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Modelo de Ising
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El modelo de Ising crea un algoritmo iterativo para resolver el problema de la magnetización permanente. En el presente capitulo se muestra una versión simplificada. La verdadera, que fue la tesis de Ising, muestra que una cadena unidimensional no puede mantener un campo magnético no existiendo la magnetización permanente. Sin embargo resulte también el problema para un sistema bi-dimensional y muestra que en ese caso si existe una magnetización permanente.
ID:(540, 0)
Modelo de Ising
Descripción
El modelo de Ising crea un algoritmo iterativo para resolver el problema de la magnetización permanente. En el presente capitulo se muestra una versión simplificada. La verdadera, que fue la tesis de Ising, muestra que una cadena unidimensional no puede mantener un campo magnético no existiendo la magnetización permanente. Sin embargo resulte también el problema para un sistema bi-dimensional y muestra que en ese caso si existe una magnetización permanente.
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Ejemplos
Uno de los problemas de calcular la funci n partici n es el hecho que los spins est n en forma de vectores. Una simplificaci n, que se denomina el modelo de Ising, es reemplazar el producto punto por una simple multiplicaci n de las componentes
| $ E =- g\gamma H \displaystyle\sum_{ j = 1}^ N S_j -2 J \displaystyle\sum_{ j =1}^ N \displaystyle\sum_{ k = 1}^ n S_j S_k $ |
(ID 3915)
Para poder calcular la energ a se puede introducir el concepto de campo medio para el m-esimo spin. Para ello basta sumar solo en los
$E_j=-g\gamma H S_j-2J\displaystyle\sum_{k=1}^n S_jS_k$
\\n\\nen donde la energ a total es\\n\\n
$E=\displaystyle\sum_{j=1}^N E_j$
\\n\\nLa energ a del j-esimo spin se puede escribir en funci n de un campo efectivo\\n\\n
$E_j=-g\gamma H_{eff}S_j$
con el campo efectivo con
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k $ |
(ID 4836)
En el caso de equilibro t rmico los spines del ferro-magneto tendr n un spin promedio igual a\\n\\n
$\bar{S}=\displaystyle\frac{e^{\beta g\gamma \bar{H}}-e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}{e^{\beta g\gamma \bar{H}}+e^{-\beta g\gamma \bar{H}}}$
ya que pueden tener el spin ya sea en posici n up (+1) o down (-1). Escribiendo los exponenciales en funci n de la funci n hiperb lica se tiene que el spin medio es con
| $ \bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$ |
(ID 4837)
Si se aproxima el campo medio es con campo magnético efectivo $kg/C s$, campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$ es
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma }\sum_{ k =1}^ n S_k $ |
\\n\\npor el spin medio\\n\\n
$\displaystyle\sum_{k=1}^nS_k=\bar{S}$
se obtiene una estimaci n del campo medio con campo magnético efectivo $kg/C s$, campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$ de la forma
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S} $ |
(ID 4838)
Con el campo medio en funci n del spin medio con campo magnético efectivo $kg/C s$, campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$ es
| $ H_{eff} = H +\displaystyle\frac{ J }{2 g \gamma } \bar{S} $ |
y la ecuaci n para el spin medio con campo magnético medio $C/m s$, factor $\beta$ $C m^2/s$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh( \beta g \gamma \bar{H} )$ |
se obtiene una ecuaci n para el calculo del spin medio con campo magnético medio $C/m s$, factor $\beta$ $C m^2/s$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$ |
(ID 4839)
Para resolver la ecuaci n de spin medio se puede introducir una temperatura cr tica que con es
| $ T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$ |
(ID 4840)
Para resolver la ecuaci n de spin medio se puede introducir un campo magn tico cr tica que con es
| $ H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$ |
(ID 4841)
Con la temperatura cr tica con constante de acoplamiento $1/kg m^2$, constante de Boltzmann $J/K$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y temperatura de Ising $K$
| $ T_i =\displaystyle\frac{ n J }{2 k_B }$ |
y el campo cr tico con campo magnético de Ising $C/m s$, constante de Boltzmann $J/K$, radio giroscópico $C/kg$ y temperatura de Ising $K$
| $ H_i =\displaystyle\frac{ k_B T_i }{ g \gamma }$ |
la ecuaci n para el calculo del spin medio con campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor $\beta$ $C m^2/s$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh\left( \beta g \gamma H + \beta n \displaystyle\frac{ J }{2} \bar{S} \right)$ |
se puede escribir como con campo magnético externo $C/m s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, factor $\beta$ $C m^2/s$, números de vecinos con que existe interacción $-$, radio giroscópico $C/kg$ y spin medio $kg m^2/s$
| $ \bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$ |
(ID 4842)
La ecuaci n del modelo de Ising es con campo magnético de Ising $C/m s$, campo magnético externo $C/m s$, spin medio $kg m^2/s$, temperatura $K$ y temperatura de Ising $K$
| $ \bar{S} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_i }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_i }+ \bar{S} \right)\right)$ |
se puede resolver iterando la ecuaci n con campo magnético de Ising $C/m s$, campo magnético externo $C/m s$, spin medio $kg m^2/s$, temperatura $K$ y temperatura de Ising $K$
| $ \bar{S}_{k+1} =\tanh\left(\displaystyle\frac{ T_c }{ T }\left(\displaystyle\frac{ H }{ H_c }+ \bar{S}_k \right)\right)$ |
(ID 4843)
ID:(540, 0)