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Como la ecuación de Boltzmann incluye las colisiones entre partículas, es posible estimar la energía entregada al tejido y con ello la dosis en radioterapia. La mayor eficiencia se logra al trabajar con distribuciones de partículas (fotones, electrones y positrones) en vez de las partículas individuales como en el caso de Monte Carlo. La introducción de celdas mediante el método de celdas de Boltzmann debiese ademas permitir la posibilidad de elegir la precisión en función de los recursos computacionales que se ponen a disposición. Esto significa que el algoritmo debiese poder pasar en forma continua desde un sistema equivalente a Pencil Beam, Convolución hasta Monte Carlo.

>Modelo

ID:(1164, 0)

Ecuación

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Para el caso en que se consideran fotones térmicos uniformemente distribuidos su número por celda será según la distribución de Bose-Einstein

donde \hbar es la constante de Planck dividida por 2\pi, \omega es la velocidad angular, k la constante de Boltzmann y T la temperatura.

ID:(8561, 0)

Ecuación

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En el caso de los electrones se tiene que la distribución en equilibrio es la de Fermi-Direca por lo que en la situación de equilibrio la distribución tendrá a ser de la forma

Fuera de ello los posibles scatterings corresponden a

- Absorción

- Choques elásticos

- Colisión electrón-electrón

- Excitación y deexitación

ID:(9165, 0)

Imagen

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Los scattering que contribuyen (in) o describen el abandono de partículas (out) se pueden graficar de la siguiente forma:

Gráfica Scattering entre dos partículas

Hay que notar que el termino colisión:

- integra sobre todas las velocidades externas a las del volumen

- incluye la probabilidad de que existan ambas velocidades que llevan al scattering simultaneamente

- la velocidad relativa multiplicado por la sección eficaz total representa el flujo de partículas hacia el target

Esto ultimo se puede mostrar en forma simple mediante

\Delta v\sigma\sim\displaystyle\frac{dX}{dt}S\sim \displaystyle\frac{dV}{dt}\sim J

ID:(9177, 0)

Ecuación

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En caso de que las partículas colisionan la función distribución f(\vec{x},\vec{v},t) variara y\\n\\n

$\displaystyle\frac{df}{dt}\neq 0$

Las colisiones lleva a que partículas de celdas vecinas sufran un colisión que las lleva a la celda en consideración y partículas dentro de la celda ser expulsadas. Lo primero lleva a un incremento de partículas f_{in} y el segundo a una perdida f_{out} por tiempo \tau. Por ello la ecuación de transporte de Boltzmann con colisiones puede escribirse como

ID:(9077, 0)

Ecuación

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En el caso que abandonan la celda se considera

integrando sobre una de las velocidades que inician la colisión y ambas resultantes ya que la otra es la contribución a la función distribución local

ID:(9080, 0)

Ecuación

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En el caso de contribuciones a la celda se considerar

integrando sobre las velocidades que inician la colisión y una de las resultantes ya que la otra es la contribución a la función distribución local

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