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Mécanismes
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D'un côté, il est important de différencier entre le cas le plus simple, unidimensionnel, et celui de plusieurs dimensions. Pour les deux cas, la dérivée de a vitesse ($v$) par rapport à Le temps ($t$), qui correspond à la pente de la courbe de a vitesse ($v$), est égale à A accélération instantanée ($a$). De manière similaire, la dérivée de a vitesse (vector) ($\vec{v}$) par rapport à Le temps ($t$), qui correspond à A vitesse (vector) ($\vec{v}$).
Mécanismes
ID:(15398, 0)
Accélération instantanée
Concept
L'accélération est définie comme la variation de la vitesse par temps. Cependant, ce concept se réduit à une accélération moyenne qui existe pendant l'intervalle de temps considéré.
La limitation de l'accélération moyenne se reflète dans le fait qu\'un processus qui comprend un processus d\'accélération suivi d\'une décélération jusqu\'à l\'arrêt aura une accélération moyenne de zéro. Ainsi, en moyenne, il n\'y aurait pas d\'accélération et, s\'il est arrêté, il ne se déplacerait pas, alors qu\'en réalité il avance à la fois dans la phase d\'accélération et de décélération.
Si nous voulons connaître l\'accélération à chaque instant, nous devons prendre un intervalle de temps suffisamment petit pour que pendant ce temps, l\'accélération puisse être considérée comme approximativement constante. De cette manière, l\'accélération moyenne estimée de cette manière correspond à l\'accélération existante au moment considéré.
Par conséquent, nous parlons 'd'accélération instantanée' pour nous référer à l\'accélération à un moment donné.
ID:(11352, 0)
Accélération comme dérivée
Concept
Si nous prenons le temps écoulé ($\Delta t$) et observons un objet en mouvement avec la vitesse a vitesse ($v$), puis observons le même objet à un moment ultérieur $t+\Delta t$ avec la vitesse $v(t+\Delta t)$, nous pouvons estimer son accélération comme le changement de vitesse pendant le temps écoulé ($\Delta t$):
$a\sim\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}$
À mesure que la valeur de $\Delta t$ diminue, cette expression pour l'accélération se rapproche du taux de variation instantané de la vitesse au moment $t$, c\'est-à-dire la pente de la tangente à la courbe de vitesse à ce point :
Cela généralise le concept de a accélération instantanée ($a$) pour le cas de a accélération constante ($a_0$), comme vu précédemment, exprimé comme la dérivée de a vitesse ($v$) par rapport à Le temps ($t$) :
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
ID:(11353, 0)
Chemin parcouru comme surface sous la courbe de vitesse
Concept
Si l'on observe que a vitesse ($v$) est égal à A distance parcourue en un temps ($\Delta s$) pour le temps écoulé ($\Delta t$), cela indique que le chemin est donné par :
$\Delta s = v\Delta t$
Comme le produit $v\Delta t$ représente l'aire sous la courbe de vitesse par rapport au temps, qui est également égale au chemin parcouru :
Cette aire peut également être calculée avec l'intégrale de la fonction correspondante. Par conséquent, l'intégrale de l'accélération entre le temps initial ($t_0$) et le temps ($t$) correspond au changement de vitesse entre la vitesse initiale a vitesse initiale ($v_0$) et a vitesse ($v$) :
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
ID:(2252, 0)
Courbure de la courbe de position dans le temps
Concept
A accélération instantanée ($a$) est égal à la dérivée de a vitesse ($v$) par rapport à Le temps ($t$) :
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Et comme a vitesse ($v$) est la dérivée de a position ($s$) par rapport à Le temps ($t$) :
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Par conséquent, a accélération instantanée ($a$) est la deuxième dérivée de a position ($s$) par rapport à Le temps ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
ce qui correspond à la courbure de la courbe a position ($s$) en fonction de le temps ($t$) :
ID:(11354, 0)
Modèle
Top
Dans le cas d'une dimension, a accélération instantanée ($a$) est liée à A vitesse ($v$) par sa dérivée en le temps ($t$), tandis que l'intégrale de a accélération instantanée ($a$) sur l'intervalle de le temps ($t$) à Le temps initial ($t_0$) fournit a vitesse ($v$) à partir de a vitesse initiale ($v_0$). Dans un contexte plus général, en plus d'une dimension, la fonction a vitesse (vector) ($\vec{v}$) peut être dérivée en le temps ($t$), ce qui donne a vitesse (vector) ($\vec{v}$).
