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Modelo simplificado
Imagen 
En la medida que la difusión a lo largo del perímetro es menor el sistema se puede modelar con cuatro concentraciones básicas:
- $c_{11}$ en cavidad entre endotelio y membrana laminar
- $c_{12}$ en primera cavidad frente al hatch
- $c_{21}$ en cavidad entre membrana laminar y membrana exterior
- $c_{22}$ en segunda cavidad frente al hatch
Se consideran ademas las dimensiones geométricas:
- $l_1$ perímetro sin el hatch
- $l_2$ ancho del hatch
- $h$ largo del hatch (que es de mayor largo que la membrana)
- $d_1$ ancho primera cavidad
- $d_2$ ancho segunda cavidad
Se incluyen las constantes de difusión
- $D_0$ a través del endotelio
- $D_1$ a través de la membrana laminar
- $D_2$ a través de la membrana exterior
- $D$ a través del medio liquido (perimetral y hatch)
Se asume además de que el sistema no llega al limite de saturación.
ID:(8855, 0)
Flujo por elementos GluT
Ecuación
El flujo por una membrana con transportadores GluT con una concentración $c_1$ del primer lado y $c_2$ del segundo lado es para el caso no saturado igual a
$\displaystyle\frac{j_s}{c_s}(c_1-c_2)$
donde $j_s$ representa el flujo saturado y $c_s$ la concentración saturada.
La saturación se alcanza al momento de que la suma de las concentraciones superan la concentración crítica ponderada por el largo total, o sea
$c_1+c_2 > c_s$
En dicha situación se da que el flujo llega a un maximo $j_s=D_gc_s$ que se distribuye en la proporción
$\displaystyle\frac{c_1}{c_1+c_2}$
del medio 1 al 2 y
$\displaystyle\frac{c_2}{c_1+c_2}$
a la inversa. Por ello en caso de saturación el flujo efectivo será
$j_s\displaystyle\frac{c_2}{c_1+c_2}-j_s\displaystyle\frac{c_1}{c_1+c_2}=\displaystyle\frac{j_s}{c_1+c_2}(c_1-c_2)$
Si se introduce la función de Heaviside $\theta(x)$ (igual a uno si x > 0 y cero si x < 0) el flujo se puede escribir como
| $j(j_s,c_s,c_1,c_2)=\displaystyle\frac{j_s}{c_s}(c_1-c_2)\left(\displaystyle\frac{c_s}{c_1+c_2}\theta(c_1+c_2 - c_s)+\theta(c_s-c_1-c_2)\right)$ |
ID:(8860, 0)
Ecuación para $c_{11}$
Ecuación
El flujo del lumen, con concentración $c_0$, al punto 11 con concentración $c_{11}$ por una pared del largo $l_1$, con flujo saturado $j_{s0}$ y concentración saturada $c_{s0}$, es
$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11})\Delta z$
De dicho punto fluyen en el perímetro de ancho $d_1$ y alto $\Delta z$ de una zona con concentración $c_{11}$ a una con $c_{12}$ con una constante de difusión $D$ es
$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{11}-c_{12})d_1\Delta z$
donde $d$ es la distancia entre los puntos 11 y 12.
Del mismo punto fluyen, a través de la segunda membrana, por un frente de largo $l_1$, con flujo saturado $j_{s1}$ concentración saturada $c_{s1}$ al punto 21 con una concentración $c_{21}$ el flujo es
$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})\Delta z$
Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como
$l_1d_1\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}$
por lo que para el primer punto se da que
| $d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})$ |
ID:(8856, 0)
Ecuación para $c_{12}$
Ecuación
El flujo del lumen, con concentración $c_0$, al punto 12 con concentración $c_{12}$ por una pared del largo $l_1$ y constante de difusión $D_0$, es
$\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})\Delta z$
De dicho punto fluyen desde el perímetro de ancho $d_1$ y alto $\Delta z$ de una zona con concentración $c_{11}$ a una con $c_{12}$ con una constante de difusión $D$ es
$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{11}-c_{12})d_1\Delta z$
donde $d$ es la distancia entre los puntos 11 y 12.
