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Drehmoment
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Wenn der Drehzustand des Körpers geändert werden soll, muss der Drehimpuls geändert werden.
Die Geschwindigkeit, mit der dies auftritt, wird als Drehmoment bezeichnet, das als Änderung des Drehimpulses in der Zeit definiert ist, und ist vektoriell, da die Änderung des Drehimpulses ist. Dies wurde von Newton in seinem zweiten Prinzip im Falle der Rotation definiert.
ID:(599, 0)
Drehmoment mit konstantem Trägheitsmoment
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Wenn der Drehzustand des Körpers geändert werden soll, muss der Drehimpuls geändert werden. Die Geschwindigkeit, mit der dies auftritt, wird als Drehmoment bezeichnet, das als Änderung des Drehimpulses in der Zeit definiert ist, und ist vektoriell, da die Änderung des Drehimpulses ist. Dies wurde von Newton in seinem zweiten Prinzip im Falle der Rotation definiert.
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Gleichungen
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie f r momentane Werte angewendet werden, was zu
f hrt.
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie f r momentane Werte angewendet werden, was zu
f hrt.
Da die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$) mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gleich ist, was ist
und mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) als Bogen eines Kreises und der Radius ($r$) und die Winkelvariation ($\Delta\theta$) ist
und die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) ist
dann ist
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Da die Beziehung allgemein ist, kann sie f r momentane Werte angewendet werden, was zu
f hrt.
Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zur ckgelegten Winkel
und der verstrichenen Zeit
Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert
innerhalb dieses Zeitintervalls.
Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gem
und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut
ist, folgt daraus, dass
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist
und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist
ergibt sich folgende Gleichung:
Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:
Daher, unter Ber cksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):
kann die Gleichung f r die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
wie folgt ausgedr ckt werden:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Durch Aufl sen erhalten wir:
Da das Moment gleich ist
folgt daraus, dass im Fall, dass sich das Tr gheitsmoment nicht mit der Zeit ndert,
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}(I\omega) = I\displaystyle\frac{d\omega}{dt} = I\alpha$
was bedeutet, dass
Die Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) wird wie folgt ausgedrückt:
Unter Verwendung von der Radius ($r$) lässt sich dieser Ausdruck mit der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wie folgt gleichsetzen:
Durch anschließendes Ersetzen mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$):
und
ergibt sich schließlich, dass das Trägheitsmoment einer Teilchenmasse, die sich auf einer Umlaufbahn dreht, gleich ist:
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:
Da der zur ckgelegte Winkel gleich der Fl che unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:
$\omega_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
hinzugef gt werden.
Dies f hrt uns zu dem Ausdruck f r der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):
Wenn wir die Zeit in der Gleichung von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) aufl sen, die die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) umfasst:
erhalten wir den folgenden Ausdruck f r die Zeit:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Diese L sung kann in die Gleichung eingesetzt werden, um der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt zu berechnen:
was in der folgenden Gleichung resultiert:
Si se deriva en el tiempo la relaci n para el momento angular
para el caso de que el radio sea constante
$T=\displaystyle\frac{dL}{dt}=r\displaystyle\frac{dp}{dt}=rF$
por lo que
Da der Moment ($p$) mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert ist,
Wenn die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist, k nnen wir den Impuls nach der Zeit ableiten und die Kraft mit konstanter Masse ($F$) erhalten:
$F=\displaystyle\frac{d}{dt}p=m_i\displaystyle\frac{d}{dt}v=m_ia$
Daher kommen wir zu dem Schluss, dass
Beispiele
Um die Bewegung eines Objekts zu beschreiben, m ssen wir der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) berechnen. Diese Gr e wird durch Messung von der Startzeit ($t_0$) und der der Zeit ($t$) dieser Bewegung erhalten. Die Dauer wird bestimmt, indem die Anfangszeit von der Endzeit subtrahiert wird:
hnlich wie das Verh ltnis zwischen linearer Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit, dargestellt durch die Gleichung:
k nnen wir eine Beziehung zwischen dem Drehimpuls und dem translatorischen Impuls herstellen. Allerdings ist in diesem Fall der multiplizierende Faktor nicht der Radius, sondern vielmehr der Moment. Die Beziehung wird ausgedr ckt als:
hnlich wie das Verh ltnis zwischen linearer Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit, dargestellt durch die Gleichung:
k nnen wir eine Beziehung zwischen dem Drehimpuls und dem translatorischen Impuls herstellen. Allerdings ist in diesem Fall der multiplizierende Faktor nicht der Radius, sondern vielmehr der Moment. Die Beziehung wird ausgedr ckt als:
Um die Rotation eines Objekts zu beschreiben, m ssen wir die Winkelvariation ($\Delta\theta$) bestimmen. Dies geschieht, indem wir der Anfangswinkel ($\theta_0$) von der Winkel ($\theta$) subtrahieren, den Wert, den das Objekt w hrend seiner Rotation erreicht:
Die Beschleunigung wird als nderung der Winkelgeschwindigkeit pro Zeiteinheit definiert.
