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Osciladores Forzados y su ecuación
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En el caso de un oscilador forzado se aplica una fuerza externa sobre la masa que oscila. Esto puede llevar a que la masa sea frenada o acelerada.
Si la fuerza actúa en forma sincrónica (al mismo ritmo que oscila la masa naturalmente) se originan resonancias que pueden incrementar la amplitud de la oscilación en forma dramática.
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Oscilador forzado
Definición
Un oscilador forzado puede ser un sistema en el cual una masa unida a un resorte está sumergida en un líquido viscoso y el punto donde se fija el resorte oscila. Este último efecto puede lograrse fijando el punto a un disco que gira:
ID:(14098, 0)
Cambio de fase
Imagen
El desfase es un desplazamiento temporal de una oscilación, lo que significa que comienza ya sea adelante o atrás en el tiempo, pero mantiene la misma forma:
ID:(14102, 0)
Osciladores Forzados y su ecuación
Descripción
En el caso de un oscilador forzado se aplica una fuerza externa sobre la masa que oscila. Esto puede llevar a que la masa sea frenada o acelerada. Si la fuerza actúa en forma sincrónica (al mismo ritmo que oscila la masa naturalmente) se originan resonancias que pueden incrementar la amplitud de la oscilación en forma dramática.
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Ecuaciones
Para simplificar la soluci n de la ecuaci n diferencial
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
se utiliza la soluci n
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
y se procede a derivarla con respecto al tiempo para obtener la velocidad
$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$
y por ende la segunda derivada, que es igual a la primera derivada de la velocidad
$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$
lo cual, junto con
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
resulta en la ecuaci n
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
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Ejemplos
Un oscilador forzado puede ser un sistema en el cual una masa unida a un resorte est sumergida en un l quido viscoso y el punto donde se fija el resorte oscila. Este ltimo efecto puede lograrse fijando el punto a un disco que gira:
(ID 14098)
Una forma sencilla de modelar la fuerza externa es suponer que tiene una magnitud $F_0$ y una oscilaci n con una frecuencia angular $\omega$ cualquiera.
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
(ID 14099)
En el caso de un oscilador amortiguado sin forzamiento, la ecuaci n de movimiento es
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$ |
En el caso de forzamiento, la fuerza que definimos como
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
act a adicionalmente sobre el sistema, por lo que la ecuaci n de movimiento se modifica a
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
(ID 14100)
En el caso de un oscilador amortiguado sin forzamiento, la ecuaci n de movimiento es
| $ z = x_0 e^{i \omega t }$ |
y es importante notar que la frecuencia angular es la del propio sistema. En nuestro caso, la frecuencia angular ser la del sistema que fuerza la oscilaci n. Adem s, es posible que la oscilaci n tenga un desfase con respecto a la fuerza osciladora. Por lo tanto, podemos proponer una soluci n de la forma
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
(ID 14101)
Si utilizamos la ecuaci n de la oscilaci n
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
y la introducimos en
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
obtenemos la ecuaci n del oscilador forzado en el espacio complejo
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
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El desfase es un desplazamiento temporal de una oscilaci n, lo que significa que comienza ya sea adelante o atr s en el tiempo, pero mantiene la misma forma:
(ID 14102)
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