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Velocidad instantanea
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Si la velocidad varía con el tiempo, la proporción entre el camino recorrido y el tiempo transcurrido se convierte en la velocidad media.
Para conocer la velocidad en un momento específico, se debe estimar en un intervalo de tiempo tan corto que prácticamente no varíe. Esto se denomina velocidad instantánea y corresponde a la derivada de la posición respecto al tiempo.
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Mecanismos
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Por un lado, es importante diferenciar entre el caso más simple, unidimensional, y aquel de más de una dimensión. Para ambos casos, la derivada de la posición ($s$) en el tiempo ($t$), que corresponde a la pendiente de la curva de la posición ($s$), es igual a la velocidad ($v$). De manera similar, la derivada de la posición (vector) ($\vec{s}$) en el tiempo ($t$), que corresponde a la velocidad (vector) ($\vec{v}$).
Por otro lado, el área debajo de la curva de la velocidad ($v$) en el tiempo ($t$), que corresponde a la integración, nos permite calcular la posición ($s$).
Mecanismos
ID:(15393, 0)
Velocidad instantánea
Concepto
La velocidad ($v$) se define como el desplazamiento por unidad de tiempo. Sin embargo, este concepto se reduce a una velocidad media ($\bar{v}$) que existe durante el intervalo de tiempo considerado.
La limitación de la velocidad media se refleja en el hecho de que se asume que un objeto pasa instantáneamente del reposo a una velocidad determinada. Por ejemplo, un autobús que acaba de salir de la terminal no alcanza inmediatamente su velocidad de crucero, lo que es completamente absurdo. La velocidad evoluciona, aumenta, disminuye (semáforos, subida de pasajeros) y aumenta gradualmente hasta alcanzar un valor más o menos constante cuando viaja por carretera. Por lo tanto, un autobús que normalmente viaja a unos 100 km/h en carretera tardará más de 8 horas en recorrer 800 km, ya que se deben considerar las fluctuaciones de velocidad. Al final, habrá tardado 10 horas en recorrer 800 km a una velocidad media de 80 km/h.
Si se desea conocer la velocidad en cada instante, se debe tomar un intervalo de tiempo lo suficientemente pequeño para que durante ese tiempo la velocidad se pueda considerar aproximadamente constante. De esta manera, la velocidad media estimada de esta forma equivale a la velocidad existente en el instante considerado.
Por lo tanto, hablamos de la velocidad instantánea para referirnos a la velocidad en un momento determinado.
ID:(16, 0)
Velocidad como derivada
Concepto
Si consideramos un tiempo ($t$) con una posición ($s$) ($s(t)$) y observamos un punto en un tiempo futuro $t+\Delta t$ con una posición $s(t+\Delta t)$, podemos estimar la velocidad como el desplazamiento en el tiempo $\Delta t$:
$s(t+\Delta t)-s(t)$
la velocidad ($v$) se puede calcular dividiendo la distancia recorrida por el tiempo transcurrido:
$v\sim\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$
A medida que el valor de $\Delta t$ se hace más pequeño, la velocidad calculada se aproxima a la tangente a la curva de posición en el tiempo:
Autopista con salida
Esto generaliza lo que ya se había visto para el caso de velocidad constante.
ID:(1638, 0)
Camino como integral de la velocidad
Concepto
La integral de la velocidad ($v$) corresponde al área bajo la curva que define dicha función. Por lo tanto, la integral de la velocidad entre el tiempo inicial ($t_0$) y el tiempo ($t$) corresponde al camino recorrido entre la posición inicial ($s_0$) y la posición ($s$).
Por lo tanto, se tiene:
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
Lo cual se representa en la siguiente gráfica:
Camino como área debajo de la curva velocidad y tiempo.