Daher kann die Winkelbeschleunigung die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) in Bezug auf die Winkelgeschwindigkeit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Zeit die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) wie folgt ausgedr ckt werden:
Wir k nnen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) aus die Ausgangsstellung ($s_0$) und die Position ($s$) berechnen mit der folgenden Gleichung:
Beschleunigung entspricht der nderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit.
Deshalb ist es notwendig, die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) in Abh ngigkeit von die Geschwindigkeit ($v$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) wie folgt zu definieren:
hnlich wie im Fall der Translation, wo das dritte Prinzip besagt, dass jede Aktion eine gleich gro e und entgegengesetzte Reaktion hat:
Das analoge Konzept in der Rotation ist
Mit die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) stellt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) eine lineare Beziehung mit der Zeit ($t$) her, die auch die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und der Startzeit ($t_0$) einbezieht, wie folgt:
Diese Gleichung repr sentiert eine Gerade im Raum der Winkelgeschwindigkeit gegen ber der Zeit.
Nach Galileo tendieren K rper dazu, ihren Bewegungszustand beizubehalten, das bedeutet, der Impuls
$\vec{p} = m\vec{v}$
sollte konstant bleiben. Wenn es eine Einwirkung auf das System gibt, die seine Bewegung beeinflusst, wird dies mit einer Ver nderung des Impulses verbunden sein. Die Differenz zwischen dem anf nglichen Impuls $\vec{p}_0$ und dem endg ltigen Impuls $\vec{p}$ kann wie folgt ausgedr ckt werden:
Da der Umfang eines Kreises $2\pi r$ betr gt, entspricht ERROR:6294 entlang des Kreises dem Bogen, der durch ERROR:5059 berspannt wird, daher:
Da der Umfang eines Kreises $2\pi r$ betr gt, entspricht ERROR:6294 entlang des Kreises dem Bogen, der durch ERROR:5059 berspannt wird, daher:
Da der Umfang eines Kreises $2\pi r$ betr gt, entspricht ERROR:6294 entlang des Kreises dem Bogen, der durch ERROR:5059 berspannt wird, daher:
Wenn wir das Verh ltnis zwischen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Radius ($r$) durch die Winkelvariation ($\Delta\theta$) teilen,
und das dann durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, erhalten wir die Beziehung, die es uns erm glicht, die Geschwindigkeit ($v$) entlang der Umlaufbahn zu berechnen, bekannt als die tangentielle Geschwindigkeit, die mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) verbunden ist:
Wenn wir das Verh ltnis zwischen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Radius ($r$) durch die Winkelvariation ($\Delta\theta$) teilen,
und das dann durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, erhalten wir die Beziehung, die es uns erm glicht, die Geschwindigkeit ($v$) entlang der Umlaufbahn zu berechnen, bekannt als die tangentielle Geschwindigkeit, die mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) verbunden ist:
Wenn wir das Verh ltnis zwischen die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Radius ($r$) durch die Winkelvariation ($\Delta\theta$) teilen,
und das dann durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, erhalten wir die Beziehung, die es uns erm glicht, die Geschwindigkeit ($v$) entlang der Umlaufbahn zu berechnen, bekannt als die tangentielle Geschwindigkeit, die mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) verbunden ist:
Wenn wir das Verh ltnis zwischen die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$), der Radio ($r$) und die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$), das in der folgenden Gleichung dargestellt ist:
durch den Wert von der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) teilen, k nnen wir den Faktor ermitteln, der es uns erm glicht, die Winkelbeschleunigung entlang der Umlaufbahn zu berechnen:
Der Moment ($p$) wurde als das Produkt von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert, was gleich ist zu:
Das Analogon zu die Geschwindigkeit ($v$) im Fall der Rotation ist die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$), daher sollte das quivalent zu der Moment ($p$) ein der Angular Momentum ($L$) in der Form sein:
die Träge Masse ($m_i$) ist mit der Tr gheit bei der Translation eines K rpers verbunden, daher entspricht der Massenträgheitsmoment ($I$) der Tr gheit bei der Rotation eines K rpers.
