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Evolución de la velocidad
Definición 
En el caso de un movimiento en dos etapas, la primera etapa se puede describir mediante una función que involucra los puntos el tiempo inicial ($t_0$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$), la velocidad inicial ($v_0$) y la velocidad primera etapa ($v_1$), representada por una recta con pendiente de la aceleración durante la primera etapa ($a_1$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
Para la segunda etapa, definida por los puntos la velocidad primera etapa ($v_1$), la velocidad segunda etapa ($v_2$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$), se emplea una segunda recta con pendiente de la aceleración durante la segunda etapa ($a_2$):
| $ v = v_0 + a_0 ( t - t_0 )$ |
que se representa como:
ID:(4357, 0)
Traslación del Cuerpo
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Si consideramos el camino recorrido como la diferencia de posici n entre el tiempo $t+\Delta t$ y el tiempo $t$:
$\Delta s = s(t+\Delta t)-s(t)$
y tomamos $\Delta t$ como el tiempo transcurrido, entonces en el l mite de tiempos infinitesimalmente cortos, la velocidad media puede expresarse como:
$v_m=\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}\rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{ds}{dt}$
Esta ltima expresi n corresponde a la derivada de la funci n de posici n $s(t)$:
que, a su vez, es la pendiente de la representaci n gr fica de dicha funci n en funci n del tiempo.
Con la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) es con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$):
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) es con el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):
Se tiene que la ecuaci n de la velocidad media:
puede escribirse como:
$v_0 = \bar{v} = \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t} = \displaystyle\frac{s - s_0}{t - t_0}$
Por lo tanto, despejando, se obtiene:
Como un vector se puede expresar como un arreglo de sus diferentes componentes
$\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)$
su derivada se puede expresar como la derivada de cada una de sus componentes
$\displaystyle\frac{d}{dt}\vec{v}=\displaystyle\frac{d}{dt}(v_x,v_y,v_z)=\left(\displaystyle\frac{dv_x}{dt},\displaystyle\frac{dv_y}{dt},\displaystyle\frac{dv_z}{dt}\right)=\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}$
se tiene que en general la velocidad instantanea en mas de una dimensi n es
En el caso de que la aceleración constante ($a_0$) sea igual a la aceleración media ($\bar{a}$), ser igual a
Por lo tanto, considerando la diferencia de velocidad ($\Delta v$)
y el tiempo transcurrido ($\Delta t$)
la ecuaci n de la aceleración constante ($a_0$)
se puede escribir como
$a_0 = \bar{a} = \displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} = \displaystyle\frac{v - v_0}{t - t_0}$
y al despejar, se obtiene
En el caso de la aceleración constante ($a_0$), la velocidad ($v$) en funci n de el tiempo ($t$) es una recta que pasa por el tiempo inicial ($t_0$) y la velocidad inicial ($v_0$), definida por la ecuaci n:
Dado que la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) representa el rea bajo la curva velocidad-tiempo, podemos sumar las contribuciones del rect ngulo:
$v_0(t-t_0)$
y el tri ngulo:
$\displaystyle\frac{1}{2}a_0(t-t_0)^2$
Para obtener la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) con la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), resultando en:
Por lo tanto:
Si despejamos las ecuaciones para el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) en la ecuaci n de la velocidad ($v$), que depende de la velocidad inicial ($v_0$) y la aceleración constante ($a_0$):
obtenemos:
$t - t_0= \displaystyle\frac{v - v_0}{a_0}$
Y al sustituir esto en la ecuaci n de la posición ($s$) con la posición inicial ($s_0$):
obtenemos una expresi n para el camino recorrido en funci n de la velocidad:
La definici n de la aceleración media ($\bar{a}$) se considera como la relaci n entre la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Es decir,
y
Se define la relaci n entre ambos como la aceleración centrifuga ($a_c$)
en dicho intervalo de tiempo.
Al ser un vector, la velocidad se puede expresar como una arreglo de sus diferentes componentes:
$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\v_z\end{pmatrix}$
y su derivada se puede expresar como la derivada de cada una de sus componentes:
$\displaystyle\frac{d\vec{v}}{dt}=\begin{pmatrix}\displaystyle\frac{d v_x}{dt}\displaystyle\frac{d v_y}{dt}\displaystyle\frac{d v_z}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_x\a_y\a_z\end{pmatrix}=\vec{a}$
As , en general, la velocidad instant nea en m s de una dimensi n es un vector con componentes en cada una de las direcciones:
Si consideramos la diferencia de la velocidad ($v$) en los tiempos $t+\Delta t$ y $t$:
$\Delta v = v(t+\Delta t)-v(t)$
y tomamos $\Delta t$ como el tiempo transcurrido ($\Delta t$), entonces en el l mite de tiempos infinitesimalmente cortos:
$a=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t} \rightarrow \lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{dv}{dt}$
Esta ltima expresi n corresponde a la derivada de la funci n la velocidad ($v$):
la cual, a su vez, es la pendiente de la representaci n gr fica de dicha funci n en el tiempo ($t$).
