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Rotación en el Aire
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Gleichungen
Wenn wir den zur ckgelegten Winkel als die Winkelvariation ($\Delta\theta$) zur Zeit $t+\Delta t$ und zur Zeit $t$ betrachten:
$\Delta\theta = \theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) verwenden, dann haben wir im Grenzfall unendlich kurzer Zeiten:
$\omega=\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}\rightarrow lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\theta}{dt}$
Dieser letzte Ausdruck entspricht der Ableitung der Winkelfunktion $\theta(t)$, die wiederum die Steigung der grafischen Darstellung dieser Funktion ber der Zeit ist.
(ID 3232)
Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zur ckgelegten Winkel
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der verstrichenen Zeit
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
innerhalb dieses Zeitintervalls.
(ID 3234)
Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gem
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
ist, folgt daraus, dass
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist
| $ a_0 = \bar{a} $ |
ergibt sich folgende Gleichung:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Daher, unter Ber cksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
kann die Gleichung f r die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
wie folgt ausgedr ckt werden:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Durch Aufl sen erhalten wir:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
Wenn wir mehrere Massen $m_i$ haben, wird jede von ihnen einer Gravitationskraft unterliegen
| $ F_g = m_g g $ |
die ein Drehmoment erzeugt, das gleich ist
| $ T = r F $ |
wobei $r_i$ der horizontale Abstand von Masse $i$ zum Drehpunkt ist. Das Gesamtdrehmoment wird sein
$T=\displaystyle\sum_iT_i$
Wenn $r_{CM}$ die Position des Schwerpunkts ist, muss das Gesamtdrehmoment um diesen Punkt herum
$T_{CM}=\displaystyle\sum_i T_i=\displaystyle\sum_i(r_i-r_{CM})m_ig=0$
null sein. Aus dieser Gleichung k nnen wir die Position des Schwerpunkts berechnen, was zu
| $ \vec{r}_{CM} =\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_i m_i \vec{r}_i }{\displaystyle\sum_i m_i }$ |
f hrt.
(ID 3248)
(ID 3251)
Die Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) wird wie folgt ausgedrückt:
| $ L = r p $ |
Unter Verwendung von der Radius ($r$) lässt sich dieser Ausdruck mit der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wie folgt gleichsetzen:
| $ L = I \omega $ |
Durch anschließendes Ersetzen mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$):
| $ p = m_i v $ |
und
| $ v = r \omega $ |
ergibt sich schließlich, dass das Trägheitsmoment einer Teilchenmasse, die sich auf einer Umlaufbahn dreht, gleich ist:
| $ I = m_i r ^2$ |
(ID 3602)
Die Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) wird als die Winkelvariation ($\Delta\theta$) betrachtet,
| $ \Delta\theta = \theta_2 - \theta_1 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$),
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) definiert:
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
(ID 3679)
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Da der zur ckgelegte Winkel gleich der Fl che unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:
$\omega_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
hinzugef gt werden.
Dies f hrt uns zu dem Ausdruck f r der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
Da die Zentrifugalbeschleunigung gleich
| $ a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$ |
mit
| $ v = r \omega $ |
k nnen wir folgern, dass:
| $ a_c = r \omega ^2$ |
(ID 4384)
Wenn die zur ckgelegte Strecke klein ist ($v\Delta t\ll r$), kann die Wurzel des Abstands zwischen dem Zentrum und dem K rper,
$\sqrt{r^2+(v\Delta t)^2}$
,
gen hert werden durch
$r+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$
,
was einer Parabel in Abh ngigkeit von der Zeit $\Delta t$ entspricht. Daher kann das Verhalten mit einer Beschleunigung beschrieben werden, die wie folgt lautet:
| $ a_c =\displaystyle\frac{ v ^2}{ r }$ |
(ID 4735)
(ID 10968)
Beispiele
Wenn ein K rper, der an einem Seil der L nge $r$ befestigt ist, mit einer Tangentialgeschwindigkeit $v$ rotiert und das Seil durchtrennt wird, wird der K rper aufgrund der Tr gheit mit konstanter Geschwindigkeit $v$ in einer geraden Linie weiterbewegt.
Die Umlaufbahn von Radio
In einem Zeitintervall $\Delta t$ wird der K rper eine Strecke von $v\Delta t$ tangential zu seiner vorherigen Bahn zur cklegen. Aus der Perspektive eines Beobachters auf der Achse des rotierenden Systems wird die Strecke mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnet, indem das Quadrat des Bahnradius mit dem Quadrat der zur ckgelegten Strecke addiert wird:
$\sqrt{r^2+v^2\Delta t^2}$
(ID 1155)
Wenn wir eine Katapult betrachten, werden wir feststellen, dass das Projektil zun chst entlang der Kurve fliegt, die durch den L ffel beschrieben wird. Dies geschieht, weil der L ffel daf r konzipiert ist, das Projektil zur ckzuhalten. Sobald der Arm stoppt, bewegt sich das Projektil weiterhin in einer geraden Linie, die tangential zum Kreis verl uft, dem es zuvor gefolgt ist.
Wenn ein Objekt nicht zur ckgehalten wird und sich mit einer tangentialen Geschwindigkeit $v$ bewegt, legt es in einem Zeitintervall $\Delta t$ eine Strecke von $v\Delta t$ zur ck, indem es sich von Punkt B nach Punkt C bewegt. Wenn es jedoch weiterhin eine Umlaufbahn beibeh lt, erreicht es nach dem Zeitintervall $\Delta t$ den Punkt D. Wenn das Objekt den Punkt C erreicht, gibt es aus der Perspektive eines Beobachters auf der Erde eine Beschleunigung, die bewirkt, dass sich das Objekt von der Erde entfernt (Zentrifugalbeschleunigung) und dabei die Strecke $\Delta r$ im Zeitintervall $\Delta t$ zur cklegt.
F r einen Beobachter im Weltraum f llt ein Objekt in einer Umlaufbahn st ndig: Anstatt den Punkt C zu erreichen, f llt es im Zeitintervall $\Delta t$ ber die Strecke $\Delta r$ bis es den Punkt D erreicht. In beiden F llen k nnen wir die Situation graphisch darstellen und unter Verwendung des Satzes des Pythagoras feststellen, dass folgende Gleichung gelten muss:
$(r+\Delta r)^2=r^2+(v\Delta t)^2$
Durch Aufl sen der Gleichung ergibt sich:
$2\Delta rr+\Delta r^2=v^2\Delta t^2$
Da die Variation des Radius $\Delta r$ viel kleiner ist als der Radius selbst ($r\ll\Delta r$), k nnen wir schlussfolgern, dass gilt:
$2\Delta rr=v^2\Delta t^2$
Wenn wir nach $\Delta r$ aufl sen, erhalten wir:
$\Delta r=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{v^2}{r}\Delta t^2$
Wenn wir diese Gleichung mit der Gleichung $s=at^2/2$ vergleichen, k nnen wir feststellen, dass das Objekt mit einer Beschleunigung von $v^2/r$ beschleunigt.
(ID 313)
ID:(320, 0)