ID:(2242, 0)
Concepto más dimensiones
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Para movimientos que ocurren en más de una dimensión, la descripción del movimiento en una dimensión debe ser generalizada. Esto se logra trabajando con una versión de más dimensiones para la posición. En el caso de tres dimensiones, esto es:
$s \rightarrow \vec{s} = (x, y, z)$
De manera análoga, se puede definir la derivada del vector respecto al tiempo, lo que da origen al vector de velocidad:
$v=\displaystyle\frac{ds}{dt} \rightarrow \displaystyle\frac{d\vec{s}}{dt} = \left(\displaystyle\frac{dx}{dt}, \displaystyle\frac{dy}{dt}, \displaystyle\frac{dz}{dt}\right) = (v_x, v_y, v_z) = \vec{v}$
Esto se resume en la siguiente representación gráfica:
ID:(15506, 0)
Modelo
Top
En el caso de una dimensión, la velocidad ($v$) está relacionada con la posición ($s$) a través de su derivada en el tiempo ($t$), mientras que la integral de la velocidad ($v$) en el intervalo el tiempo ($t$) a partir de el tiempo inicial ($t_0$) proporciona la posición ($s$) desde la posición inicial ($s_0$). En un contexto más general, en más de una dimensión, la función de la posición (vector) ($\vec{s}$) puede ser derivada en el tiempo ($t$), lo que resulta en la velocidad (vector) ($\vec{v}$).
Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$
&v = @DIFF( &s , t , 1)
$ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$
s = s_0 + @INT( v, tau, t_0, t)
$ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$
v = ds / dt
ID:(15391, 0)
Velocidad instantánea en una dimensión
Ecuación
La velocidad ($v$) instantánea, determinada por la relación entre la distancia infinitesimal recorrida ($ds$) y la variación infinitesimal del tiempo ($dt$), proporciona una estimación más precisa de la velocidad real en cualquier momento de el tiempo ($t$), en comparación con la velocidad media ($\bar{v}$), que se calcula a partir de la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante la ecuación:
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Esto se logra mediante la derivada de la posición con respecto al tiempo, es decir:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Si consideramos el camino recorrido como la diferencia de posición entre el tiempo $t+\Delta t$ y el tiempo $t$:
$\Delta s = s(t+\Delta t)-s(t)$
y tomamos $\Delta t$ como el tiempo transcurrido, entonces en el límite de tiempos infinitesimalmente cortos, la velocidad media puede expresarse como:
$v_m=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{ds}{dt}$
Esta última expresión corresponde a la derivada de la función de posición $s(t)$:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
que, a su vez, es la pendiente de la representación gráfica de dicha función en función del tiempo.
De esta manera, la velocidad instantánea la velocidad ($v$) de la posición ($s$) se conoce en cualquier instante de el tiempo ($t$) con mayor precisión.
ID:(3153, 0)
Integración de la velocidad
Ecuación
Si la velocidad ($v$) corresponde a la derivada en el tiempo ($t$) de la posición ($s$)
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
la integración de la velocidad ($v$) corresponderá al la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) desde la posición inicial ($s_0$):
| $ \Delta s \equiv s - s_0 $ |
con lo que la posición ($s$) es:
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
En la definición de la velocidad, al integrar en el tiempo, obtenemos
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
lo que implica que para un intervalo de tiempo
$ds = v dt$
Si consideramos
$s - s_0 = \displaystyle\sum_i v_i dt_i$
En la curva velocidad-tiempo, los elementos
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
ID:(10308, 0)
Velocidad instantánea en más dimensiones
Ecuación
En general, la velocidad ($v$) debe entenderse como una entidad tridimensional, es decir, un vector la velocidad (vector) ($\vec{v}$). Cada componente se puede definir como la derivada de la posición ($s$) en el tiempo ($t$):
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Por de puede con la derivada en el tiempo ($t$) de la posición (vector) ($\vec{s}$) como la velocidad (vector) ($\vec{v}$):
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
Al ser un vector, la velocidad se puede expresar como una arreglo de sus diferentes componentes:
$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}$
y su derivada se puede expresar como la derivada de cada una de sus componentes:
$\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{d v_x}{dt}\displaystyle\frac{d v_y}{dt}\displaystyle\frac{d v_z}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\a_y\a_z\end{pmatrix}=\vec{a}$
Así, en general, la velocidad instantánea en más de una dimensión es un vector con componentes en cada una de las direcciones:
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
ID:(4354, 0)