Paramètres
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Calculs
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, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$
&a = @DIF( &v , t , 1)
$ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$
a = @DIF( v , t , 1)
$ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$
a = @DIFF( s , t , 2 )
$ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $
v = v_0 + @INT( a, tau, t_0, t )
ID:(15401, 0)
Accélération instantanée dans une dimension
Équation
La variable a accélération moyenne ($\bar{a}$), calculée comme le changement de a différence de vitesse ($\Delta v$) divisé par l'intervalle de le temps écoulé ($\Delta t$) à travers
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
est une approximation de l'accélération réelle, qui a tendance à se distordre lorsque l'accélération fluctue pendant l'intervalle de temps. Par conséquent, le concept de a accélération instantanée ($a$) déterminé sur un très petit intervalle de temps est introduit. Dans ce cas, nous parlons d'un intervalle de temps infinitésimalement petit, et la variation de la vitesse au fil du temps se réduit à la dérivée de a vitesse ($v$) par rapport à Le temps ($t$) :
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Si l'on considère la différence de a vitesse ($v$) aux temps $t+\Delta t$ et $t$ :
$\Delta v = v(t+\Delta t)-v(t)$
et que l'on prend $\Delta t$ comme le temps écoulé ($\Delta t$), alors dans la limite des temps infinitésimalement courts :
$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dv}{dt}$
Cette dernière expression correspond à la dérivée de la fonction a vitesse ($v$) :
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
qui, à son tour, est la pente de la représentation graphique de cette fonction à Le temps ($t$).
ce qui correspond à la dérivée de la vitesse.
ID:(4356, 0)
Intégration de l'accélération
Équation
Si a accélération instantanée ($a$) correspond à la dérivée de a vitesse ($v$) à Le temps ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
alors a vitesse ($v$) est égale à A vitesse initiale ($v_0$), et l'intégration de l'accélération de le temps initial ($t_0$) à Le temps ($t$) est:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
Si nous intégrons la définition de a accélération instantanée ($a$) à Le temps ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
cela signifie que, pour un intervalle de temps $dt$, la distance parcourue est
$dv = a dt$
Si nous considérons $N$ intervalles $dt_i$ avec des accélérations $a_i$, le changement total de vitesse sera
$v - v_0 = \displaystyle\sum_i a_i dt_i$
Si nous considérons la courbe de l'accélération en fonction du temps, les éléments $a_i dt_i$ correspondent à des rectangles avec une hauteur $a_i$ et une largeur $dt_i$. La somme correspond donc à l'aire sous la courbe de l'accélération en fonction du temps. Par conséquent, la somme peut être exprimée comme une intégrale :
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a d\tau $ |
ID:(10307, 0)
Accélération instantanée en fonction de la position
Équation
Étant donné que a accélération instantanée ($a$) représente la pente de a vitesse ($v$) par rapport à Le temps ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
et que a vitesse ($v$) est à son tour la pente de a position ($s$) par rapport à Le temps ($t$),
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
nous pouvons exprimer a accélération instantanée ($a$) comme la deuxième dérivée de a position ($s$) par rapport à Le temps ($t$).
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
Étant donné que a accélération instantanée ($a$) est la dérivée de a vitesse ($v$) par rapport à Le temps ($t$),
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
et que a vitesse ($v$) est la dérivée de a position ($s$) par rapport à Le temps ($t$),
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
nous avons donc
$a=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\displaystyle\frac{d}{dt}\displaystyle\frac{ds}{dt}=\displaystyle\frac{d^2s}{dt^2}$
ce qui implique
| $ a =\displaystyle\frac{ d^2 s }{ d t ^2 }$ |
ID:(12572, 0)
Accélération instantanée dans plus de dimensions
Équation
En général, la vitesse doit être comprise comme un vecteur tridimensionnel. Autrement dit, son a position ($s$) doit être décrit par un vecteur une position (vector) ($\vec{s}$), pour lequel chaque composante a vitesse ($v$) peut être définie comme indiqué dans l'équation suivante :
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Cela permet de généraliser a vitesse (vector) ($\vec{v}$) de la manière suivante :
| $ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$ |
Comme un vecteur peut être exprimé comme un tableau de ses différentes composantes
$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$
sa dérivée peut être exprimée comme la dérivée de chacune de ses composantes
$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{v}=\displaystyle\frac{d}{dt}(v_x,v_y,v_z)=\left(\displaystyle\frac{dv_x}{dt},\displaystyle\frac{dv_y}{dt},\displaystyle\frac{dv_z}{dt}\right)=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}$
en général, la vitesse instantanée en plus d'une dimension est donnée par
| $ \vec{a} = \displaystyle\frac{ d\vec{v} }{ dt }$ |
ID:(3155, 0)