En el caso de que se asuma que el tiempo inicial es nulo\\n\\n
$t_0=0$
la ecuaci n de la posici n
se reduce a
Ejemplos
Podemos calcular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) a partir de la posición inicial ($s_0$) y la posición ($s$) mediante la siguiente ecuaci n:
Para describir el movimiento de un objeto, debemos calcular el tiempo transcurrido ($\Delta t$). Esta magnitud se obtiene midiendo el tiempo inicial ($t_0$) y el el tiempo ($t$) de dicho movimiento. La duraci n se determina restando el tiempo inicial al tiempo final:
La aceleraci n se define como la variaci n de la velocidad por unidad de tiempo.
Por lo tanto, es necesario establecer la diferencia de velocidad ($\Delta v$) en funci n de la velocidad ($v$) y la velocidad inicial ($v_0$) de la siguiente manera:
La velocidad media ($\bar{v}$) se puede calcular de la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante:
La cadera se desplaza a una velocidad aproximadamente constante. Esta se puede determinar calculando la velocidad media con que la persona recorre la distancia
La velocidad ($v$) instant nea, determinada por la relaci n entre la distancia infinitesimal recorrida ($ds$) y la variación infinitesimal del tiempo ($dt$), proporciona una estimaci n m s precisa de la velocidad real en cualquier momento de el tiempo ($t$), en comparaci n con la velocidad media ($\bar{v}$), que se calcula a partir de la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante la ecuaci n:
Esto se logra mediante la derivada de la posici n con respecto al tiempo, es decir:
De esta manera, la velocidad instant nea la velocidad ($v$) de la posición ($s$) se conoce en cualquier instante de el tiempo ($t$) con mayor precisi n.
En general, la velocidad ($v$) debe entenderse como una entidad tridimensional, es decir, un vector la velocidad (vector) ($\vec{v}$). Cada componente se puede definir como la derivada de la posición ($s$) en el tiempo ($t$):
Por de puede con la derivada en el tiempo ($t$) de la posición (vector) ($\vec{s}$) como la velocidad (vector) ($\vec{v}$):
En el caso de un movimiento en dos etapas, la primera etapa se puede describir mediante una funci n que involucra los puntos el tiempo inicial ($t_0$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$), la velocidad inicial ($v_0$) y la velocidad primera etapa ($v_1$), representada por una recta con pendiente de la aceleración durante la primera etapa ($a_1$):
Para la segunda etapa, definida por los puntos la velocidad primera etapa ($v_1$), la velocidad segunda etapa ($v_2$), el tiempo final primera e inició segunda etapa ($t_1$) y el tiempo que finaliza segunda etapa ($t_2$), se emplea una segunda recta con pendiente de la aceleración durante la segunda etapa ($a_2$):
que se representa como:
Cuando el pie adelanta para posicionarse en una posici n adelantada lo debe de hacer a una velocidad mayor a la que se desplaza el tronco del cuerpo.
Por ello la velocidad del pie llega a un m ximo que es igual a la suma de la velocidad media del cuerpo
Si la velocidad es constante, la velocidad ser igual a la velocidad inicial ($v_0$). En este caso, el camino recorrido en funci n del tiempo puede calcularse utilizando la diferencia entre la posición ($s$) y la posición inicial ($s_0$), dividida por la diferencia entre el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$):
La ecuaci n correspondiente define una l nea recta en el espacio-tiempo.
La proporci n en la que la variaci n de la velocidad a lo largo del tiempo se define como la aceleración media ($\bar{a}$). Para medirla, es necesario observar la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$).
Un m todo com n para medir la aceleraci n media consiste en utilizar una l mpara estrobosc pica que ilumina el objeto en intervalos definidos. Al tomar una fotograf a, se puede determinar la distancia recorrida por el objeto en ese tiempo. Al calcular dos velocidades consecutivas, se puede determinar su variaci n y, con el tiempo transcurrido entre las fotos, la aceleraci n media.
