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Vitesse instantanée
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Si la vitesse varie dans le temps, le rapport entre la distance parcourue et le temps écoulé devient la vitesse moyenne.
Pour déterminer la vitesse à un moment précis, il faut l'estimer sur un intervalle de temps si court qu'elle reste pratiquement constante. Cela s'appelle la vitesse instantanée et correspond à la dérivée de la position par rapport au temps.
ID:(1432, 0)
Mécanismes
Iframe
D'une part, il est important de différencier entre le cas le plus simple, unidimensionnel, et celui plus complexe impliquant plus d'une dimension. Dans les deux cas, la dérivée de a position ($s$) par rapport à Le temps ($t$), qui correspond à la pente de la courbe de a position ($s$), est égale à A vitesse ($v$). De même, la dérivée de a position (vector) ($\vec{s}$) par rapport à Le temps ($t$) correspond à A vitesse (vector) ($\vec{v}$).
D'autre part, la zone sous la courbe de a vitesse ($v$) à Le temps ($t$), correspondant à l'intégration, nous permet de calculer a position ($s$).
Mécanismes
ID:(15393, 0)
Vitesse instantanée
Concept
A vitesse ($v$) est défini comme le déplacement par unité de temps. Cependant, ce concept se réduit à Une vitesse moyenne ($\bar{v}$) qui existe pendant l'intervalle de temps considéré.
La limitation de la vitesse moyenne est reflétée dans le fait qu'on suppose qu'un objet passe instantanément du repos à une certaine vitesse. C\'est comme si un bus venait à peine de quitter sa station et se mettait directement en vitesse de croisière, ce qui est totalement absurde. La vitesse évolue, augmente, diminue (feu rouge, montée de passagers) et augmente lentement jusqu\'à atteindre une valeur plus ou moins constante lorsqu\'il voyage sur la route. Ainsi, un bus qui voyage normalement sur une route à environ 100 km/h mettra plus de 8 heures pour parcourir 800 km car il faut tenir compte des fluctuations de vitesse. À la fin, il aura mis 10 heures pour parcourir 800 km à une vitesse moyenne de 80 km/h.
Si l\'on veut connaître la vitesse à chaque instant, il faut prendre un temps si petit que pendant celui-ci, la vitesse peut être considérée comme approximativement constante. Ainsi, la vitesse moyenne estimée de cette manière est équivalente à la vitesse existante à l\'instant considéré.
C\'est pourquoi nous parlons de la vitesse instantanée.
ID:(16, 0)
Vitesse comme dérivée
Concept
Si nous prenons un temps ($t$) avec une position ($s$) ($s(t)$) et observons un point à un moment futur $t+\Delta t$ avec une position $s(t+\Delta t)$, nous pouvons estimer la vitesse comme la distance parcourue dans le temps $\Delta t$:
$s(t+\Delta t)-s(t)$
a vitesse ($v$) peut être calculé en divisant la distance parcourue par le temps écoulé:
$v\sim\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$
À mesure que la valeur de $\Delta t$ devient plus petite, la vitesse calculée se rapproche de la tangente à la courbe de position au moment:
Cela généralise ce qui avait déjà été observé pour le cas d'une vitesse constante.
ID:(1638, 0)
Chemin comme intégrale de vitesse
Concept
L'intégrale de a vitesse ($v$) correspond à l'aire sous la courbe qui définit cette fonction. Par conséquent, l'intégrale de la vitesse entre le temps initial ($t_0$) et le temps ($t$) correspond à la distance parcourue entre a vitesse ($s_0$) et a position ($s$).