Del mismo punto fluyen a través del hatch con un ancho $l_2$ y constante de difusión $D$ a un punto con concentración $c_{22}$ es
$\displaystyle\frac{1}{h}D(c_{12}-c_{22})l_2\Delta z$
Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como
$l_2d_1\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}$
por lo que para el primer punto se da que
| $d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})$ |
ID:(8857, 0)
Ecuación para $c_{21}$
Ecuación
El flujo de la primera cavidad con concentración $c_{11}$, al punto 21 con concentración $c_{21}$ por una pared del largo $l_1$ y constante de difusión $D_2$, es
$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})\Delta z$
De dicho punto fluyen en el perímetro de ancho $d_2$ a una zona con concentración $c_{22}$ con una constante de difusión $D$ es
$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{21}-c_{22})d_2\Delta z$
donde $d$ es la distancia entre los puntos 21 y 22.
Del mismo punto fluyen a través de la membrana externa por un frente de largo $l_1$ y constante de difusión $D_3$ a un punto con concentración $c_3$ es
$\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3)\Delta z$
Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como
$l_1d_2\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}$
por lo que para el primer punto se da que
| $d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})$ |
ID:(8858, 0)
Ecuación para $c_{22}$
Ecuación
El flujo del punto con concentración $c_{12}$, al punto 22 con concentración $c_{22}$ por una pared del largo $l_2$ y constante de difusión $D$, es
$\displaystyle\frac{1}{h}D(c_{12}-c_{22})\Delta z$
De dicho punto fluyen desde el perímetro de ancho $d_2$ a una zona con concentración $c_{21}$ con una constante de difusión $D$ es
$\displaystyle\frac{1}{d}D(c_{21}-c_{22})d_2\Delta z$
donde $d$ es la distancia entre los puntos 21 y 22.
Del mismo punto fluyen a través de la membrana externa por un frente de largo $l_2$ y constante de difusión $D_3$ a un punto con concentración $c_3$ es
$\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)\Delta z$
Con ello el numero de particulas por largo varia en el tiempo como
$l_2d_2\Delta z\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}$
por lo que para el primer punto se da que
| $d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)$ |
ID:(8859, 0)
Control de Totales
Ecuación
Si se suman las cuatro ecuaciones de las concentraciones
| $d_1l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{11}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11}) - j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})) -\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})$ |
| $d_1l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{12}=\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12})+\displaystyle\frac{d_1}{d}D(c_{11}-c_{12})-\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})$ |
| $d_2l_1\displaystyle\frac{d}{dt}c_{21}=\displaystyle\frac{l_1}{l_1+l_2}(j(j_{s1},c_{s1},c_{11},c_{21})-j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))-\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})$ |
y
| $d_2l_2\displaystyle\frac{d}{dt}c_{22}=\displaystyle\frac{l_2}{h}D(c_{12}-c_{22})+\displaystyle\frac{d_2}{d}D(c_{21}-c_{22})-\displaystyle\frac{l_2}{l_1+l_2}j(j_{s2},c_{2s},c_{22},c_3)$ |
se obtiene
| $\displaystyle\frac{dN}{dt}=\displaystyle\frac{1}{l_1+l_2}((l_1j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{11})+l_2j(j_{s0},c_{s0},c_0,c_{12}))-(l_1j(j_{s2},c_{s2},c_{21},c_3))+l_2j(j_{s2},c_{s2},c_{22},c_3)))$ |
ID:(8889, 0)
Simulación básica 0.5 s
Descripción
Si se considera un sistema que inicialmente no tiene glucosa y que esta en contacto con un lumen con 5.5 mmol/l y con un nervio con 0 mmol/l se tienen los datos
que en los primeros 0.5 s muestran que las concentraciones en los cuatro puntos $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{21}$ y $c_{22}$ se disparan:
con flujos entre ellos:
y flujos hacia y desde:
ID:(8878, 0)
Simulación básica 600 s
Descripción
Si se considera un sistema que inicialmente no tiene glucosa y que esta en contacto con un lumen con 5.5 mmol/l y con un nervio con 0 mmol/l se tienen los datos
que en los primeros 600 s muestran que las concentraciones en los cuatro puntos $c_{11}$, $c_{12}$, $c_{21}$ y $c_{22}$ se disparan:
con flujos entre ellos:
y flujos hacia y desde:
Conclusión:
Con los parámetros seteados para la glucosa pasa
- inicialmente la membrana es muy lenta pero su superficie mucho mayor que el hatch existiendo flujos similares (62.8% membrana y 37.2% hatch)
- en forma asintomática fluye la mayor parte hacia el hatch pasando por este siendo el flujo 99.0% por el hatch y 1.0% por la membrana.
Esto significaría que para procesos rápidos la difusión perimetral no juega un papel primordial y la difusión es tanto por la membrana como el hatch. En situaciones lentas sin embargo el hatch juega un papel importante.
ID:(8879, 0)