Interceptar a velocidad angular constante
Storyboard
Los objetos pueden intersectarse cuando coinciden en ángulo en un mismo momento. Para lograrlo, deben desplazarse desde sus respectivos ángulos iniciales con velocidades angulares que les permitan coincidir en ángulo y tiempo al final del recorrido.
ID:(1450, 0)
Mecanismos
Iframe
Mecanismos
ID:(15411, 0)
Concepto de interceptar
Top
En el caso de una intersección, se trata de dos cuerpos que se desplazan de tal manera que coincidirán en ángulo de la intersección ($\theta$) en el tiempo un tiempo de intersección ($t$).
Para lograr esto, cada cuerpo:
• Comienza su desplazamiento en el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$) en el ángulo inicial del primer cuerpo ($\theta_1$) con una velocidad angular del cuerpo 1 ($\omega_1$).
• Comienza su desplazamiento en el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$) en el ángulo inicial del segundo cuerpo ($\theta_2$) con una velocidad angular del cuerpo 2 ($\omega_2$).
Estas condiciones deben cumplirse para lograr la intersección.
Con ello, los diagramas del ángulo en el tiempo pueden ser acoplados como se muestra en la siguiente representación:
ID:(15517, 0)
Ángulos y duraciones de recorrido
Top
En el caso de una intersección o choque entre dos objetos, es común que la velocidad angular del cuerpo 1 ($\omega_1$) y la velocidad angular del cuerpo 2 ($\omega_2$) deban estar configurados de manera que se produzca la coincidencia.
Esto implica que el ángulo recorrido por el primer cuerpo ($\Delta\theta_1$) y la duración del viaje del primer objeto ($\Delta t_1$) deben resultar en una velocidad angular del cuerpo 1 ($\omega_1$),
$ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$ |
de manera que, con el ángulo recorrido por el segundo cuerpo ($\Delta\theta_2$) y la duración de viaje del segundo objeto ($\Delta t_2$), se obtenga una velocidad angular del cuerpo 2 ($\omega_2$),
$ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$ |
para que finalmente coincidan en tiempo y espacio (posición):
ID:(15516, 0)
Ángulo y tiempo al interceptar
Top
En el caso de un movimiento en el que dos objetos se interceptan, como la ángulo de la intersección ($\theta$) y el tiempo de intersección ($t$), es común para ambos. Por lo tanto, si para el primer objeto, el tiempo inicial del primer objeto ($t_1$) y el ángulo inicial del primer cuerpo ($\theta_1$) con la velocidad angular del cuerpo 1 ($\omega_1$) cumplen:
$ \theta = \theta_1 + \omega_1 ( t - t_1 )$ |
y para el segundo objeto, el tiempo inicial del segundo objeto ($t_2$) y el ángulo inicial del segundo cuerpo ($\theta_2$) con la velocidad angular del cuerpo 2 ($\omega_2$) se cumplen:
$ \theta = \theta_2 + \omega_2 ( t - t_2 )$ |
Esto se representa como:
ID:(15518, 0)
Modelo
Top
Cálculos
Variables
Parámetros
Cálculos
Cálculos
Ecuación
$ \Delta t_1 \equiv t - t_1 $
Dt = t - t_0
$ \Delta t_2 \equiv t - t_2 $
Dt = t - t_0
$ \Delta\theta_1 = \theta - \theta_1 $
Dtheta = theta - theta_0
$ \Delta\theta_2 = \theta - \theta_2 $
Dtheta = theta - theta_0
$ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$
omega_m = Dtheta / Dt
$ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$
omega_m = Dtheta / Dt
$ \theta = \theta_1 + \omega_0 ( t - t_1 )$
theta = theta_0 + omega_0 * ( t - t_0 )
$ \theta = \theta_2 + \omega_0 ( t - t_2 )$
theta = theta_0 + omega_0 * ( t - t_0 )
$ v_1 = r \omega_1 $
v = r * omega
$ v_2 = r \omega_2 $
v = r * omega
ID:(15422, 0)
Diferencia de ángulos (1)
Ecuación
Para describir la rotación de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotación, que es el ángulo ($\theta$):
$ \Delta\theta = \theta - \theta_1 $ |
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
ID:(3680, 1)
Diferencia de ángulos (2)
Ecuación
Para describir la rotación de un objeto, es necesario determinar la variación del angulo ($\Delta\theta$). Esto se logra restando el ángulo inicial ($\theta_0$) del valor alcanzado por el objeto durante su rotación, que es el ángulo ($\theta$):
$ \Delta\theta = \theta - \theta_2 $ |
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
ID:(3680, 2)
Tiempo transcurrido (1)
Ecuación
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duración se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
$ \Delta t_1 \equiv t - t_1 $ |
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 1)
Tiempo transcurrido (2)
Ecuación
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duración se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
$ \Delta t_2 \equiv t - t_2 $ |
