Storyboard

Tout objet en mouvement rectiligne tend à se déplacer en ligne droite. Pour suivre une orbite circulaire, il est nécessaire que le corps "tombe" radicalement de sa trajectoire rectiligne jusqu'au rayon de l'orbite. Cette "chute" correspond à une accélération centripète (centri = centre, peta = vers), comme le percevrait un observateur externe au système.

En revanche, si l'objet continue son mouvement rectiligne au lieu de suivre l'orbite, pour un observateur dans le système rotatif, il percevra la même accélération mais en s'éloignant du centre, ce qui est appelé accélération centrifuge (centri = centre, fuga = en s'éloignant).

>Modèle

ID:(758, 0)

Iframe

>Top

ID:(15417, 0)

Description

>Top

Si un objet est soumis à un mode de maintien d'un rayon constant, il tournera comme indiqué dans la figure. En observant la figure, on remarquera que la masse effectue un mouvement de translation avec une vitesse tangentielle égale au rayon multiplié par la vitesse angulaire:

Cependant, si l'élément reliant l\'objet à l\'axe est coupé, l\'objet continuera à se déplacer tangentiellement en ligne droite.

ID:(310, 0)

Concept

>Top

Si un corps fixé à une corde de longueur $r$ tourne avec une vitesse tangentielle $v$ et que la corde est coupée, le corps continuera à se déplacer en ligne droite avec une vitesse constante $v$ en raison de l'inertie.

Dans un intervalle de temps $\Delta t$, le corps aura parcouru une distance de $v\Delta t$ de manière tangentielle à son orbite précédente. Du point de vue d'un observateur sur l\'axe du système en rotation, la distance est calculée en utilisant le théorème de Pythagore, en ajoutant le carré du rayon de l\'orbite au carré de la distance parcourue :

$\sqrt{r^2+v^2\Delta t^2}$

ID:(1155, 0)

Concept

>Top

Si nous étudions une catapulte, nous remarquerons que le projectile se déplace d'abord le long de la courbe décrite par la cuillère. Cela se produit parce que la cuillère est conçue pour retenir le projectile. Une fois que le bras s'arrête, le projectile continue en ligne droite de manière tangentielle au cercle qu\'il parcourait.

Si un corps n\'est pas retenu et se déplace avec une vitesse tangentielle $v$, il parcourra en un temps $\Delta t$ la distance $v\Delta t$ en se déplaçant de B à C. Cependant, s\'il continue à orbiter, il atteindra le point D après le temps $\Delta t$. Si l\'objet atteint C, pour un observateur sur Terre, il y aura une accélération par laquelle un objet s\'éloigne de la Terre (accélération centrifuge) en parcourant la distance $\Delta r$ en un temps $\Delta t$.

Pour un observateur dans l\'espace, un objet en mouvement dans l\'orbite est en chute permanente : au lieu de se terminer à C, il chute sur la distance $\Delta r$ en un temps $\Delta t$ jusqu\'à atteindre D. Dans les deux cas, nous pouvons représenter la situation graphiquement et en utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons constater que l\'équation suivante doit être satisfaite :

$(r+\Delta r)^2=r^2+(v\Delta t)^2$

Si nous développons le carré de l\'équation, elle se réduit à :

$2\Delta rr+\Delta r^2=v^2\Delta t^2$

Comme la variation du rayon $\Delta r$ est beaucoup plus petite que le rayon lui-même ($r\ll\Delta r$), nous pouvons conclure que :

$2\Delta rr=v^2\Delta t^2$

ou en résolvant pour $\Delta r$:

$\Delta r=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$

En comparant cette équation à l\'équation $s=at^2/2$, on conclut que le corps accélère avec une accélération égale à $v^2/r$.

