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Augenblickliche Geschwindigkeit
Storyboard 
Wenn die Geschwindigkeit mit der Zeit variiert, wird das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der verstrichenen Zeit zur Durchschnittsgeschwindigkeit.
Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen, muss sie über ein so kurzes Zeitintervall geschätzt werden, dass sie praktisch konstant bleibt. Dies wird als Momentangeschwindigkeit bezeichnet und entspricht der Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit.
ID:(1432, 0)
Mechanismen
Iframe
Auf der einen Seite ist es wichtig, zwischen dem einfachsten Fall, der eindimensional ist, und dem komplexeren Fall mit mehr als einer Dimension zu unterscheiden. In beiden Fällen entspricht die Ableitung von die Position ($s$) nach der Zeit ($t$), was der Steigung der Kurve von die Position ($s$) entspricht, die Geschwindigkeit ($v$). Ebenso entspricht die Ableitung von die Posición (Vektor) ($\vec{s}$) nach der Zeit ($t$) Die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$).
Auf der anderen Seite ermöglicht uns die Fläche unter der Kurve von die Geschwindigkeit ($v$) bei der Zeit ($t$), was der Integration entspricht, die Berechnung von die Position ($s$).
Mechanismen
ID:(15393, 0)
Augenblickliche Geschwindigkeit
Konzept
Die Geschwindigkeit ($v$) wird als die Verlagerung pro Zeiteinheit definiert. Dieses Konzept reduziert sich jedoch auf eine Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$), das während des betrachteten Zeitintervalls existiert.
Die Begrenztheit der Durchschnittsgeschwindigkeit zeigt sich darin, dass angenommen wird, dass ein Objekt sofort von Ruhe in eine gegebene Geschwindigkeit übergeht. Es ist, als würde ein Bus sofort nach dem Verlassen seines Terminals eine Reisegeschwindigkeit erreichen, was völlig absurd ist. Die Geschwindigkeit entwickelt sich, nimmt zu, nimmt ab (Ampel, Fahrgäste steigen ein) und steigt langsam an, bis sie einen mehr oder weniger konstanten Wert erreicht, wenn sie auf der Straße fährt. Auf diese Weise wird ein Bus, der normalerweise mit etwa 100 km/h auf der Straße fährt, mehr als 8 Stunden brauchen, um 800 km zurückzulegen, da die Geschwindigkeitsfluktuationen berücksichtigt werden müssen. Am Ende wird er 10 Stunden für 800 km gebraucht haben und mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 80 km/h gefahren sein.
Wenn man die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt kennen möchte, muss man eine so kleine Zeit wählen, dass während dieser Zeit die Geschwindigkeit annähernd konstant sein kann. Dadurch entspricht die auf diese Weise geschätzte Durchschnittsgeschwindigkeit der Geschwindigkeit, die zum betreffenden Zeitpunkt existiert.
Deshalb sprechen wir von der momentanen Geschwindigkeit.
ID:(16, 0)
Geschwindigkeit als Ableitung
Konzept
Wenn wir ein Zeit ($t$) mit eine Position ($s$) ($s(t)$) nehmen und einen Punkt zu einer zukünftigen Zeit $t+\Delta t$ mit einer Position $s(t+\Delta t)$ betrachten, können wir die Geschwindigkeit als die Strecke im Zeitintervall $\Delta t$ abschätzen:
$s(t+\Delta t)-s(t)$
die Geschwindigkeit ($v$) kann berechnet werden, indem man die zurückgelegte Strecke durch die vergangene Zeit teilt:
$v\sim\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}$
Wenn der Wert von $\Delta t$ kleiner wird, nähert sich die berechnete Geschwindigkeit der Tangente an die Positionscurve zur Zeit:
Dies verallgemeinert das, was bereits für den Fall konstanter Geschwindigkeit gesehen wurde.
ID:(1638, 0)
Weg als Integral der Geschwindigkeit
Konzept
Das Integral von die Geschwindigkeit ($v$) entspricht dem Bereich unter der Kurve, die diese Funktion definiert. Daher entspricht das Integral der Geschwindigkeit zwischen der Startzeit ($t_0$) und der Zeit ($t$) der zurückgelegten Strecke zwischen die Ausgangsstellung ($s_0$) und die Position ($s$).
Deshalb haben wir:
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
Was in der folgenden Grafik dargestellt ist:
Ich gehe als Bereich unter der Geschwindigkeits- und Zeitkurve.
