Utilisateur:
Pendule mathématique
Description 
Dans le cas dun pendule avec une masse ponctuelle, lénergie potentielle est générée en élevant la masse contre le champ gravitationnel à mesure que le pendule se dévie dun angle donné.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
(ID 3687)
L' nergie potentielle gravitationnelle d'un pendule avec une masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
o
Pour de petits angles, la fonction cosinus peut tre approxim e par le d veloppement en s rie de Taylor jusqu' l'ordre deux
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Cette approximation conduit une simplification de l' nergie potentielle en
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
(ID 4514)
A énergie cinétique de la masse ponctuelle ($K$), en relation avec a masse d'inertie ($m_i$), a longueur du pendule ($L$) et a vitesse angulaire ($\omega$), sexprime par :
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
De la même manière, a énergie potentielle du pendule ($V$), en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$) et a masse gravitationnelle ($m_g$), est donnée par :
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
En considérant a angle d'oscillation ($\theta$), léquation de lénergie totale sécrit :
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}m g r \theta^2$
Étant donné que a période ($T$) est égal à :
$T = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{m r^2}{m g r}} = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{r}{g}}$
On peut alors établir la relation pour a fréquence angulaire du pendule mathématique ($\omega_0$) sous la forme :
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
(ID 12338)
(ID 12552)
En utilisant le nombre complexe
introduit dans
nous obtenons
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
ainsi, la vitesse est obtenue comme la partie r elle
(ID 14076)
Exemples
Une mani re efficace d' tudier loscillation dun pendule math matique consiste repr senter son mouvement dans lespace des phases, qui d crit le syst me en fonction du moment et de la position. Dans ce cas, le moment correspond au moment angulaire, tandis que la position est exprim e par langle de d viation :
(ID 15849)
Un pendule est décrit comme une a masse gravitationnelle ($m_g$) suspendue à une corde fixée à laxe de rotation, à une distance a longueur du pendule ($L$). On lappelle pendule mathématique car il représente une idéalisation du pendule physique, dans laquelle la masse est considérée comme ponctuelle, cest-à-dire concentrée en un seul point.
(ID 7098)
Un pendule est constitué de a masse gravitationnelle ($m_g$), suspendu à une corde fixée à laxe de rotation de a longueur du pendule ($L$). Ce modèle est connu sous le nom de pendule mathématique, car il représente une idéalisation du pendule physique dans laquelle toute la masse est concentrée en un seul point.
(ID 1180)
(ID 15852)
A énergie totale ($E$) correspond à la somme de a énergie cinétique totale ($K$) et a énergie potentielle ($V$) :
| $ E = K + V $ |
(ID 3687)
L' nergie cin tique d'un corps en rotation est donn e par
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
o $I$ est le moment d'inertie et $\omega$ est la vitesse angulaire. Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle $m$ qui tourne une distance $L$ d'un axe est
| $ I = m L ^2$ |
donc nous avons
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
(ID 4515)
L' nergie potentielle gravitationnelle d'un pendule est
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
qui peut tre approxim e pour de petits angles comme :
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Il est important de noter que l'angle doit tre en radians.
(ID 4514)
Les masses que Newton a utilis es dans ses principes sont li es l'inertie des corps, ce qui conduit au concept de a masse d'inertie ($m_i$).
La loi de Newton, qui est li e la force entre les corps en raison de leurs masses, est associ e la gravit et est donc connue sous le nom de a masse gravitationnelle ($m_g$).
Empiriquement, on a conclu que les deux masses sont quivalentes, et donc nous d finissons
| $ m_g = m_i $ |
Einstein a t celui qui a remis en question cette galit et, partir de ce doute, a compris pourquoi les deux 'apparaissent' gales dans sa th orie de la gravit . Dans son argument, Einstein a expliqu que les masses d forment l'espace, et cette d formation de l'espace provoque un changement dans le comportement des corps. Ainsi, les masses s'av rent tre quivalentes. Le concept r volutionnaire de la courbure de l'espace implique m me que la lumi re, qui n'a pas de masse, est affect e par les corps c lestes, ce qui contredit la th orie de la gravitation de Newton. Cela a t d montr exp rimentalement en tudiant le comportement de la lumi re lors d'une clipse solaire. Dans cette situation, les faisceaux lumineux sont d vi s en raison de la pr sence du soleil, permettant l'observation des toiles qui se trouvent derri re lui.
(ID 12552)
A fréquence angulaire du pendule mathématique ($\omega_0$) est déterminé en fonction de a accélération gravitationnelle ($g$) et a longueur du pendule ($L$) à laide de :
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
A fréquence angulaire ($\omega$) est avec a période ($T$) gal
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
(ID 12335)
A fréquence du son ($\nu$) correspond au nombre de fois qu'une oscillation se produit en une seconde. A période ($T$) repr sente le temps n cessaire une seule oscillation. Par cons quent, le nombre d'oscillations par seconde est :
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La fr quence est indiqu e en Hertz (Hz).
(ID 4427)
La relation entre a fréquence angulaire ($\omega$) et a fréquence du son ($\nu$) sexprime comme :
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
(ID 12338)
Avec la description de l'oscillation l'aide de
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
la partie r elle correspond l' volution temporelle de l'amplitude
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
(ID 14074)
En obtenant la partie r elle de la d riv e du nombre complexe repr sentant l'oscillation
dont la partie r elle correspond la vitesse
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
ID:(1420, 0)