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Aplicación al calculo de Dosis

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Como la ecuación de Boltzmann incluye las colisiones entre partículas, es posible estimar la energía entregada al tejido y con ello la dosis en radioterapia. La mayor eficiencia se logra al trabajar con distribuciones de partículas (fotones, electrones y positrones) en vez de las partículas individuales como en el caso de Monte Carlo. La introducción de celdas mediante el método de celdas de Boltzmann debiese ademas permitir la posibilidad de elegir la precisión en función de los recursos computacionales que se ponen a disposición. Esto significa que el algoritmo debiese poder pasar en forma continua desde un sistema equivalente a Pencil Beam, Convolución hasta Monte Carlo.

>Modelo

ID:(1164, 0)

Scattering

Definición

Los scattering que contribuyen (in) o describen el abandono de partículas (out) se pueden graficar de la siguiente forma:

Gráfica Scattering entre dos partículas

Hay que notar que el termino colisión:

- integra sobre todas las velocidades externas a las del volumen

- incluye la probabilidad de que existan ambas velocidades que llevan al scattering simultaneamente

- la velocidad relativa multiplicado por la sección eficaz total representa el flujo de partículas hacia el target

Esto ultimo se puede mostrar en forma simple mediante

\Delta v\sigma\sim\displaystyle\frac{dX}{dt}S\sim \displaystyle\frac{dV}{dt}\sim J

ID:(9177, 0)

Aplicación al calculo de Dosis

Storyboard

Variables

Símbolo

Texto

Variable

Valor

Unidades

Calcule

Valor MKS

Unidades MKS

$f_{in}$

f_in

Contribución a la función distribución que ingresan (gana)

$f_{out}$

f_out

Contribución a la función distribución que salen (pierde)

$f$

Función distribución de la teoría de transporte

$\sigma$

sigma

Sección eficaz de la colisión $(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}'_1,\vec{v}'_2)$

m^2

$t$

Tiempo

$\tau$

tau

Tiempo de relajamiento

$v$

Velocidad de la partícula que afecta la distribución

m/s

$v_1$

v_1

Velocidad partícula 1 que colisiona

m/s

$v_21$

v_21

Velocidad partícula 1 que resulta de la colisión

m/s

$v_2$

v_2

Velocidad partícula 2 que colisiona

m/s

$v_22$

v_22

Velocidad partícula 2 que resulta de la colisión

m/s

Cálculos

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación:

, luego, seleccione la variable:

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable

Dado

Calcule

Objetivo :

Ecuación

A utilizar

Ecuaciones

$f_i^{eq}=\displaystyle\frac{1}{e^{\hbar\omega/kT}-1}$

f_i^{eq}=\displaystyle\frac{1}{e^{\hbar\omega/kT}-1}

$\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})$

\displaystyle\frac{df}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau}(f_{in}-f_{out})

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})$

\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{in}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_2d\vec{v}_12f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v}_2,t)|\vec{v}_2-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v}_1,\vec{v}_2\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})

$\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v}_22)$

\displaystyle\frac{1}{\tau}f_{out}(\vec{v})=\displaystyle\int d\vec{v}_1d\vec{v}_12d\vec{v}_22f(\vec{x},\vec{v}_1,t)f(\vec{x},\vec{v},t)|\vec{v}-\vec{v}_1|\sigma(\vec{v},\vec{v}_1\rightarrow\vec{v}_12,\vec{v})

$f^{eq}_i=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta (m_ev_i^2/2-\mu)}+1}$

f^{eq}_i=\displaystyle\frac{1}{e^{\beta (m_ev_i^2/2-\mu)}+1}

Ejemplos

Caso Photones

Para el caso en que se consideran fotones t rmicos uniformemente distribuidos su n mero por celda ser seg n la distribuci n de Bose-Einstein

equation

donde \hbar es la constante de Planck dividida por 2\pi, \omega es la velocidad angular, k la constante de Boltzmann y T la temperatura.

Caso Electrones

En el caso de los electrones se tiene que la distribuci n en equilibrio es la de Fermi-Direca por lo que en la situaci n de equilibrio la distribuci n tendr a ser de la forma

equation

Fuera de ello los posibles scatterings corresponden a

- Absorci n

- Choques el sticos

- Colisi n electr n-electr n

- Excitaci n y deexitaci n

Scattering

Los scattering que contribuyen (in) o describen el abandono de part culas (out) se pueden graficar de la siguiente forma:

image

Hay que notar que el termino colisi n:

- integra sobre todas las velocidades externas a las del volumen

- incluye la probabilidad de que existan ambas velocidades que llevan al scattering simultaneamente

- la velocidad relativa multiplicado por la secci n eficaz total representa el flujo de part culas hacia el target

Esto ultimo se puede mostrar en forma simple mediante

\Delta v\sigma\sim\displaystyle\frac{dX}{dt}S\sim \displaystyle\frac{dV}{dt}\sim J

Colisiones

En caso de que las part culas colisionan la funci n distribuci n f(\vec{x},\vec{v},t) variara y\\n\\n

$\displaystyle\frac{df}{dt}\neq 0$

Las colisiones lleva a que part culas de celdas vecinas sufran un colisi n que las lleva a la celda en consideraci n y part culas dentro de la celda ser expulsadas. Lo primero lleva a un incremento de part culas f_{in} y el segundo a una perdida f_{out} por tiempo \tau. Por ello la ecuaci n de transporte de Boltzmann con colisiones puede escribirse como

equation

Colisiones que abandonan la celda

En el caso que abandonan la celda se considera

equation=9078

integrando sobre una de las velocidades que inician la colisi n y ambas resultantes ya que la otra es la contribuci n a la funci n distribuci n local

equation

Colisiones que contribuyen

En el caso de contribuciones a la celda se considerar

equation=9078

integrando sobre las velocidades que inician la colisi n y una de las resultantes ya que la otra es la contribuci n a la funci n distribuci n local

equation

>Modelo

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