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
ID:(4353, 2)
Ángulo para velocidad angular constante (1)
Ecuación
En el caso de que la velocidad angular sea constante, la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) coincide con el valor de la velocidad angular inicial ($\omega_i$), por lo que
$ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
En este caso, podemos calcular el ángulo recorrido en función del tiempo recordando que este se asocia a la diferencia entre el ángulo actual y el inicial, así como el tiempo actual y el inicial. Por lo tanto, el ángulo ($\theta$) es igual a el ángulo inicial ($\theta_0$), la velocidad angular inicial ($\omega_i$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) como se muestra a continuación:
$ \theta = \theta_1 + \omega_1 ( t - t_1 )$ |
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
En el caso de que la velocidad angular inicial ($\omega_i$) sea igual a la velocidad angular media ($\bar{\omega}$),
$ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
Por lo tanto, con la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), que es igual a el ángulo ($\theta$) dividido por el ángulo inicial ($\theta_0$), obtenemos:
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
Y con el tiempo transcurrido ($\Delta t$), que es igual a el tiempo ($t$) dividido por el tiempo inicial ($t_0$), obtenemos:
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Podemos reescribir la ecuación de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) como:
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Esto se puede expresar como:
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
Despejando, obtenemos:
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
La ecuación representa una recta en el espacio ángulo-tiempo.
ID:(1023, 1)
Ángulo para velocidad angular constante (2)
Ecuación
En el caso de que la velocidad angular sea constante, la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) coincide con el valor de la velocidad angular inicial ($\omega_i$), por lo que
$ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
En este caso, podemos calcular el ángulo recorrido en función del tiempo recordando que este se asocia a la diferencia entre el ángulo actual y el inicial, así como el tiempo actual y el inicial. Por lo tanto, el ángulo ($\theta$) es igual a el ángulo inicial ($\theta_0$), la velocidad angular inicial ($\omega_i$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) como se muestra a continuación:
$ \theta = \theta_2 + \omega_2 ( t - t_2 )$ |
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
En el caso de que la velocidad angular inicial ($\omega_i$) sea igual a la velocidad angular media ($\bar{\omega}$),
$ \bar{\omega} = \omega_0 $ |
Por lo tanto, con la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), que es igual a el ángulo ($\theta$) dividido por el ángulo inicial ($\theta_0$), obtenemos:
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
Y con el tiempo transcurrido ($\Delta t$), que es igual a el tiempo ($t$) dividido por el tiempo inicial ($t_0$), obtenemos:
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Podemos reescribir la ecuación de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) como:
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Esto se puede expresar como:
$\omega_0 = \omega = \displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\theta - \theta_0}{t - t_0}$
Despejando, obtenemos:
$ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )$ |
La ecuación representa una recta en el espacio ángulo-tiempo.
ID:(1023, 2)
Velocidad angular media (1)
Ecuación
Para estimar el desplazamiento de un objeto, es necesario conocer su la velocidad angular ($\omega$) en función de el tiempo ($t$). Por lo tanto, se introduce la la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), definida como la proporción entre la variación del angulo ($\Delta\theta$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Para medir esto, se puede utilizar un sistema como el que se muestra en la imagen:
Para determinar la velocidad angular media, se coloca un elemento reflectante en el eje o en un disco con varios elementos reflectantes, y se registra el paso para estimar la longitud del arco $\Delta s$ y el ángulo asociado con el radio $r$. Luego se registra la diferencia de tiempo cuando la marca pasa frente al sensor como $\Delta t$. La velocidad angular media se determina dividiendo el ángulo recorrido por el tiempo transcurrido.