Nous avons donc :
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
Ce qui est représenté dans le graphique suivant :
ID:(2242, 0)
Concept plus de dimensions
Top
Pour les mouvements se produisant dans plus d'une dimension, la description du mouvement dans une seule dimension doit être généralisée. Cela se fait en travaillant avec une version à plusieurs dimensions de la position. Dans le cas de trois dimensions, cela se présente comme suit :
$s \rightarrow \vec{s} = (x, y, z)$
De manière analogue, la dérivée du vecteur par rapport au temps peut être définie, donnant ainsi naissance au vecteur vitesse :
$v=\displaystyle\frac{ds}{dt} \rightarrow \displaystyle\frac{d\vec{s}}{dt} = \left(\displaystyle\frac{dx}{dt}, \displaystyle\frac{dy}{dt}, \displaystyle\frac{dz}{dt}\right) = (v_x, v_y, v_z) = \vec{v}$
Ceci peut être résumé dans la représentation graphique suivante :
ID:(15506, 0)
Modèle
Top
Dans le cas d'une dimension, a vitesse ($v$) est liée à A position ($s$) par sa dérivée en le temps ($t$), tandis que l'intégrale de a vitesse ($v$) sur l'intervalle de le temps ($t$) à Le temps initial ($t_0$) fournit a position ($s$) à partir de a vitesse ($s_0$). Dans un contexte plus général, en plus d'une dimension, la fonction a position (vector) ($\vec{s}$) peut être dérivée en le temps ($t$), ce qui donne a vitesse (vector) ($\vec{v}$).
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$
&v = @DIFF( &s , t , 1)
$ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$
s = s_0 + @INT( v, tau, t_0, t)
$ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$
v = ds / dt
ID:(15391, 0)
Vitesse instantanée dans une dimension
Équation
A vitesse ($v$) instantanée, déterminée par la relation entre a distance infinitésimale parcourue ($ds$) et a variation infinitésimale du temps ($dt$), fournit une estimation plus précise de la véritable vitesse à tout moment de le temps ($t$), par rapport à A vitesse moyenne ($\bar{v}$), qui est calculée à partir de a distance parcourue en un temps ($\Delta s$) et le temps écoulé ($\Delta t$) selon l'équation :
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Cela est obtenu par la dérivée de la position par rapport au temps, c'est-à-dire :
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Si nous considérons le chemin parcouru comme la différence de position entre le temps $t+\Delta t$ et le temps $t$ :
$\Delta s = s(t+\Delta t)-s(t)$
et prenons $\Delta t$ comme le temps écoulé, alors dans la limite des temps infinitésimalement courts, la vitesse moyenne peut être exprimée comme :
$v_m=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{ds}{dt}$
Cette dernière expression correspond à la dérivée de la fonction de position $s(t)$ :
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
qui, à son tour, est la pente de la représentation graphique de cette fonction en fonction du temps.
Ainsi, la vitesse instantanée a vitesse ($v$) de a position ($s$) est connue à tout moment de le temps ($t$) avec une précision accrue.
ID:(3153, 0)
Vitesse d'intégration
Équation
Si la vitesse correspond à la dérivée temporelle (par rapport au temps) de la position
l'intégration de la vitesse correspondra au chemin parcouru. Cela peut être exprimé mathématiquement comme suit:
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
Dans la définition de la vitesse, l'intégration dans le temps donne
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
ce qui signifie que sur un intervalle de temps
$ds = v dt$
Si nous considérons
$s - s_0 = \displaystyle\sum_i v_i dt_i$
Dans la courbe de vitesse-temps, les éléments
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
ID:(10308, 0)
Vitesse instantanée dans de plus grandes dimensions
Équation
En général, la vitesse doit être comprise comme une entité tridimensionnelle, c'est-à-dire un vecteur. Sa position est décrite par un vecteur position
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Cela permet de généraliser la vitesse:
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
Étant donné qu'elle est un vecteur, la vitesse peut être exprimée comme un tableau de ses différentes composantes :
$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}$
et sa dérivée peut être exprimée comme la dérivée de chacune de ses composantes :
$\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{d v_x}{dt}\displaystyle\frac{d v_y}{dt}\displaystyle\frac{d v_z}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\a_y\a_z\end{pmatrix}=\vec{a}$
Ainsi, en général, la vitesse instantanée dans plus d'une dimension est un vecteur avec des composantes dans chacune des directions:
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
ID:(4354, 0)