Utilizador:
Oscilador forçado
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Um oscilador forçado pode ser um sistema em que uma massa ligada a uma mola está imersa em um líquido viscoso, e o ponto onde a mola está fixada oscila. Esse efeito pode ser alcançado ao fixar o ponto a um disco que gira:
ID:(14098, 0)
Força forçada
Equação
Uma forma simples de modelar a força externa é assumir que ela possui uma magnitude de $F_0$ e uma oscilação com uma frequência angular $\omega$ qualquer.
 $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14099, 0)
Equação do oscilador forçado
Equação
No caso de um oscilador amortecido sem forçamento externo, a equação de movimento é
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$ |
No caso de forçamento externo, a força que definimos como
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
age adicionalmente no sistema, levando a uma equação de movimento modificada
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14100, 0)
Estrutura da solução do oscilador forçado
Equação
No caso de um oscilador amortecido sem forçamento, a equação de movimento é:
| $ z = x_0 e^{i \omega t }$ |
É importante observar que a frequência angular é aquela do próprio sistema. No nosso caso, a frequência angular será a do sistema que está forçando a oscilação. Além disso, pode ser que a oscilação ocorra com um desfasamento em relação à força oscilante. Por isso, uma solução pode ser proposta na forma de
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
ID:(14101, 0)
Equação do oscilador forçado em espaço complexo
Equação
Se utilizarmos a equação da oscilação
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
e a inserirmos em
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
obtemos a equação para o oscilador forçado no espaço complexo
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
Para simplificar a solução da equação diferencial
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
utilizamos a solução
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
e procedemos a derivá-la em relação ao tempo para obter a velocidade
$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$
e, portanto, a segunda derivada que é igual à primeira derivada da velocidade
$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$
que, juntamente com
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
nos leva à equação
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
ID:(14103, 0)
Mudança de fase
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A defasagem é um deslocamento temporal de uma oscilação, ou seja, ela começa antes ou depois do tempo regular, mantendo a mesma forma:
ID:(14102, 0)
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Video
Vídeo: Osciladores Forçados e sua Equação