(ID 3152)

Wenn wir den zur ckgelegten Weg als die Differenz der Positionen zwischen der Zeit $t+\Delta t$ und der Zeit $t$ betrachten:

$\Delta s = s(t+\Delta t)-s(t)$

und $\Delta t$ als die vergangene Zeit nehmen, dann kann die durchschnittliche Geschwindigkeit im Grenzwert infinitesimal kurzer Zeiten ausgedr ckt werden als:

$v_m=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{ds}{dt}$

Dieser letzte Ausdruck entspricht der Ableitung der Positionsxadfunktion $s(t)$:

die wiederum die Steigung der graphischen Darstellung dieser Funktion ber der Zeit ist.

(ID 3153)

Mit die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) gleich die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$):

und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) ist gleich der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):

Die Gleichung f r die durchschnittliche Geschwindigkeit:

kann geschrieben werden als:

$v_0 = \bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t} = \displaystyle\frac{s - s_0}{t - t_0}$

somit ergibt sich, wenn man nach ihr aufl st:

(ID 3154)

Da ein Vektor als eine Anordnung seiner verschiedenen Komponenten ausgedr ckt werden kann,

$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$

kann seine Ableitung als Ableitung jeder seiner Komponenten ausgedr ckt werden:

$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{v}=\displaystyle\frac{d}{dt}(v_x,v_y,v_z)=\left(\displaystyle\frac{dv_x}{dt},\displaystyle\frac{dv_y}{dt},\displaystyle\frac{dv_z}{dt}\right)=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}$

Im Allgemeinen gilt, dass die instantane Geschwindigkeit in mehr als einer Dimension

(ID 3155)

Im Falle, dass die konstante Beschleunigung ($a_0$) gleich die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) ist, wird es gleich

.

Deshalb, wenn wir die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) als

und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) als

betrachten, kann die Gleichung f r die konstante Beschleunigung ($a_0$)

als

$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$

geschrieben werden, und durch Umstellen erhalten wir

.

(ID 3156)

Im Fall von die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist die Geschwindigkeit ($v$) als Funktion von der Zeit ($t$) eine Gerade, die durch der Startzeit ($t_0$) und die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) verl uft und durch die Gleichung definiert ist:

Da die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) den Bereich unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve darstellt, k nnen wir die Beitr ge des Rechtecks summieren:

$v_0(t-t_0)$

und des Dreiecks:

$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$

Um die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) mit die Position ($s$) und die Ausgangsstellung ($s_0$) zu erhalten, ergibt sich:

Daraus folgt:

(ID 3157)

Wenn wir die Gleichungen f r der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$) in die Gleichung f r die Geschwindigkeit ($v$) aufl sen, die von die Anfangsgeschwindigkeit ($v_0$) und die konstante Beschleunigung ($a_0$) abh ngt:

erhalten wir:

$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$

Dann, wenn wir diesen Ausdruck in die Gleichung f r die Position ($s$) mit die Ausgangsstellung ($s_0$) einsetzen:

erhalten wir einen Ausdruck f r den zur ckgelegten Weg in Abh ngigkeit von der Geschwindigkeit:

(ID 3158)

Die Definition von die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) wird als die Beziehung zwischen die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) betrachtet. Das hei t,

und

Die Beziehung zwischen beiden wird als die Kreiselbeschleunigung ($a_c$)

innerhalb dieses Zeitintervalls definiert.

(ID 3678)

(ID 3699)

(ID 3701)

Wenn man von die Ausgangsstellung ($s_0$) ausgeht und die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$) berechnen möchte, muss ein Wert für die Position ($s$) festgelegt werden.

In einem eindimensionalen System erhält man die Zurückgelegte Strecke in einer Zeit ($\Delta s$), indem man die Ausgangsstellung ($s_0$) von die Position ($s$) subtrahiert. Das ergibt:

(ID 4352)

(ID 4353)

Da die Geschwindigkeit ein Vektor ist, kann sie als ein Array ihrer verschiedenen Komponenten ausgedr ckt werden:

$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}$

Ihre Ableitung kann als die Ableitung jeder ihrer Komponenten ausgedr ckt werden:

$\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{d v_x}{dt}\displaystyle\frac{d v_y}{dt}\displaystyle\frac{d v_z}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\a_y\a_z\end{pmatrix}=\vec{a}$

Daher ist die instantane Geschwindigkeit im Allgemeinen in mehr als einer Dimension ein Vektor mit Komponenten in jeder Richtung:

(ID 4354)

(ID 4355)

Wenn wir die Differenz von die Geschwindigkeit ($v$) zu den Zeiten $t+\Delta t$ und $t$ betrachten:

$\Delta v = v(t+\Delta t)-v(t)$

und $\Delta t$ als der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) nehmen, dann im Grenzwert von infinitesimal kurzen Zeiten:

$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dv}{dt}$

Diese letzte Ausdruck entspricht der Ableitung der Funktion die Geschwindigkeit ($v$):

welche wiederum die Steigung der grafischen Darstellung dieser Funktion bei der Zeit ($t$) ist.

(ID 4356)

(ID 4358)

(ID 4359)

En el caso de que se asuma que el tiempo inicial es nulo\\n\\n

$t_0=0$

la ecuaci n de la posici n

se reduce a

(ID 4360)

(ID 4736)