ID:(313, 0)

Top

>Top

Paramètres

$a_c$

a_c

Accélération centrifuge

m/s^2

$a_p$

a_p

Accélération centripète

m/s^2

$\theta_0$

theta_0

Angle de départ

rad

$\Delta\theta$

Dtheta

Différence d'angles

rad

$r$

r

Radio

m

$t_0$

t_0

Temps initial

s

$s_0$

s_0

Vitesse

m

$\omega_0$

omega_0

Vitesse angulaire initiale

rad/s

$v_0$

v_0

Vitesse constante

m/s

Variables

$\theta$

theta

Angle

rad

$\Delta s$

Ds

Distance parcourue en un temps

m

$s$

s

Position

m

$t$

t

Temps

s

$\Delta t$

Dt

Temps écoulé

s

$\bar{\omega}$

omega_m

Vitesse angulaire moyenne

rad/s

$\bar{v}$

v_m

Vitesse moyenne

m/s

Calculs

• Méthode alternative
• Méthode traditionnelle
• Stratégie
• 2D
• 3D

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation: à , puis, sélectionnez la variable: à

---

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable Donnée Calculer Cible : Équation À utiliser

Équations

ID:(15428, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Les corps ont tendance, par inertie, à se déplacer en ligne droite à vitesse constante. Ainsi, si un corps orbite autour d'un autre, il dévie de sa trajectoire rectiligne et 'tombe' dans une orbite. De même, si rien ne retient un corps, il commencera à s\'éloigner de l\'orbite, subissant, pour un objet au centre du système en rotation, une accélération apparente qui l\'éloigne du centre, connue sous le nom d\'accélération centrifuge. L\'accélération est définie comme suit :

$a_c =\displaystyle\frac{ v_0 ^2}{ r }$

$a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

Conditions

Variables

$a_c$

Accélération centrifuge

$m/s^2$

5274

$r$

Radio

$m$

9894

$v$

$v_0$

Vitesse constante

$m/s$

8173

Relation

Développement

Si la distance parcourue est petite ($v\Delta t\ll r$), la racine carrée de la distance entre le centre et le corps,

$\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}$

,

peut être approximée par

$r+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$

,

ce qui correspond à une parabole en fonction du temps $\Delta t$. Par conséquent, le comportement peut être décrit avec une accélération égale à :

$a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

L\'accélération centrifuge est une accélération observée par un système sur l\'axe de rotation lorsqu\'un objet s\'éloigne (fuit) à vitesse constante. Pour l\'objet s\'éloignant, cette accélération n\'existe pas.

ID:(4735, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si la vitesse tangentielle est exprimée en fonction de la vitesse angulaire, l\'accélération centrifuge est donnée par:

$a_c = r \omega_0 ^2$

$a_c = r \omega ^2$

Conditions

Variables

$a_c$

Accélération centrifuge

$m/s^2$

5274

$r$

Radio

$m$

9894

$\omega$

$\omega_0$

Vitesse angulaire initiale

$rad/s$

5295

Relation

Développement

Étant donné que l\'accélération centrifuge est égale à

$a_c =\displaystyle\frac{ v_0 ^2}{ r }$

avec v comme la vitesse et r comme le rayon, et en tenant compte de la relation entre la vitesse tangentielle et la vitesse angulaire comme

$v_0 = r \omega_0$

nous pouvons en conclure que :

$a_c = r \omega ^2$

ID:(4384, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Lorsqu'un objet orbite à un rayon $r$ avec une vitesse tangentielle $v$, il maintient en permanence une distance constante par rapport au centre égale au rayon.

Pour un observateur externe au système, le corps, qui se déplacerait en ligne droite par inertie, dévie de cette trajectoire tout en maintenant la distance par rapport au centre. Du point de vue de cet observateur, le corps accélère vers le centre (accélération centripète) de l'orbite. Contrairement à l\'accélération centrifuge, l\'objet subit une véritable accélération. La magnitude de cette accélération est égale à l\'accélération centrifuge mais avec un signe opposé. Ainsi, la magnitude de l\'accélération centripète est :

$a_p =\displaystyle\frac{ v_0 ^2}{ r }$

$a_p =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$

Conditions

Variables

$a_p$

Accélération centripète

$m/s^2$

9944

$r$

Radio

$m$

9894

$v$

$v_0$

Vitesse constante

$m/s$

8173

Relation

Contrairement à l\'accélération centrifuge, l\'accélération centripète est mesurable pour l\'objet qui est littéralement \'attiré\' vers le centre.

