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Erzwungene Oszillatoren und ihre Gleichung
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Im Falle eines erzwungenen Oszillators wird eine externe Kraft auf die oszillierende Masse ausgeübt. Dies kann dazu führen, dass der Teig verlangsamt oder beschleunigt wird.
Wenn die Kraft synchron wirkt (mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der die Masse natürlich schwingt), entstehen Resonanzen, die die Amplitude der Schwingung dramatisch erhöhen können.
ID:(52, 0)
Erzwungener Oszillator
Definition
Ein erzwungener Oszillator kann ein System sein, bei dem eine Masse, die an einer Feder befestigt ist, in einer viskosen Flüssigkeit eingetaucht ist und der Punkt, an dem die Feder befestigt ist, oszilliert. Dieser Effekt kann erreicht werden, indem der Punkt an eine rotierende Scheibe befestigt wird:
ID:(14098, 0)
Phasenverschiebung
Bild
Die Phasenverschiebung ist eine zeitliche Verschiebung einer Schwingung, was bedeutet, dass sie entweder vor oder hinter ihrer regulären Zeit liegt, während sie die gleiche Form beibehält:
ID:(14102, 0)
Erzwungene Oszillatoren und ihre Gleichung
Beschreibung
Im Falle eines erzwungenen Oszillators wird eine externe Kraft auf die oszillierende Masse ausgeübt. Dies kann dazu führen, dass der Teig verlangsamt oder beschleunigt wird. Wenn die Kraft synchron wirkt (mit der gleichen Geschwindigkeit, mit der die Masse natürlich schwingt), entstehen Resonanzen, die die Amplitude der Schwingung dramatisch erhöhen können.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Um die L sung der Differentialgleichung
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
zu vereinfachen, verwenden wir die L sung
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
und leiten sie nach der Zeit ab, um die Geschwindigkeit zu erhalten
$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$
und somit auch die zweite Ableitung, die der ersten Ableitung der Geschwindigkeit entspricht
$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$
was zusammen mit
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
zur Gleichung f hrt
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
(ID 14103)
Beispiele
Ein erzwungener Oszillator kann ein System sein, bei dem eine Masse, die an einer Feder befestigt ist, in einer viskosen Fl ssigkeit eingetaucht ist und der Punkt, an dem die Feder befestigt ist, oszilliert. Dieser Effekt kann erreicht werden, indem der Punkt an eine rotierende Scheibe befestigt wird:
(ID 14098)
Eine einfache M glichkeit, die externe Kraft zu modellieren, besteht darin anzunehmen, dass sie eine Gr e von $F_0$ hat und mit einer beliebigen Winkelgeschwindigkeit $\omega$ oszilliert.
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
(ID 14099)
Im Fall eines ged mpften Oszillators ohne u ere Einwirkung lautet die Bewegungsgleichung
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$ |
Im Fall einer externen Einwirkung wirkt die von uns definierte Kraft
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
zus tzlich auf das System, was zu einer modifizierten Bewegungsgleichung f hrt
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
(ID 14100)
Im Fall eines unangeregten ged mpften Oszillators lautet die Bewegungsgleichung:
| $ z = x_0 e^{i \omega t }$ |
Dabei ist es wichtig zu beachten, dass die Winkelgeschwindigkeit der nat rlichen Frequenz des Systems entspricht. In unserem Fall wird die Winkelgeschwindigkeit derjenigen des Systems entsprechen, das die Schwingung antreibt. Abgesehen davon ist es m glich, dass die Schwingung eine Phasenverschiebung zur Antriebskraft aufweist. Daher kann eine L sung in Form von
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
vorgeschlagen werden.
(ID 14101)
Wenn wir die Gleichung der Schwingung
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
verwenden und sie in
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
einsetzen, erhalten wir die Gleichung f r den erzwungenen Oszillator im komplexen Raum
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
(ID 14103)
Die Phasenverschiebung ist eine zeitliche Verschiebung einer Schwingung, was bedeutet, dass sie entweder vor oder hinter ihrer regul ren Zeit liegt, w hrend sie die gleiche Form beibeh lt:
(ID 14102)
ID:(52, 0)