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Particulas en la Celda
Ecuación 
En este caso se modela una sección de alto $\Delta z$ y ancho $d$ de una sustancia que difunde con una constante de difusión $D$. Si el perimetro es dividido en celdas de largo $\Delta s$ se pueden introducir concentracioens $c_k$ en la celda $k$. Dicha celta tendrá un número de particulas $N_k$ igual a
| $N_k=c_k\Delta z \Delta s\,d$ |
ID:(8469, 0)
Difusión entre Celdas (perimetral)
Ecuación
El flujo $J$ en el caso continuo se calcula del gradiente de la concentración $c$ a lo largo del perímetro $s$ y sección $S$ ortogonal al flujo
$J=-DS\left(\displaystyle\frac{\partial c}{\partial s}\right)$
donde $D$ es la constante de difusión. Como en este caso se esta considerando un canal de ancho $d$ y se calcula por unidad de largo $\Delta z$ se tiene que la sección es
$S=\Delta z,d$
Si el perímetro es discretizado en largos $\Delta s$ se tiene que el flujo entre dos puntos en dicha distancia es
$J=-D\Delta z,d\left(\displaystyle\frac{\Delta c}{\Delta s}\right)$
donde $\Delta c$ es la diferencia de concentración en el largo $\Delta s$.
Si las celdas se enumeran mediante un indice $k$ y se consideran las celdas en $k$ e $k+1$ se tendrá que el flujo entre ambas celdas será
| $J_{k+1,k}=-D\Delta z\,d\displaystyle\frac{(c_{k+1}-c_k)}{\Delta s}$ |
ID:(8468, 0)
Ecuación de Difusión discretizada (perimetral)
Ecuación
El número de partículas en la celda $k$ va a reducir en un tiempo $\Delta t$ en función de las partículas que salga hacia el volumen $k+1$
$J_{k+1,k}\Delta t$
y aumentar en función de las que entren desde el volumen en $k-1$
$J_{k,k-1}\Delta t$
Por ello el número de partículas en la celda $k$ en un tiempo $t+\Delta t$ es igual a las partículas $N_k(t)$ que existían en el tiempo $t$ mas las que entran y menos las que salen:
| $N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+(J_{k,k-1}-J_{k+1,k})\Delta t$ |
ID:(8470, 0)
Ecuación de Difusión sin GluT (perimetral)
Ecuación
Si se reemplaza en la ecuación de difusión
| $N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+(J_{k,k-1}-J_{k+1,k})\Delta t$ |
el flujo
| $J_{k+1,k}=-D\Delta z\,d\displaystyle\frac{(c_{k+1}-c_k)}{\Delta s}$ |
y luego la concentración
| $N_k=c_k\Delta z \Delta s\,d$ |
se obtiene la ecuación sin flujo de GluT por las paredes de la cavidad
| $N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+D\displaystyle\frac{(N_{k+1}+N_{k-1}-2N_k)}{\Delta s^2}\Delta t$ |
ID:(8471, 0)
Flujo por el Endotelio (radial)
Ecuación
En el caso del endotelio, el GluT es del tipo 1 por lo que los parámetros de saturación son $j_{1i}$, $j_{1o}$, $c_{1i}$ y $c_{1o}$.
La concentración en el interior es la del lumen $c_l$ es igual al número de moléculas de glucosa $N_l$ en un cilindro de radio $R_l$ y altura $\Delta z$
$c_l=\displaystyle\frac{N_l}{\Delta z\pi R_l^2}$
mientras que en la membrana basal en la celda $k$ es
$c_{ek}=\displaystyle\frac{N_{e,k}}{\Delta z\Delta s d_e}$
donde $N_{e,k}$ es el número de partículas en la membrana basal que tiene un ancho $d_e$, un segmento $\Delta s$ y alto $\Delta z$.
Como el flujo es
| $J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$ |
se tiene que en este caso el flujo por largo $\Delta z$ es
| $J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$ |
ID:(8473, 0)
Flujo por el Astrocito (radial)
Ecuación
En el caso del astrocito, el GluT es del tipo 1 por lo que los parámetros de saturación son $j_{1i}$, $j_{1o}$, $c_{1i}$ y $c_{1o}$.