La ecuaci n que describe la aceleraci n media es la siguiente:
Es importante tener en cuenta que la aceleraci n media es una estimaci n de la aceleraci n real.
El problema principal radica en que si la aceleraci n var a durante el tiempo transcurrido, el valor de la aceleraci n media puede diferir en gran medida de la aceleraci n promedio
.
Por lo tanto, la clave es
Determinar la aceleraci n en un per odo de tiempo suficientemente corto para minimizar la variaci n.
En general, la velocidad debe entenderse como un vector tridimensional. Es decir, su la posición ($s$) requiere ser descrita por un vector una posición (vector) ($\vec{s}$), para el cual se puede definir cada componente la velocidad ($v$) como se muestra en la siguiente ecuaci n:
Esto permite generalizar la velocidad (vector) ($\vec{v}$) de la siguiente manera:
La variable la aceleración media ($\bar{a}$), calculada como el cambio en la diferencia de velocidad ($\Delta v$) dividido por el intervalo de el tiempo transcurrido ($\Delta t$) mediante
es una aproximaci n de la aceleraci n real, que tiende a distorsionarse cuando la aceleraci n fluct a durante el intervalo de tiempo. Por lo tanto, se introduce el concepto de la aceleración instantanea ($a$) determinado en un intervalo de tiempo muy peque o. En este caso, nos referimos a un intervalo de tiempo infinitesimalmente peque o y la variaci n de la velocidad en el tiempo se reduce a la derivada de la velocidad ($v$) respecto a el tiempo ($t$):
lo que corresponde a la derivada de la velocidad.
Si la aceleración constante ($a_0$), entonces la aceleración media ($\bar{a}$) es igual al valor de la aceleraci n, es decir,
En este caso, la velocidad ($v$) como funci n de el tiempo ($t$) se puede calcular recordando que est asociada con la diferencia entre la velocidad ($v$) y la velocidad inicial ($v_0$), as como el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$).
De esta manera, la ecuaci n representa una l nea recta en el espacio de velocidad-tiempo.
En el caso de que una aceleración constante ($a_0$), la variable la velocidad ($v$) var a de forma lineal con respecto a el tiempo ($t$), utilizando la velocidad inicial ($v_0$) y el tiempo inicial ($t_0$):
As , el rea bajo esta recta se puede calcular, lo que nos proporciona la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$). Al combinar esto con la posición inicial ($s_0$), podemos calcular la posición ($s$), lo que resulta en:
Esto corresponde a la forma general de una par bola.
En el caso de que se asuma que la aceleraci n inicial es constante y tiempo inicial nulo la ecuaci n de la posici n
se reduce a
En el caso de una aceleraci n constante, podemos calcular la posición ($s$) a partir de la posición inicial ($s_0$), la velocidad inicial ($v_0$), el tiempo ($t$) y el tiempo inicial ($t_0$) seg n la ecuaci n:
Esto nos permite calcular la relaci n entre la distancia de aceleraci n/frenado y el cambio de velocidad:
Si un objeto se describe en un sistema de coordenadas en el que el eje z apunta \"hacia abajo\" (hacia el suelo), la aceleraci n a la que se expone es igual a la aceleraci n gravitacional, que se define como positiva:
$a = g > 0$
Debido a que la aceleraci n es constante, la velocidad evoluciona de forma lineal, como se muestra en la siguiente ecuaci n:
Por lo tanto, en este caso se reduce a la siguiente ecuaci n:
Cuando se describe el movimiento de un objeto en un sistema de coordenadas en el que el eje z apunta hacia arriba (hacia el cielo), la aceleraci n experimentada por el objeto es igual a la aceleraci n gravitatoria definida como negativa, dada por
$a = -g < 0$
.
Como la aceleraci n es constante, la velocidad del objeto cambiar linealmente, como se describe en la ecuaci n
que se simplifica a
en este caso.
La aceleraci n centrifuga depende de la velocidad tangencial
Si la aceleraci n centrifuga supera la aceleraci n gravitacional
el cuerpo se comienza a elevar. La elevaci n involucra un cambio en la forma como nos desplazamos, es decir pasamos del modo caminar al modo correr. El limite en que ambas aceleraciones son iguales nos da una velocidad cr tica:
que al despejar es
Esto significa que a baja velocidad caminamos, pero al aumentar la velocidad si llegamos a superar el valor cr tico
ID:(317, 0)