ID:(2242, 0)
Konzept mehr Dimensionen
Top
Für Bewegungen, die in mehr als einer Dimension stattfinden, muss die Beschreibung der Bewegung in einer Dimension verallgemeinert werden. Dies wird erreicht, indem mit einer Version mit mehreren Dimensionen für die Position gearbeitet wird. Im Falle von drei Dimensionen sieht dies wie folgt aus:
$s \rightarrow \vec{s} = (x, y, z)$
Analog dazu kann die Ableitung des Vektors nach der Zeit definiert werden, was den Geschwindigkeitsvektor ergibt:
$v=\displaystyle\frac{ds}{dt} \rightarrow \displaystyle\frac{d\vec{s}}{dt} = \left(\displaystyle\frac{dx}{dt}, \displaystyle\frac{dy}{dt}, \displaystyle\frac{dz}{dt}\right) = (v_x, v_y, v_z) = \vec{v}$
Dies lässt sich in der folgenden grafischen Darstellung zusammenfassen:
ID:(15506, 0)
Modell
Top
Im Fall einer Dimension steht die Geschwindigkeit ($v$) in Beziehung zu die Position ($s$) durch ihre Ableitung bei der Zeit ($t$), während das Integral von die Geschwindigkeit ($v$) über das Intervall von der Zeit ($t$) bis der Startzeit ($t_0$) Die Position ($s$) ab die Ausgangsstellung ($s_0$) ergibt. In einem allgemeineren Kontext, in mehr als einer Dimension, kann die Funktion die Posición (Vektor) ($\vec{s}$) bei der Zeit ($t$) abgeleitet werden, was zu die Geschwindigkeit (Vektor) ($\vec{v}$) führt.
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$
&v = @DIFF( &s , t , 1)
$ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$
s = s_0 + @INT( v, tau, t_0, t)
$ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$
v = ds / dt
ID:(15391, 0)
Augenblickliche Geschwindigkeit in einer Dimension
Gleichung
Die momentane Geschwindigkeit ($v$), bestimmt durch die Beziehung zwischen die Infinitesimal zurückgelegte Strecke ($ds$) und die Infinitesimale Variation of Time ($dt$), liefert eine genauere Schätzung der tatsächlichen Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt von der Zeit ($t$), im Vergleich zu die Mittlere Geschwindigkeit ($\bar{v}$), die aus die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) mit der Gleichung berechnet wird:
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
Dies wird durch die Ableitung der Position nach der Zeit erreicht, d.h.:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Wenn wir den zurückgelegten Weg als die Differenz der Positionen zwischen der Zeit $t+\Delta t$ und der Zeit $t$ betrachten:
$\Delta s = s(t+\Delta t)-s(t)$
und $\Delta t$ als die vergangene Zeit nehmen, dann kann die durchschnittliche Geschwindigkeit im Grenzwert infinitesimal kurzer Zeiten ausgedrückt werden als:
$v_m=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{ds}{dt}$
Dieser letzte Ausdruck entspricht der Ableitung der Positionsfunktion $s(t)$:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
die wiederum die Steigung der graphischen Darstellung dieser Funktion über der Zeit ist.
Daher ist die momentane Geschwindigkeit die Geschwindigkeit ($v$) von die Position ($s$) zu jedem Zeitpunkt von der Zeit ($t$) mit größerer Genauigkeit bekannt.
ID:(3153, 0)
Geschwindigkeitsintegration
Gleichung
Die Geschwindigkeit entspricht der zeitlichen Ableitung der Position:
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Die Integration der Geschwindigkeit entspricht der zurückgelegten Strecke. Dies kann mathematisch wie folgt ausgedrückt werden:
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
In der Definition der Geschwindigkeit ergibt die Integration über die Zeit
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
was bedeutet, dass über ein Zeitintervall
$ds = v dt$
Wenn wir
$s - s_0 = \displaystyle\sum_i v_i dt_i$
In der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve entsprechen die Elemente
| $ s = s_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t v d\tau$ |
ID:(10308, 0)
Augenblickliche Geschwindigkeit in mehr Dimensionen
Gleichung
Im Allgemeinen muss die Geschwindigkeit als eine dreidimensionale Einheit verstanden werden, also als Vektor. Ihre Position wird durch einen Positionsvektor
| $ v =\displaystyle\frac{ d s }{ d t }$ |
Dies ermöglicht die Verallgemeinerung der Geschwindigkeit:
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, kann sie als ein Array ihrer verschiedenen Komponenten ausgedrückt werden:
$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}$
Ihre Ableitung kann als die Ableitung jeder ihrer Komponenten ausgedrückt werden:
$\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{d v_x}{dt}\displaystyle\frac{d v_y}{dt}\displaystyle\frac{d v_z}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\a_y\a_z\end{pmatrix}=\vec{a}$
Daher ist die instantane Geschwindigkeit im Allgemeinen in mehr als einer Dimension ein Vektor mit Komponenten in jeder Richtung:
| $ \vec{ v } =\displaystyle\frac{d \vec{s} }{d t }$ |
ID:(4354, 0)