ID:(4383, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si nous divisons la relation entre a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le radio ($r$) par a variation d'angle ($\Delta\theta$),

et puis la divisons par le temps écoulé ($\Delta t$), nous obtenons la relation qui nous permet de calculer a vitesse ($v$) le long de l'orbite, connue sous le nom de vitesse tangentielle, qui est associée à A vitesse angulaire ($\omega$):

$v_0 = r \omega_0$

$v = r \omega$

Conditions

Variables

$r$

Radio

$m$

9894

$v$

$v_0$

Vitesse constante

$m/s$

8173

$\omega$

$\omega_0$

Vitesse angulaire initiale

$rad/s$

5295

Relation

Développement

Comme a vitesse moyenne ($\bar{v}$) est avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$), égal à

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

et avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) exprimé comme un arc de cercle, et le radio ($r$) et a variation d'angle ($\Delta\theta$) sont

$\Delta s=r \Delta\theta$

et la définition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) est

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

alors,

$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$

Comme la relation est générale, elle peut être appliquée pour des valeurs instantanées, ce qui donne

$v = r \omega$

ID:(3233, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour décrire le mouvement d'un objet, nous devons calculer le temps écoulé ($\Delta t$). Cette grandeur est obtenue en mesurant le temps initial ($t_0$) et le le temps ($t$) de ce mouvement. La durée est déterminée en soustrayant le temps initial du temps final :

$\Delta t \equiv t - t_0$

Conditions

Variables

$t$

Temps

$s$

5264

$\Delta t$

Temps écoulé

$s$

5103

$t_0$

Temps initial

$s$

5265

Relation

ID:(4353, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Nous pouvons calculer a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) à partir de a vitesse ($s_0$) et a position ($s$) grâce à l'équation suivante :

$\Delta s \equiv s - s_0$

Conditions

Variables

$\Delta s$

Distance parcourue en un temps

$m$

6025

$s$

Position

$m$

9899

$s_0$

Vitesse

$m$

5336

Relation

ID:(4352, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour décrire la rotation d'un objet, nous devons déterminer a variation d'angle ($\Delta\theta$). Cela se fait en soustrayant le angle de départ ($\theta_0$) de le angle ($\theta$), la valeur atteinte par l'objet pendant sa rotation:

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

Conditions

Variables

$\theta$

Angle

$rad$

6065

$\theta_0$

Angle de départ

$rad$

5296

$\Delta\theta$

Différence d'angles

$rad$

5299

Relation

ID:(3680, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A vitesse moyenne ($\bar{v}$) peut être calculé à partir de a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$) en utilisant :

$\bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$

Conditions

Variables

$\Delta s$

Distance parcourue en un temps

$m$

6025

$\Delta t$

Temps écoulé

$s$

5103

$\bar{v}$

Vitesse moyenne

$m/s$

5268

Relation

ID:(3152, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si la vitesse est constante, la vitesse sera égale à A vitesse initiale ($v_0$). Dans ce cas, la distance parcourue en fonction du temps peut être calculée en utilisant la différence entre a position ($s$) et a vitesse ($s_0$), divisée par la différence entre le temps ($t$) et le temps initial ($t_0$) :

$s = s_0 + v_0 ( t - t_0 )$

Conditions

Variables

$s$

Position

$m$

9899

$t$

Temps

$s$

5264

$t_0$

Temps initial

$s$

5265

$s_0$

Vitesse

$m$

5336

$v_0$

Vitesse constante

$m/s$

8173

Relation

Développement

Avec a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) c'est avec a position ($s$) et a vitesse ($s_0$) :

$\Delta s \equiv s - s_0$

et le temps écoulé ($\Delta t$) est avec le temps ($t$) et le temps initial ($t_0$) :

$\Delta t \equiv t - t_0$

L'équation pour la vitesse moyenne :

L'équation correspondante définit une ligne droite dans l'espace-temps.

ID:(3154, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour estimer le déplacement d'un objet, il est nécessaire de connaître sa a vitesse angulaire ($\omega$) en fonction de le temps ($t$). Ainsi, on introduit la a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$), définie comme le rapport entre a variation d'angle ($\Delta\theta$) et le temps écoulé ($\Delta t$).

