El hamiltoneando se puede escribir como la suma de hamiltoneanos en torno de un tomo j es con como

con lo que la parte de interacci n queda como una correcci n que se comporta como una campo magn tico generado por los vecinos.

Por ello se puede definir un campo medio con

El factor 1/2 corrige el hecho que cada dupla se cuenta dos veces.

(ID 3917)

Con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$ la aproximaci n

\\n\\nel hamiltoneano \\n\\n

${\cal H}_j=-\left(g\gamma H_0+2J\displaystyle\sum_{k=1}^nS_{kz}\right)S_{jz}$

se puede estimar con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$ como

(ID 3918)

En el caso de un hamiltoenano con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $j$ $kg m^2/s$, hamiltoneano de la partícula $j$ $J$ y radio giroscópico $C/kg$ del tipo

Como el spin es con

\\n\\nse tiene que con el magneton de Bohr\\n\\n

$\mu_B=\gamma\hbar$

y con que la energ a es

(ID 3919)

Con los niveles de energ a con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, energía del estado $m$ de una partícula en el campo externo y medio $J$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico $-$ iguales a

\\n\\ny S_{zj} tomando valores en el rango [-s,s] se tiene que la funci n partici n para el campo magn tico total\\n\\n

$H=H_0+\bar{H}$

\\n\\nes\\n\\n

$Z_W=\displaystyle\sum_{m=-s}^{s}e^{-\eta m}$

\\n\\ncon\\n\\n

$\eta = \beta g \mu_BH$

que se puede sumar y arroja con campo magnético externo $C/m s$, campo magnético medio $C/m s$, energía del estado $m$ de una partícula en el campo externo y medio $J$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico $-$

(ID 3920)

Las ecuaciones dependen del factor\\n\\n

$\eta = \beta g\mu_BH$

\\n\\nque con la definici n de \beta\\n\\n

$\beta=\displaystyle\frac{1}{k_BT}$

se obtiene con

(ID 3921)

El momento magn tico medio corresponde a la fuerza generalizada asociada a la variable campo magn tico. Por ello\\n\\n

$\bar{S}_{jz}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln Z_W}{\partial H}$

\\n\\nlo que en este caso da\\n\\n

$\bar{S}_{jz}=g\mu_B[(S+\frac{1}{2})\coth(S+\frac{1}{2})\eta-\frac{1}{2}\coth\frac{1}{2}\eta]$

El factor de las funciones del cotangente hiperb lico se puede escribir como la funci n de Brillouin B_S(\eta) quedando el momento magn tico medio con como

(ID 3922)

La definici n de la funci n de Brillouin se escribe con y es:

(ID 3923)

El problema del calculo del momento magn tico con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$

es que \eta depende del campo \bar{H} que desconocemos. Sin embargo esta misma ecuaci n se puede emplear para calcular \bar{H} ya que en la misma definici n de \bar{H} se estableci que con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$

\\n\\nSi esta expresi n se reescribe con la definici n de \eta\\n\\n

$\eta =\displaystyle\frac{\mu_BB}{k_BT} =\displaystyle\frac{\mu_B}{k_BT}(H_0+\bar{H})$

se tiene finalmente una ecuaci n para calcular \eta en forma auto consistente y de la cual se puede calcular el \bar{H} con campo magnético medio $C/m s$, componente $z$ del spin de la partícula $k$ $kg m^2/s$, constante de acoplamiento $1/kg m^2$, números de vecinos con que existe interacción $-$ y radio giroscópico $C/kg$:

(ID 3924)

La ecuaci n de Weiss

puede ser resuelta igualando la funci n de Brillouin del lado izquierdo con la recta del lado derecho. Esto es gr ficamente

Hay que hacer notar que si la temperatura es demasiado alta existe una soluci n para el caso en que no hay campo magn tico (des-magnetizaci n).

(ID 13510)

Para que exista una soluci n de magnetizaci n espontanea la pendiente de la funci n de Brillouin en el origen debe ser mayor que la de la recta o sea\\n\\n

$\displaystyle\frac{dB_s}{d\eta}>\displaystyle\frac{k_BT}{2nJs}$

\\n\\nComo la para valores peque os de \eta (\eta\ll 1) la funci n de Brillouin es\\n\\n

$B_s(\eta)\sim \displaystyle\frac{1}{3}(s+1)\eta$

se tiene que existe magnetizaci n espontanea siempre que la temperatura sea inferior a la llamada temperatura de Curie que con es

(ID 3925)

Para el caso \eta\ll 1 la funci n de Brillouin se puede escribir como\\n\\n

$B_S(\eta)=\displaystyle\frac{k_BT}{2JnS}\left(\eta-\displaystyle\frac{g\mu_BH_0}{k_BT}\right)$

\\n\\npor lo que la ecuaci n para el calculo del $\eta$ queda como\\n\\n

$2nJ\displaystyle\frac{1}{3}(S+1)S\eta=k_BT\left(\eta-\displaystyle\frac{g\mu_BH_0}{k_BT}\right)$

\\n\\nque con la expresi n para la temperatura de Curie\\n\\n

$T_c=\displaystyle\frac{2nJS(S+1)}{3k_B}$

queda con como

(ID 3926)

La magnetizaci n de calcula de la suma de los spines individuales multiplicados por la permeabilidad magn tica.

Con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$ el spin de una part cula es

\\n\\npor lo que se obtiene que con la permeabilidad magnetica \mu es\\n\\n

$\bar{M} = \mu\displaystyle\sum_{j=1}^N \bar{S}_{jz}=\mu N g\mu_B s B_s(\eta)$

o sea con componente $z$ del spin medio de la partícula $j$ $kg m^2/s$, función de Brillouin de $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y numero cuántico máximo $-$ se tiene que

(ID 12108)

La susceptibilidad magn tica se calcula dividiendo la magnetizaci n media que es con función de Brillouin de $\eta$ $-$, magnetización $C/m s$, magneton de Bohr $C m^2/s$, numero cuántico máximo $-$, números de partículas $-$ y permeabilidad magnética $kg m/C^2$

y la relaci n para el \eta que con campo magnético $C/m s$, constante de Boltzmann $J/K$, factor $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y temperatura $K$

\\n\\npor lo que si aplicamos la regla de la cadena en la derivada\\n\\n

$\chi=\displaystyle\frac{\partial \bar{M}}{\partial H}=\displaystyle\frac{\partial \bar{M}}{\partial \eta}\displaystyle\frac{\partial \eta}{\partial H}=g\mu\mu_B s N\displaystyle\frac{\partial B_s(\eta)}{\partial \eta}\displaystyle\frac{\partial \eta}{\partial H}$

resulta con campo magnético $C/m s$, constante de Boltzmann $J/K$, factor $\eta$ $-$, magneton de Bohr $C m^2/s$ y temperatura $K$ que la susceptibilidad es

(ID 3927)