Hasta aqu hab amos supuesto que la probabilidad de interacci n era independiente de la posici n. Sin embargo, por lo general los sistemas no son homog neos y por ello es necesario considerar que las probabilidades dependen de la posici n.

Esto significa que en la probabilidad de colisionar el factor lambda \lambda es una funci n de la posici n y la integraci n de

no se puede realizar en forma explicita. En este caso la probabilidad de impactar debe ser calculada en forma explicita y como los factores \lambda dependen de la posici n la integraci n debe considerar la posici n inicial x_0 desde donde comienza a propagar:

donde P_0 es una constante de normalizaci n. Para realizar el calculo de la integral se requiere de conocer el camino libre \lambda(x) a lo largo del camino que recorre la part cula. La informaci n por lo general se obtiene como una grilla en tres dimensiones en que el valor se especifica en cada nodo. Cada nodo de esta se denomina un voxel en analog a a un pixel en una imagen bidimensional.

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Para poder calcular la funci n probabilidad se debe discretizar el espacio definiendo una grilla con nodos o voxel que pueden estar a distancia fija o variar en funci n del material y/o geometr a. En el caso de que la grilla es regular se tiene que las posiciones de los nodos son

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Si las posiciones se discretizan la integral de la probabilidad

se requieren los valores de \lambda para cada voxel los que se pueden denotar con el indice del voxel como \lambda_n. Con ello la probabilidad de que la part cula viaje desde una posici n i a una posici n j ser :

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Para simplificar el calculo se puede definir el factor

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Con la probabilidad

la ecuaci n

se deja escribir como

en donde se agrego el valor absoluto para el caso de que la propagaci n es de un valor i mayor a un valor j menor.

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A diferencia del caso homog neo la posici n inicial de la part cula solo puede asumir un nodo especifico. Para un nodo inicial y direcci n de propagaci n definida se puede generar un numero al azar entre 0 y 1 y comenzar a generar n meros de la serie

hasta sobrepasar el numero al azar. Al ocurrir esto se habr llegado al nodo en que ocurrir la colisi n. Por ello el c digo debe tener un loop de la forma

```

var rand = Math.random(); // random number

var p = 0; // start sum

var k = i; // start position

var dir = 1; // direction

while(p < rand){

p = p + mu[k]*Math.exp(-Math.abs(k-i)*mu[k]);

k = k + dir;

}

// k is the result node

```

Para que este c digo pueda funcionar adecuadamente debe:

- definirse un rango en que mu tiene valores

- debe incluirse una protecci n por si la part cula abandona el rango en que se defini el arreglo mu.

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Sobre la base de un sistema que se extiende desde un borde izquierdo x_1<0 y uno al lado derecho x_2>0 en que en el lado izquierdo se tiene un valor \mu_A y a la derecha \mu_B con una frontera en borde que debe encontrarse dentro del rango del modelo:

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