vez de terminar em C, cai, no tempo $\Delta t$, a distância $\Delta r$ até chegar a $D$. Em ambos os casos, podemos representar a situação graficamente e, usando o teorema de Pitágoras, podemos ver que deve ser satisfeita a seguinte equação:

$(r+\Delta r)^2=r^2+(v\Delta t)^2$

Ao expandirmos o quadrado, a equação se reduz a:

$2\Delta rr+\Delta r^2=v^2\Delta t^2$

Como a variação do raio $\Delta r$ é muito menor que o próprio raio ($r\ll\Delta r$), podemos concluir que:

$2\Delta rr=v^2\Delta t^2$

ou, resolvendo para $\Delta r$:

$\Delta r=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$

Ao compararmos essa equação com a equação $s=at^2/2$, podemos concluir que o corpo acelera com uma aceleração igual a $v^2/r$.

ID:(313, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$a_c$

a_c

Aceleração centrífuga

m/s^2

$a_p$

a_p

Aceleração centrípeta

m/s^2

$\theta_0$

theta_0

ângulo inicial

rad

$\Delta\theta$

Dtheta

Diferença de ângulos

rad

$r$

r

Rádio

m

$t_0$

t_0

Tempo inicial

s

$s_0$

s_0

Velocidade

m

$\omega_0$

omega_0

Velocidade angular inicial

rad/s

$v_0$

v_0

Velocidade constante

m/s

Variáveis

$\theta$

theta

Ângulo

rad

$\Delta s$

Ds

Distância percorrida em um tempo

m

$s$

s

Posição

m

$t$

t

Tempo

s

$\Delta t$

Dt

Tempo decorrido

s

$\bar{\omega}$

omega_m

Velocidade angular média

rad/s

$\bar{v}$

v_m

Velocidade média

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15428, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Os corpos tendem, por inércia, a se mover em linha reta com velocidade constante. Portanto, se um corpo orbita em torno de outro, ele se desvia de sua trajetória retilínea e 'cai' em uma órbita. Da mesma forma, se não houver nada que segure um corpo, ele começará a se afastar da órbita, experimentando, para um objeto no centro do sistema em rotação, uma aceleração aparente que o afasta do centro, conhecida como aceleração centrífuga. A aceleração é definida como:

$a_c =\displaystyle\frac{ v_0 ^2}{ r }$

$a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

Condições

Variáveis

$a_c$

Aceleração centrífuga

$m/s^2$

5274

$r$

Rádio

$m$

9894

$v$

$v_0$

Velocidade constante

$m/s$

8173

Relação

Desenvolvimento

Se a distância percorrida for pequena ($v\Delta t\ll r$), a raiz quadrada da distância entre o centro e o corpo,

$\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}$

,

pode ser aproximada por

$r+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$

,

o que corresponde a uma parábola em função do tempo $\Delta t$. Portanto, o comportamento pode ser descrito com uma aceleração igual a:

$a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

A aceleração centrífuga é uma aceleração observada por um sistema no eixo de rotação quando um objeto se afasta (foge) com velocidade constante. Para o objeto que se afasta, não existe tal aceleração.

ID:(4735, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se expressarmos a velocidade tangencial em termos da velocidade angular, a aceleração centrífuga é dada por:

$a_c = r \omega_0 ^2$

$a_c = r \omega ^2$

Condições

Variáveis

$a_c$

Aceleração centrífuga

$m/s^2$

5274

$r$

Rádio

$m$

9894

$\omega$

$\omega_0$

Velocidade angular inicial

$rad/s$

5295

Relação

Desenvolvimento

Como a aceleração centrífuga é igual a

$a_c =\displaystyle\frac{ v_0 ^2}{ r }$

com v sendo a velocidade e r o raio, e considerando a relação entre velocidade tangencial e velocidade angular como

$v_0 = r \omega_0$

podemos concluir que:

$a_c = r \omega ^2$

ID:(4384, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando um objeto orbita a um raio $r$ com uma velocidade tangencial $v$, ele mantém permanentemente uma distância em relação ao centro igual ao raio.