Pour mesurer cela, on peut utiliser un système comme celui illustré sur l'image :

Pour déterminer la vitesse angulaire moyenne, on place un élément réfléchissant sur l\'axe ou sur un disque avec plusieurs éléments réfléchissants, et on enregistre le passage pour estimer la longueur de l\'arc $\Delta s$ et l\'angle associé au rayon $r$. Ensuite, la différence de temps lorsque la marque passe devant le capteur est enregistrée comme $\Delta t$. La vitesse angulaire moyenne est déterminée en divisant l\'angle parcouru par le temps écoulé.

L\'équation qui décrit la vitesse angulaire moyenne est :

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Conditions

Variables

$\Delta\theta$

Différence d'angles

$rad$

5299

$\Delta t$

Temps écoulé

$s$

5103

$\bar{\omega}$

Vitesse angulaire moyenne

$rad/s$

9943

Relation

Développement

La définition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) est considérée comme a variation d'angle ($\Delta\theta$),

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

et le temps écoulé ($\Delta t$),

$\Delta t \equiv t - t_0$

La relation entre les deux est définie comme a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) :

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Il convient de noter que la vitesse moyenne est une estimation de la vitesse angulaire réelle. Le principal problème est que :

Si la vitesse angulaire varie pendant le temps écoulé, la valeur de la vitesse angulaire moyenne peut être très différente de la vitesse angulaire moyenne.

Par conséquent, la clé est :

Déterminer la vitesse dans un temps écoulé suffisamment court pour minimiser sa variation.

ID:(3679, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Dans le cas où la vitesse angulaire est constante, a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) coïncide avec la valeur de a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$), donc

Dans ce scénario, nous pouvons calculer l'angle parcouru en fonction du temps en rappelant qu'il est associé à la différence entre les angles actuel et initial, ainsi qu'entre le temps actuel et initial. Par conséquent, le angle ($\theta$) est égal à Le angle de départ ($\theta_0$), a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$), le temps ($t$) et le temps initial ($t_0$) comme indiqué ci-dessous :

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

Conditions

Variables

$\theta$

Angle

$rad$

6065

$\theta_0$

Angle de départ

$rad$

5296

$t$

Temps

$s$

5264

$t_0$

Temps initial

$s$

5265

$\omega_0$

Vitesse angulaire initiale

$rad/s$

5295

Relation

Développement

Dans le cas où A vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) est égal à A vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$),

$\bar{\omega} = \omega_0$

Par conséquent, avec a différence d'angles ($\Delta\theta$), qui est égal à Le angle ($\theta$) divisé par le angle de départ ($\theta_0$), nous obtenons :

$\Delta\theta = \theta - \theta_0$

Et avec le temps écoulé ($\Delta t$), qui est égal à Le temps ($t$) divisé par le temps initial ($t_0$), nous obtenons :

$\Delta t \equiv t - t_0$

Nous pouvons réécrire l'équation pour a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) comme suit :

$\bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$

Cela peut être exprimé comme suit :

$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$

En résolvant cela, nous obtenons :

$\theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$

L'équation représente une droite dans l'espace angle-temps.

ID:(1023, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Lorsque la vitesse angulaire est constante, il est trivial que la vitesse angulaire moyenne soit égale à cette vitesse angulaire constante. En d'autres termes, a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) est égal à A vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$):

$\bar{\omega} = \omega_0$

Conditions

Variables

$\omega_0$

Vitesse angulaire initiale

$rad/s$

5295

$\bar{\omega}$

Vitesse angulaire moyenne

$rad/s$

9943

Relation

ID:(15431, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Lorsque la vitesse est constante, il est évident que la vitesse moyenne est égale à cette vitesse constante. Autrement dit, a vitesse constante ($v_0$) est égal à A vitesse moyenne ($\bar{v}$):

$\bar{v} = v_0$

Conditions

Variables

$v_0$

Vitesse constante

$m/s$

8173

$\bar{v}$

Vitesse moyenne

$m/s$

5268

Relation

ID:(10276, 0)