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Velocidade instantânea
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Se a velocidade varia ao longo do tempo, a proporção entre a distância percorrida e o tempo decorrido torna-se a velocidade média.
Para determinar a velocidade em um momento específico, ela deve ser estimada em um intervalo de tempo tão curto que permaneça praticamente constante. Isso é conhecido como velocidade instantânea e corresponde à derivada da posição em relação ao tempo.
ID:(1432, 0)
Mecanismos
Iframe
Por um lado, é importante diferenciar entre o caso mais simples, unidimensional, e aquele mais complexo envolvendo mais de uma dimensão. Em ambos os casos, a derivada de la posição ($s$) em relação a o tempo ($t$), que corresponde à inclinação da curva de la posição ($s$), é igual a la velocidade ($v$). Da mesma forma, a derivada de la posição (vector) ($\vec{s}$) em relação a o tempo ($t$), corresponde a la velocidade (vector) ($\vec{v}$).
Por outro lado, a área sob a curva de la velocidade ($v$) em o tempo ($t$), que corresponde à integração, nos permite calcular la posição ($s$).
Mecanismos
ID:(15393, 0)
Velocidade instantânea
Conceito
La velocidade ($v$) é definido como o deslocamento por unidade de tempo. No entanto, esse conceito se reduz a uma velocidade média ($\bar{v}$) que existe durante o intervalo de tempo considerado.
A limitação da velocidade média é refletida no fato de que se assume que um objeto passa instantaneamente do repouso para ter uma velocidade dada. É como se um ônibus, assim que sai do terminal, passasse a ter uma velocidade constante, o que é totalmente absurdo. A velocidade evolui, aumenta, diminui (semáforo, passageiros subindo) e lentamente aumenta até atingir um valor mais ou menos constante quando viaja em uma estrada. Assim, um ônibus que normalmente viaja a 100 km/h na estrada levará mais de 8 horas para percorrer 800 km, pois as flutuações de velocidade devem ser consideradas. No final, terá levado 10 horas para percorrer 800 km, viajando a uma velocidade média de 80 km/h.
Se deseja conhecer a velocidade em cada instante, deve-se considerar um intervalo de tempo tão pequeno que, durante este intervalo, a velocidade pode ser considerada aproximadamente constante. Com isso, a velocidade média estimada desta forma equivale à velocidade existente no instante considerado.
Por isso, falamos de velocidade instantânea.
ID:(16, 0)
Velocidade como derivada
Conceito
Se tomarmos um tempo ($t$) com uma posição ($s$) ($s(t)$) e observarmos um ponto em um tempo futuro $t+\Delta t$ com uma posição $s(t+\Delta t)$, podemos estimar a velocidade como a distância percorrida no tempo $\Delta t$:
$s(t+\Delta t)-s(t)$
la velocidade ($v$) pode ser calculado dividindo a distância percorrida pelo tempo decorrido:
$v\sim\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$
À medida que o valor de $\Delta t$ diminui, a velocidade calculada se aproxima da tangente à curva de posição no tempo:
Isso generaliza o que já foi visto para o caso de velocidade constante.
ID:(1638, 0)
Caminho como integral de velocidade
Conceito
A integral de la velocidade ($v$) corresponde à área sob a curva que define essa função. Portanto, a integral da velocidade entre o tempo inicial ($t_0$) e o tempo ($t$) corresponde à distância percorrida entre la velocidade ($s_0$) e la posição ($s$).
Portanto, temos:
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
O que é representado no seguinte gráfico:
ID:(2242, 0)
Conceito mais dimensões
Top
Para movimentos que ocorrem em mais de uma dimensão, a descrição do movimento em uma dimensão deve ser generalizada. Isso é alcançado trabalhando com uma versão de múltiplas dimensões para a posição. No caso de três dimensões, isso é representado por:
$s \rightarrow \vec{s} = (x, y, z)$
De forma análoga, a derivada do vetor no tempo pode ser definida, o que resulta no vetor velocidade:
$v=\displaystyle\frac{ds}{dt} \rightarrow \displaystyle\frac{d\vec{s}}{dt} = \left(\displaystyle\frac{dx}{dt}, \displaystyle\frac{dy}{dt}, \displaystyle\frac{dz}{dt}\right) = (v_x, v_y, v_z) = \vec{v}$
Isso pode ser resumido na seguinte representação gráfica:
ID:(15506, 0)
Modelo
Top
No caso de uma dimensão, la velocidade ($v$) está relacionada com la posição ($s$) através de sua derivada em o tempo ($t$), enquanto a integral de la velocidade ($v$) no intervalo de o tempo ($t$) a o tempo inicial ($t_0$) fornece la posição ($s$) a partir de la velocidade ($s_0$). Em um contexto mais geral, em mais de uma dimensão, a função la posição (vector) ($\vec{s}$) pode ser derivada em o tempo ($t$), resultando em la velocidade (vector) ($\vec{v}$).
Parâmetros
Variáveis
Cálculos
para 
, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$
&v = @DIFF( &s , t , 1)
$ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$
s = s_0 + @INT( v, tau, t_0, t)
$ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$
v = ds / dt
ID:(15391, 0)
Velocidade instantânea em uma dimensão
Equação
La velocidade ($v$) instantânea, determinada pela relação entre la distância infinitesimal percorrida ($ds$) e la variação infinitesimal do tempo ($dt$), fornece uma estimativa mais precisa da velocidade real em qualquer momento de o tempo ($t$), em comparação com la velocidade média ($\bar{v}$), que é calculada a partir de la distância percorrida em um tempo ($\Delta s$) e o tempo decorrido ($\Delta t$) através da equação:
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Isso é alcançado através da derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Se considerarmos o caminho percorrido como a diferença de posição entre o tempo $t+\Delta t$ e o tempo $t$:
$\Delta s = s(t+\Delta t)-s(t)$
e tomarmos $\Delta t$ como o tempo decorrido, então no limite de tempos infinitesimalmente curtos, a velocidade média pode ser expressa como:
$v_m=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{ds}{dt}$
Esta última expressão corresponde à derivada da função de posição $s(t)$:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
que, por sua vez, é a inclinação da representação gráfica dessa função ao longo do tempo.
Dessa forma, a velocidade instantânea la velocidade ($v$) de la posição ($s$) é conhecida a qualquer momento de o tempo ($t$) com maior precisão.
ID:(3153, 0)
Integração de velocidade
Equação
Se a velocidade corresponde à derivada temporal (= no tempo) da posição
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
a integração da velocidade corresponderá ao caminho percorrido. Isso pode ser expresso matematicamente como:
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
Na definição da velocidade, integrar ao longo do tempo produz
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
o que significa que durante um intervalo de tempo
$ds = v dt$
Se considerarmos
$s - s_0 = \displaystyle\sum_i v_i dt_i$
Na curva velocidade-tempo, os elementos
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
ID:(10308, 0)
Velocidade instantânea em mais dimensões
Equação
Em geral, a velocidade deve ser entendida como uma entidade tridimensional, ou seja, um vetor. Sua posição é descrita por um vetor posição
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Isso permite a generalização da velocidade:
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
Sendo um vetor, a velocidade pode ser expressa como uma matriz de suas diferentes componentes:
$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}$
e sua derivada pode ser expressa como a derivada de cada uma de suas componentes:
$\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{d v_x}{dt}\displaystyle\frac{d v_y}{dt}\displaystyle\frac{d v_z}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\a_y\a_z\end{pmatrix}=\vec{a}$
Assim, em geral, a velocidade instantânea em mais de uma dimensão é um vetor com componentes em cada uma das direções:
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
ID:(4354, 0)