
Momentane Winkelbeschleunigung
Storyboard 
Um zu beschreiben, wie sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit entwickelt, muss man ihre Variation im Verhältnis zur Zeit betrachten.
Die Beziehung zur Veränderung der Winkelgeschwindigkeit entspricht der Winkelverschiebung über die verstrichene Zeit, die, wenn sie durch diese Zeit geteilt wird, die Winkelbeschleunigung ergibt.
Für ein infinitesimal kleines Zeitintervall entspricht die Winkelbeschleunigung der momentanen Winkelbeschleunigung.
ID:(1452, 0)

Aceleración angular como derivada
Konzept 
Wenn eine Zeitspanne t mit einer Winkelgeschwindigkeit \omega(t) verstrichen ist und ein Punkt zu einem zukünftigen Zeitpunkt t+\Delta t mit einer Winkelgeschwindigkeit \omega(t+\Delta t) beobachtet wird, kann die Winkelbeschleunigung als die Variation
\omega(t+\Delta t)-\omega(t)
über die Zeit \Delta t abgeschätzt werden:
\alpha\sim\displaystyle\frac{\omega(t+\Delta t)-\omega(t)}{\Delta t}
Wenn der Wert von \Delta t kleiner wird, nimmt die Beschleunigung die Rolle der Tangente an der Geschwindigkeitskurve zu diesem Zeitpunkt ein:
Dies verallgemeinert, was bereits für den Fall konstanter Winkelbeschleunigung gesehen wurde.
ID:(11413, 0)

Winkelgeschwindigkeit als Integral der Beschleunigung
Beschreibung 
Das Integral einer Funktion entspricht der Fläche unter der Kurve, die die Funktion definiert. Daher entspricht das Integral der Winkelbeschleunigung zwischen den Zeiten t_0 und t der Änderung der Winkelgeschwindigkeit zwischen der anfänglichen Winkelgeschwindigkeit \omega_0 und \omega.
Unter Verwendung von anfängliche Winkelgeschwindigkeit rad/s, augenblickliche Winkelbeschleunigung rad/s^2, startzeit s, winkelgeschwindigkeit rad/s und zeit s erhalten wir:
\omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau |
Dies wird im folgenden Diagramm dargestellt:
ID:(11415, 0)

Tangentialbeschleunigung, Rechte-Hand-Regel
Bild 
Die Ausrichtung der Tangentialbeschleunigung kann mithilfe der Rechten-Hand-Regel ermittelt werden, indem die Finger in Richtung der Achse zeigen und dann in Richtung des Radius gedreht werden:
ID:(11600, 0)

Modell
Top 

Parameter

Variablen

Berechnungen




Berechnungen
Berechnungen







Gleichungen
\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r}
&a = &alpha x &r
\vec{alpha} =\displaystyle\frac{d \vec{\omega} }{d t }
&alpha = d&omega / dt
\alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }
alpha = domega / dt
\omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau
omega = omega_0 + @INT( alpha, tau, t_0, t )
v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau
v = v_0 + integrate( a, tau, t_0, t )
ID:(15426, 0)

Momentane Winkelbeschleunigung
Gleichung 
Ähnlich wie bei der translatorischen Beschleunigung gibt es das Konzept der Momentanen Winkelbeschleunigung, die die Winkelbeschleunigung mit
\bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t } |
ist, die zu einem bestimmten Zeitpunkt existiert. Dies wird in der Näherung von sehr kleinen Zeitintervallen (\Delta t\rightarrow 0) berechnet, was bedeutet
\alpha=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\omega}{dt}
wobei
![]() |
ID:(3235, 0)

Integration der Angularbeschleunigung
Gleichung 
Wenn wir die Definition der Winkelgeschwindigkeit mit Hilfe von augenblickliche Winkelbeschleunigung rad/s^2, augenblickliche Winkelgeschwindigkeit rad/s und zeit s nach der Zeit integrieren, erhalten wir:
\alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt } |
Das bedeutet, dass für ein Zeitintervall dt der zurückgelegte Winkel gegeben ist durch:
d\omega = \alpha dt
Wenn wir N Intervalle dt_i mit den entsprechenden Winkelgeschwindigkeiten \alpha_i betrachten, ergibt sich der gesamte zurückgelegte Winkel zu:
\omega - \omega_0 = \sum_i \alpha_i dt_i
Unter Berücksichtigung der Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Kurve entsprechen die Elemente \alpha_i dt_i Rechtecken mit einer Höhe von \alpha_i und einer Breite von dt_i. Die Summe entspricht somit der Fläche unter der Winkelgeschwindigkeit-Zeit-Kurve. Daher kann die Summe als Integral unter Verwendung von augenblickliche Winkelbeschleunigung rad/s^2, augenblickliche Winkelgeschwindigkeit rad/s und zeit s ausgedrückt werden:
\omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau |
ID:(11416, 0)

Winkelbeschleunigung in mehr Dimensionen
Gleichung 
Im Allgemeinen muss die Beschleunigung als ein dreidimensionales Gebilde verstanden werden, das heißt, als Vektor. Ihre Geschwindigkeit muss daher durch einen Vektor, den Drehgeschwindigkeitsvektor \vec{\omega}, beschrieben werden, für den eine Komponentenbeschleunigung mit augenblickliche Winkelbeschleunigung rad/s^2, augenblickliche Winkelgeschwindigkeit rad/s und zeit s
\alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt } |
definiert werden kann, womit die Beschleunigung verallgemeinert werden kann:
![]() |
ID:(6742, 0)

Integration der Winkelbeschleunigung
Gleichung 
Die Integration der differentiellen Definition, d. h. infinitesimaler zeitlicher Variationen, in Bezug auf die Gleichung ergibt:
a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t } |
Wir können eine Integration zwischen der Zeit t_0 und t der Beschleunigung a(\tau) durchführen, um die Geschwindigkeit v(t) zu erhalten, wenn die Anfangsgeschwindigkeit v_0 gegeben ist, unter Verwendung der Gleichung:
v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau |
ID:(11414, 0)

Tangentialbeschleunigung, Vektorform
Gleichung 
Die Winkelbeschleunigung wird als Vektor in Richtung der Rotationsachse dargestellt. Da der Rotationsradius und die Winkelbeschleunigung orthogonal zur Tangentialbeschleunigung sind, ergibt sich:
a = r \alpha |
Diese Beziehung kann als Kreuzprodukt aus Winkelbeschleunigung und Radius ausgedrückt werden, dargestellt als:
![]() |
Angesichts der Tatsache, dass die Tangentialbeschleunigung
a = r \alpha |
ist, und wenn der Einheitsvektor der Achse \hat{n} und der radiale Einheitsvektor \hat{r} ist, kann der Tangentialvektor durch das Kreuzprodukt berechnet werden:
\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}
Folglich, unter Berücksichtigung dessen, dass
\vec{a} = a \hat{t}
,
\vec{r} = r \hat{r}
und
\vec{\alpha} = \alpha \hat{n}
,
können wir ableiten, dass
\vec{a} = a \hat{t} = a \hat{n} \times \hat{r} = r \alpha \hat{n} \times \hat{r} = \vec{\alpha} \times \vec{r}
,
was sich übersetzen lässt in
\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} |
.
ID:(11598, 0)