Utilisateur:
Énergie potentielle d'un pendule mathématique pour les petits angles
Équation 
L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule est
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
qui peut être approximée pour de petits angles comme :
 $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
L'énergie potentielle gravitationnelle d'un pendule avec une masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
où
Pour de petits angles, la fonction cosinus peut être approximée par le développement en série de Taylor jusqu'à l'ordre deux
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Cette approximation conduit à une simplification de l'énergie potentielle en
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Il est important de noter que l'angle doit être en radians.
ID:(4514, 0)
Énergie cinétique d'un pendule mathématique
Équation
L'énergie cinétique d'un corps en rotation est donnée par
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
où $I$ est le moment d'inertie et $\omega$ est la vitesse angulaire. Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle $m$ qui tourne à une distance $L$ d'un axe est
| $ I = m L ^2$ |
donc nous avons
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
ID:(4515, 0)
Fréquence angulaire d'un pendule mathématique
Équation
Dans le cas du pendule mathématique
l'énergie peut être exprimée comme
$E=\displaystyle\frac{1}{2}ml^2\omega^2+\displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
et à partir de cette expression, nous pouvons obtenir la fréquence angulaire
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
L'énergie cinétique du pendule mathématique avec une masse $m$, une longueur de corde $r$ et une vitesse angulaire $\omega$ est
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
et l'énergie potentielle gravitationnelle est
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Avec $\theta$ représentant l'angle et $g$ l'accélération angulaire, l'équation pour l'énergie totale est exprimée comme
$E=\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \frac{1}{2}m g r \theta^2$
Étant donné que la période est égale à
$T=2\pi\sqrt{\frac{m r^2}{m g r}}=2\pi\sqrt{\frac{r}{g}}$
nous pouvons relier la fréquence angulaire comme
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
ID:(4516, 0)
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Vidéo: Pendule mathématique