Der Moment ($p$) wurde als das Produkt von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert, was gleich ist zu:
Das Analogon zu die Geschwindigkeit ($v$) im Fall der Rotation ist die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$), daher sollte das quivalent zu der Moment ($p$) ein der Angular Momentum ($L$) in der Form sein:
die Träge Masse ($m_i$) ist mit der Tr gheit bei der Translation eines K rpers verbunden, daher entspricht der Massenträgheitsmoment ($I$) der Tr gheit bei der Rotation eines K rpers.
Der Moment ($p$) wurde als das Produkt von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) definiert, was gleich ist zu:
Das Analogon zu die Geschwindigkeit ($v$) im Fall der Rotation ist die Augenblickliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega$), daher sollte das quivalent zu der Moment ($p$) ein der Angular Momentum ($L$) in der Form sein:
die Träge Masse ($m_i$) ist mit der Tr gheit bei der Translation eines K rpers verbunden, daher entspricht der Massenträgheitsmoment ($I$) der Tr gheit bei der Rotation eines K rpers.
hnlich wie das Verh ltnis zwischen linearer Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit, dargestellt durch die Gleichung:
k nnen wir eine Beziehung zwischen dem Drehimpuls und dem translatorischen Impuls herstellen. Allerdings ist in diesem Fall der multiplizierende Faktor nicht der Radius, sondern vielmehr der Moment. Die Beziehung wird ausgedr ckt als:
Da der gesamte Weg der Fl che unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit gegen ber der Zeit entspricht, ergibt sich im Fall von eine Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$), dass der Weg der Winkel ($\theta$) mit den Variablen der Anfangswinkel ($\theta_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) wie folgt ist:
Diese Ausdruck entspricht der allgemeinen Form einer Parabel.
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) wird die Funktion von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) bez glich der Zeit ($t$), zusammen mit den zus tzlichen Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und der Startzeit ($t_0$), durch die Gleichung ausgedr ckt:
Aus dieser Gleichung l sst sich die Beziehung zwischen der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$) sowie die Ver nderung der Winkelgeschwindigkeit berechnen:
Im Fall, dass das Tr gheitsmoment konstant ist, ist die Ableitung des Drehimpulses gleich
was bedeutet, dass das Drehmoment gleich ist
Diese Beziehung entspricht dem quivalent des zweiten Newtonschen Gesetzes f r Rotation anstelle von Translation.
Im Fall der Translation definiert das zweite Prinzip, wie die translatorische Bewegung mit der Definition der Kraft erzeugt wird
Im Fall der Rotation ndert sich innerhalb eines Zeitintervalls $\Delta t$ der Drehimpuls $\Delta L$ wie folgt:
Die Rate, mit der sich die Winkelgeschwindigkeit im Laufe der Zeit ndert, wird als die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) definiert. Um dies zu messen, m ssen wir die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) beobachten.
Die Gleichung, die die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) beschreibt, lautet wie folgt:
Die Kraft ($F$) wird als die Impulsvariation ($\Delta p$) durch der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) definiert, das durch die Beziehung definiert ist:
Da das Verh ltnis zwischen dem Drehimpuls und dem Moment wie folgt ist:
f hrt uns die zeitliche Ableitung zu der Beziehung des Drehmoments
Die Drehung des K rpers erfolgt um eine Achse in Richtung des Drehmoments, das durch den Schwerpunkt verl uft.
Im Fall, dass die Träge Masse ($m_i$) gleich die Anfangsmasse ($m_0$) ist,
wird die Ableitung des Impulses gleich der Masse mal der Ableitung von die Geschwindigkeit ($v$) sein. Da die Ableitung der Geschwindigkeit die Augenblickliche Beschleunigung ($a$) ist, ergibt sich, dass die Kraft mit konstanter Masse ($F$) ist
Für eine Partikel mit der Masse die Punkt Messe ($m$), die sich in einem Abstand von der Radius ($r$) um eine Achse bewegt, kann die Beziehung durch den Vergleich von der Angular Momentum ($L$) hergestellt werden, wobei der Angular Momentum ($L$) in Abhängigkeit von der Massenträgheitsmoment ($I$) und der Moment ($p$) ausgedrückt wird. Das ergibt:
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