La concentración en el interior es la de la membrana basal $c_e$ es igual al número de moléculas de glucosa $N_{e,k}$ en una celda $k$ de ancho $d_e$, largo $\Delta s$ y alto $\Delta z$
$c_{ek}=\displaystyle\frac{N_{e,k}}{\Delta z\Delta s d_e}$
mientras que en la cavidad entre el astrocito y neurona en la celda $k$ es
$c_{ak}=\displaystyle\frac{N_{a,k}}{\Delta z\Delta s d_a}$
donde $N_{a,k}$ es el número de partículas en dicha cavidad.
Como el flujo es
| $J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$ |
se tiene que en este caso el flujo por largo $\Delta z$ es
| $J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$ |
ID:(8474, 0)
Flujo hacia la Neurona (radial)
Ecuación
En el caso de la neurona, el GluT es del tipo 3 por lo que los parámetros de saturación son $j_{3i}$, $j_{3o}$, $c_{3i}$ y $c_{3o}$.
La concentración en el interior es la de la cavidad entre astrocito y neurona $c_a$ es igual al número de moléculas de glucosa $N_{a,k}$ en una celda $k$ de ancho $d_a$, largo $\Delta s$ y alto $\Delta z$
$c_{ak}=\displaystyle\frac{N_{a,k}}{\Delta z\Delta s d_a}$
mientras que en la neurona es
$c_n=\displaystyle\frac{N_n}{\Delta z\Delta s d_n}$
donde $N_n$ es el número de partículas en la neurona.
Como el flujo es
| $J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$ |
se tiene que en este caso el flujo por largo $\Delta z$ es
| $J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$ |
ID:(8475, 0)
Flujo por el Hatch (radial)
Ecuación
En el caso del hatch se tiene un flujo tipo difusión
| $J_{k+1,k}=-D\Delta z\,d\displaystyle\frac{(c_{k+1}-c_k)}{\Delta s}$ |
en que $\Delta z$ es la altura, $d$ corresponde al ancho $s_h$ del hatch y $\Delta s$ al largo $d_s$ de este. Si las concentraciones en la membrana basal en la celda $0$ es
$\displaystyle\frac{N_{e,0}}{\Delta s\Delta z d_e}$
y la de la cavidad entre astrocity y neurona
$\displaystyle\frac{N_{a,0}}{\Delta s\Delta z d_a}$
resulta un flujo por el hatch de
| $J_h=D\displaystyle\frac{s_h}{d_h\Delta s}\left(\displaystyle\frac{N_{e,0}}{d_e}-\displaystyle\frac{N_{a,0}}{d_a}\right)$ |
ID:(8478, 0)
Ecuación de Difusión en la Membrana Basal
Ecuación
Si se reemplaza en la ecuación de difusión
| $N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+D\displaystyle\frac{(N_{k+1}+N_{k-1}-2N_k)}{\Delta s^2}\Delta t$ |
y los flujos hacia la membrana
| $J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$ |
y saliendo de esta
| $J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$ |
se obtiene la ecuación con flujo de GluT por la membrana basal
| $N_{e,k}(t+\Delta t) = N_{e,k}(t)+(D\displaystyle\frac{(N_{e,k+1}+N_{e,k-1}-2N_{e,k})}{\Delta s^2} + J_{ek} - J_{ak})\Delta t$ |
donde $J_{a,k}$ se reemplaza por el flujo por el hatch
| $J_h=D\displaystyle\frac{s_h}{d_h\Delta s}\left(\displaystyle\frac{N_{e,0}}{d_e}-\displaystyle\frac{N_{a,0}}{d_a}\right)$ |
para el caso en que $k=0$.
ID:(8476, 0)
Ecuación de Difusión en la Cavidad entre Astrocito y Neurona
Ecuación
Si se reemplaza en la ecuación de difusión
| $N_k(t+\Delta t) = N_k(t)+D\displaystyle\frac{(N_{k+1}+N_{k-1}-2N_k)}{\Delta s^2}\Delta t$ |
y los flujos hacia la membrana
| $J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$ |
y saliendo de esta
| $J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$ |
se obtiene la ecuación con flujo de GluT por la membrana basal
| $N_{a,k}(t+\Delta t) = N_{a,k}(t)+(D\displaystyle\frac{(N_{a,k+1}+N_{a,k-1}-2N_{a,k})}{\Delta s^2} + J_{ak} - J_{nk})\Delta t$ |
donde $J_{a,k}$ se reemplaza por el flujo por el hatch
| $J_h=D\displaystyle\frac{s_h}{d_h\Delta s}\left(\displaystyle\frac{N_{e,0}}{d_e}-\displaystyle\frac{N_{a,0}}{d_a}\right)$ |
para el caso en que $k=0$.