La ecuación que describe la velocidad angular media es:
$ \omega_1 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_1 }{ \Delta t_1 }$ |
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
La definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) se considera la variación del angulo ($\Delta\theta$),
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$),
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
La relación entre ambos se define como la velocidad angular media ($\bar{\omega}$):
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Cabe destacar que la velocidad media es una estimación de la velocidad angular real. El problema principal es que:
Si la velocidad angular varía durante el tiempo transcurrido, el valor de la velocidad angular media puede ser muy diferente de la velocidad angular promedio.
Por lo tanto, la clave es:
Determinar la velocidad en un tiempo transcurrido suficientemente corto para minimizar su variación.
ID:(3679, 1)
Velocidad angular media (2)
Ecuación
Para estimar el desplazamiento de un objeto, es necesario conocer su la velocidad angular ($\omega$) en función de el tiempo ($t$). Por lo tanto, se introduce la la velocidad angular media ($\bar{\omega}$), definida como la proporción entre la variación del angulo ($\Delta\theta$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Para medir esto, se puede utilizar un sistema como el que se muestra en la imagen:
Para determinar la velocidad angular media, se coloca un elemento reflectante en el eje o en un disco con varios elementos reflectantes, y se registra el paso para estimar la longitud del arco $\Delta s$ y el ángulo asociado con el radio $r$. Luego se registra la diferencia de tiempo cuando la marca pasa frente al sensor como $\Delta t$. La velocidad angular media se determina dividiendo el ángulo recorrido por el tiempo transcurrido.
La ecuación que describe la velocidad angular media es:
$ \omega_2 \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta_2 }{ \Delta t_2 }$ |
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
La definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) se considera la variación del angulo ($\Delta\theta$),
$ \Delta\theta = \theta - \theta_0 $ |
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$),
$ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
La relación entre ambos se define como la velocidad angular media ($\bar{\omega}$):
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
Cabe destacar que la velocidad media es una estimación de la velocidad angular real. El problema principal es que:
Si la velocidad angular varía durante el tiempo transcurrido, el valor de la velocidad angular media puede ser muy diferente de la velocidad angular promedio.
Por lo tanto, la clave es:
Determinar la velocidad en un tiempo transcurrido suficientemente corto para minimizar su variación.
ID:(3679, 2)
Velocidad y velocidad angular (1)
Ecuación
Si dividimos la relación entre la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el radio ($r$) por la variación del angulo ($\Delta\theta$),
$ \Delta s=r \Delta\theta $ |
y luego dividimos eso por el tiempo transcurrido ($\Delta t$), obtenemos la relación que nos permite calcular la velocidad ($v$) a lo largo de la órbita, conocida como velocidad tangencial, que es igual a la velocidad angular ($\omega$):
$ v_1 = r \omega_1 $ |
$ v = r \omega $ |
Como la velocidad media ($\bar{v}$) es con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$), igual a
$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
y con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) expresado como arco de un círculo, y el radio ($r$) y la variación del angulo ($\Delta\theta$) son
$ \Delta s=r \Delta\theta $ |
y la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) es
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
entonces,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Como la relación es general, se puede aplicar para valores instantáneos, lo que resulta en
$ v = r \omega $ |
.
ID:(3233, 1)
Velocidad y velocidad angular (2)
Ecuación
Si dividimos la relación entre la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el radio ($r$) por la variación del angulo ($\Delta\theta$),
$ \Delta s=r \Delta\theta $ |
y luego dividimos eso por el tiempo transcurrido ($\Delta t$), obtenemos la relación que nos permite calcular la velocidad ($v$) a lo largo de la órbita, conocida como velocidad tangencial, que es igual a la velocidad angular ($\omega$):
$ v_2 = r \omega_2 $ |
$ v = r \omega $ |
Como la velocidad media ($\bar{v}$) es con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$), igual a
$ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
y con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) expresado como arco de un círculo, y el radio ($r$) y la variación del angulo ($\Delta\theta$) son
$ \Delta s=r \Delta\theta $ |
y la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) es
$ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
entonces,
$v=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=r\omega$
Como la relación es general, se puede aplicar para valores instantáneos, lo que resulta en
$ v = r \omega $ |
.
ID:(3233, 2)