Para um observador externo ao sistema, o corpo, que por inércia viajaria em linha reta, desvia-se dessa trajetória mantendo a distância em relação ao centro. Do ponto de vista desse observador, o corpo está acelerando em direção ao centro (aceleração centrípeta) da órbita. Ao contrário da aceleração centrífuga, o objeto está experimentando uma aceleração real. A magnitude dessa aceleração é igual à aceleração centrífuga, mas com sinal oposto. Portanto, a magnitude da aceleração centrípeta é:

$a_p =\displaystyle\frac{ v_0 ^2}{ r }$

$a_p =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

Condições

Variáveis

$a_p$

Aceleração centrípeta

$m/s^2$

9944

$r$

Rádio

$m$

9894

$v$

$v_0$

Velocidade constante

$m/s$

8173

Relação

Ao contrário da aceleração centrífuga, a aceleração centrípeta é mensurável para o objeto que está literalmente 'caindo' em direção ao centro.

ID:(4383, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se dividirmos a relação entre la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o rádio ($r$) por la variação de ângulo ($\Delta\theta$),

e então dividirmos isso por o tempo decorrido ($\Delta t$), obtemos a relação que nos permite calcular la velocidade ($v$) ao longo da órbita, conhecida como velocidade tangencial, que está associada a la velocidade angular ($\omega$):

$v_0 = r \omega_0$

$v = r \omega$

Condições

Variáveis

$r$

Rádio

$m$

9894

$v$

$v_0$

Velocidade constante

$m/s$

8173

$\omega$

$\omega_0$

Velocidade angular inicial

$rad/s$

5295

Relação

Desenvolvimento

Como la velocidade média ($\bar{v}$) é com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$), igual a

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

e com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) expresso como arco de um círculo, e o rádio ($r$) e la variação de ângulo ($\Delta\theta$) são

$\Delta s=r \Delta\theta$

e a definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) é

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

então,

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$

Como a relação é geral, pode ser aplicada para valores instantâneos, resultando em

$v = r \omega$

ID:(3233, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para descrever o movimento de um objeto, precisamos calcular o tempo decorrido ($\Delta t$). Essa magnitude é obtida medindo o tempo inicial ($t_0$) e o o tempo ($t$) desse movimento. A duração é determinada subtraindo o tempo inicial do tempo final:

$\Delta t \equiv t - t_0$

Condições

Variáveis

$t$

Tempo

$s$

5264

$\Delta t$

Tempo decorrido

$s$

5103

$t_0$

Tempo inicial

$s$

5265

Relação

ID:(4353, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Podemos calcular la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) a partir de la velocidade ($s_0$) y la posição ($s$) usando a seguinte equação:

$\Delta s \equiv s - s_0$

Condições

Variáveis

$\Delta s$

Distância percorrida em um tempo

$m$

6025

$s$

Posição

$m$

9899

$s_0$

Velocidade

$m$

5336

Relação

ID:(4352, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para descrever a rotação de um objeto, precisamos determinar la variação de ângulo ($\Delta\theta$). Isso é feito subtraindo o ângulo inicial ($\theta_0$) do valor alcançado pelo objeto durante sua rotação, que é O ângulo ($\theta$):

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

Condições

Variáveis

$\theta$

Ângulo

$rad$

6065

$\theta_0$

ângulo inicial

$rad$

5296

$\Delta\theta$

Diferença de ângulos

$rad$

5299

Relação

ID:(3680, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La velocidade média ($\bar{v}$) pode ser calculado a partir de la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) usando:

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Condições

Variáveis

$\Delta s$

Distância percorrida em um tempo

$m$

6025

$\Delta t$

Tempo decorrido

$s$

5103

$\bar{v}$

Velocidade média

$m/s$

5268

Relação

ID:(3152, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se a velocidade for constante, a velocidade será igual a la velocidade inicial ($v_0$). Neste caso, o caminho percorrido em função do tempo pode ser calculado usando a diferença entre la posição ($s$) e la velocidade ($s_0$), dividida pela diferença entre o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

Condições

Variáveis

$s$

Posição

$m$

9899

$t$

Tempo

$s$

5264

$t_0$

Tempo inicial

$s$

5265

$s_0$

Velocidade

$m$

5336

$v_0$

Velocidade constante

$m/s$

8173

Relação

Desenvolvimento

Com la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) é com la posição ($s$) e la velocidade ($s_0$):

$\Delta s \equiv s - s_0$

e o tempo decorrido ($\Delta t$) é com o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$):

$\Delta t \equiv t - t_0$

A equação para a velocidade média:

$v_0 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

pode ser escrita como:

$v_0 = \bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t} = \displaystyle\frac{s - s_0}{t - t_0}$

portanto, resolvendo para ela obtemos:

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

A equação correspondente define uma linha reta no espaço-tempo.