ID:(8477, 0)
Limite estacionario Membrana Basal sin Hatch
Descripción
En el caso estacionario sin hatch no existe difusión perimetral y los flujos radiales totales tanto en la membrana basal como en la intermedia deben ser cero. Por ello se tiene que
$J_{e,k}-J_{e,k}=0$
y
$J_{a,k}-J_{n,k}=0$
Como
| $J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$ |
| $J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$ |
y
| $J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$ |
se tiene que el número de moleculas de glucosa en un largo $\Delta z$ es
| $N_{e,k}=\displaystyle\frac{N_nR_l^2c_{1i}c_{1o}c_{3o}d_ej_{1i}j_{3i}\pi+\Delta sN_lc_{1i}^2c_{3i}d_ed_nj_{1o}j_{3o}+\Delta sN_lc_{1i}c_{3i}c_{3o}d_ed_nj_{1i}j_{1o}}{j_{3o}(R_l^2c_{1i}^2c_{3i}d_nj_{1o}\pi+R_l^2c_{1i}c_{1o}c_{3i}d_nj_{1i}\pi)+R_l^2c_{1o}c_{3i}c_{3o}d_nj_{1i}^2\pi)}$ |
ID:(8548, 0)
Modelo GluT (radial)
Ecuación
El flujo por un transportador desde el lado interior al exterior sobre un largo $\Delta z$ es
$j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}\Delta z$
donde $j_{si}$ es el flujo saturado por un transportador desde el interior, $c_{si}$ la concentración de saturación desde el interior y $c_i$ la concentración del interior.
El flujo por un transportador desde el lado exterior al interior sobre un largo $\Delta z$ es
$j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\Delta z$
donde $j_{so}$ es el flujo saturado por un transportador desde el exterior, $c_{so}$ la concentración de saturación desde el exterior y $c_o$ la concentración del exterior.
Por ello el flujo total por largo $\Delta z$
| $J=\left(j_{si}\displaystyle\frac{c_i}{c_{si}}-j_{so}\displaystyle\frac{c_o}{c_{so}}\right)\Delta z$ |
ID:(8472, 0)
Limite estacionario Membrana Intermedia sin Hatch
Descripción
En el caso estacionario sin hatch no existe difusión perimetral y los flujos radiales totales tanto en la membrana basal como en la intermedia deben ser cero. Por ello se tiene que
$J_{e,k}-J_{e,k}=0$
y
$J_{a,k}-J_{n,k}=0$
Como
| $J_{e,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_l\Delta s}{\pi R_l^2}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}\right)$ |
| $J_{a,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{1o}}{c_{1o}}\displaystyle\frac{N_{e,k}}{d_e}-\displaystyle\frac{j_{1i}}{c_{1i}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}\right)$ |
y
| $J_{n,k}=\displaystyle\frac{1}{\Delta s}\left(\displaystyle\frac{j_{3o}}{c_{3o}}\displaystyle\frac{N_{a,k}}{d_a}-\displaystyle\frac{j_{3i}}{c_{3i}}\displaystyle\frac{N_n}{d_n}\right)$ |
se tiene que el número de moleculas de glucosa en un largo $\Delta z$ en la membrana intermedia es
| $N_{e,k}=\displaystyle\frac{(j_{3i}(N_nR_l^2c_{1i}^2c_{1o}c_{3o}d_aj_{1o}\pi+N_nR_l^2c_{1i}c_{1o}^2c_{3o}d_aj_{1i}\pi)+\Delta sN_lc_{1i}^2c_{3i}c_{3o}d_ad_nj_{1o}^2}{j_{3o}(R_l^2c_{1i}^2c_{1o}c_{3i}d_nj_{1o}\pi+R_l^2c_{1i}c_{1o}^2c_{3i}d_nj_{1i}\pi)+R_l^2c_{1o}^2c_{3i}c_{3o}d_nj_{1i}^2\pi)}$ |
ID:(8549, 0)