ID:(3154, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para estimar o deslocamento de um objeto, é necessário conhecer sua la velocidade angular ($\omega$) em função de o tempo ($t$). Portanto, introduz-se a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$), definida como a proporção entre la variação de ângulo ($\Delta\theta$) e o tempo decorrido ($\Delta t$).

Para medir isso, pode-se utilizar um sistema como o mostrado na imagem:

Para determinar a velocidade angular média, um elemento refletor é colocado no eixo ou em um disco com vários elementos refletores, e o movimento é registrado para estimar o comprimento do arco $\Delta s$ e o ângulo associado ao raio $r$. Em seguida, a diferença de tempo quando a marca passa diante do sensor é registrada como $\Delta t$. A velocidade angular média é determinada dividindo-se o ângulo percorrido pelo tempo decorrido.

A equação que descreve a velocidade angular média é:

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Condições

Variáveis

$\Delta\theta$

Diferença de ângulos

$rad$

5299

$\Delta t$

Tempo decorrido

$s$

5103

$\bar{\omega}$

Velocidade angular média

$rad/s$

9943

Relação

Desenvolvimento

A definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) é considerada como la variação de ângulo ($\Delta\theta$),

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

e o tempo decorrido ($\Delta t$),

$\Delta t \equiv t - t_0$

A relação entre ambos é definida como la velocidade angular média ($\bar{\omega}$):

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Deve-se notar que a velocidade média é uma estimativa da velocidade angular real. O principal problema é que:

Se a velocidade angular varia durante o tempo decorrido, o valor da velocidade angular média pode ser muito diferente da velocidade angular média.

Portanto, a chave é:

Determinar a velocidade em um tempo decorrido suficientemente curto para minimizar sua variação.

ID:(3679, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso em que a velocidade angular é constante, la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) coincide com o valor de la velocidade angular inicial ($\omega_0$), então

Nesse cenário, podemos calcular o ângulo percorrido em função do tempo lembrando que ele está associado à diferença entre os ângulos atual e inicial, bem como o tempo atual e o inicial. Portanto, o ângulo ($\theta$) é igual a o ângulo inicial ($\theta_0$), la velocidade angular inicial ($\omega_0$), o tempo ($t$) e o tempo inicial ($t_0$) conforme mostrado abaixo:

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

Condições

Variáveis

$\theta$

Ângulo

$rad$

6065

$\theta_0$

ângulo inicial

$rad$

5296

$t$

Tempo

$s$

5264

$t_0$

Tempo inicial

$s$

5265

$\omega_0$

Velocidade angular inicial

$rad/s$

5295

Relação

Desenvolvimento

No caso em que la velocidade angular inicial ($\omega_0$) é igual a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$),

$\bar{\omega} = \omega_0$

Portanto, com la diferença de ângulos ($\Delta\theta$), que é igual a o ângulo ($\theta$) dividido por o ângulo inicial ($\theta_0$), obtemos:

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

E com o tempo decorrido ($\Delta t$), que é igual a o tempo ($t$) dividido por o tempo inicial ($t_0$), obtemos:

$\Delta t \equiv t - t_0$

Podemos reescrever a equação para la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) como:

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Isso pode ser expresso como:

$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$

Ao resolver, obtemos:

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

A equação representa uma reta no espaço ângulo-tempo.

ID:(1023, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando a velocidade angular é constante, é trivial que a velocidade angular média seja igual a essa velocidade angular constante. Em outras palavras, la velocidade angular inicial ($\omega_0$) é igual a la velocidade angular média ($\bar{\omega}$):

$\bar{\omega} = \omega_0$

Condições

Variáveis

$\omega_0$

Velocidade angular inicial

$rad/s$

5295

$\bar{\omega}$

Velocidade angular média

$rad/s$

9943

Relação

ID:(15431, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Quando a velocidade é constante, então trivialmente a velocidade média é igual a essa velocidade constante. Ou seja, la velocidade constante ($v_0$) é igual a la velocidade média ($\bar{v}$):

$\bar{v} = v_0$

Condições

Variáveis

$v_0$

Velocidade constante

$m/s$

8173

$\bar{v}$

Velocidade média

$m/s$

5268

Relação

ID:(10276, 0)