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Evolução da temperatura

Storyboard

A temperatura no solo evolui com base na temperatura na superfície e na temperatura média na profundidade. A condutividade térmica e a capacidade calorífica específica do solo determinam a profundidade na qual a temperatura média é alcançada.

>Modelo

ID:(2051, 0)



Mecanismos

Iframe

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Código
Conceito

Mecanismos

ID:(15208, 0)



Perfil de temperatura

Conceito

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Se plotarmos a solução para la temperatura do solo (T) em função de la profundidade (z) e o tempo (t) usando la temperatura ambiente média (T_m), la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), la mudança de fase de tempo (t_0), la profundidade média de variação (d_m) e la profundidade média de variação (\omega_m), o resultado é:

T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )



Isso produz uma curva que, na superfície (z=0), exibe o máximo do verão e o mínimo do inverno em temperatura. A temperatura então converge para a temperatura média com a profundidade, mantendo-se constante. Além disso, há um efeito de inércia no sistema:

ID:(15137, 0)



Modelo

Top

>Top



Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
dQ
dQ
Calor transportado
J
S
S
Seção
m^2
q
q
Taxa de fluxo de calor
W/m^2
dt
dt
Variação de tempo
s

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para
DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m ) d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2@DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c )dQSqdt

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado
DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m ) d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2@DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c )dQSqdt




Equações

#
Equação

\Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m

DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )


d_m = \sqrt{\displaystyle\frac{2\lambda}{c\rho\omega_m}}

d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega ))


q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}

q = - lambda * dT / dz


q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }

q = dQ /( S * dt )


q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))

q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m


T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )

T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2


\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}

@DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c )

ID:(15230, 0)



Densidade de fluxo de calor

Equação

>Top, >Modelo


La taxa de fluxo de calor (q) é definido em termos de la calor transportado (dQ), la variação de tempo (dt) e la seção (S) da seguinte forma:

q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }

dQ
Calor transportado
J
10159
S
Seção
m^2
5205
q
Taxa de fluxo de calor
W/m^2
10178
dt
Variação de tempo
s
10160
q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) @DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c ) T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2 d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )dQSqdt

ID:(15133, 0)



Lei de Fourier

Equação

>Top, >Modelo


Para um condutor com valores de o comprimento do conductor (L) e la seção (S), o fluxo de la calor transportado (dQ) é descrito sob la variação de tempo (dt) e la condutividade térmica (\lambda) da seguinte forma:

q = \displaystyle\frac{ \lambda }{ L } \Delta T_0



No caso infinitesimal, onde o comprimento do conductor (L) se reduz a uma distância percorrida (dz) e la diferença de temperatura no condutor (\Delta T_0) se torna la variação de temperatura (dT), a equação para la taxa de fluxo de calor (q) se simplifica para:

q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}

q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) @DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c ) T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2 d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )dQSqdt

Uma vez que la calor transportado (dQ) é uma função de o comprimento do conductor (L), la seção (S), la variação de tempo (dt), la diferença de temperatura no condutor (\Delta T_0) e la condutividade térmica (\lambda), de acordo com a seguinte equação:

q = \displaystyle\frac{ \lambda }{ L } \Delta T_0



Com a equação para la taxa de fluxo de calor (q) definida como:

q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }



No caso infinitesimal, onde o comprimento do conductor (L) se reduz a uma distância percorrida (dz) e la diferença de temperatura no condutor (\Delta T_0) se torna la variação de temperatura (dT), a equação se simplifica para:

q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}

[1] "Théorie analytique de la chaleur" (A Teoria Analítica do Calor), Joseph Fourier, Cambridge University Press (2009) (original de 1822)

ID:(15132, 0)



Equação de difusão de calor

Equação

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A definição de la taxa de fluxo de calor (q) é estabelecida utilizando la condutividade térmica (\lambda) e la variação de temperatura (dT) como função de la distância percorrida (dz) através da seguinte equação:

q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}



Ao estudar o fluxo de calor, obtemos a equação para la temperatura absoluta (T) como função de la posição ao longo de um eixo (z), o tempo (t) e la condutividade térmica (\lambda), que se torna o calor específico (c). A equação para la densidade (\rho) se simplifica para:

\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}

q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) @DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c ) T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2 d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )dQSqdt

A quantidade de la calor transportado (dQ) através de uma distância percorrida (dz) pode ser calculada usando la taxa de fluxo de calor (q) e la variação de tempo (dt) com la seção (S) através da seguinte equação:

dQ = -\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(q S dt) dz



Uma vez que la taxa de fluxo de calor (q) com la variação de temperatura (dT) e la condutividade térmica (\lambda) é definido como:

q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}



Portanto,

dQ = \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z}) S dz dt



Por outro lado, podemos relacionar la calor fornecido ao líquido ou sólido (\Delta Q) com la massa (M), o calor específico (c) e la variação de temperatura em um líquido ou sólido (\Delta T) através da seguinte equação:

\Delta Q = M c \Delta T



Neste caso, com la variação de volume (dV), a equação se torna:

dQ=\rho dV c dT = \rho c S dz dT



E finalmente, obtemos:

\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}

ID:(15134, 0)



Temperatura do solo

Equação

>Top, >Modelo


Se considerarmos que a temperatura da superfície sofre flutuações diárias rápidas e uma variação anual lenta, e que a inércia do sistema impede que as flutuações diárias afetem o solo, podemos estimar a la temperatura do solo (T) como função de la profundidade (z) e o tempo (t) ao longo do ano como a solução da seguinte equação:

\displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}



onde la condutividade térmica (\lambda), o calor específico (c) e la densidade (\rho). Portanto, a solução é obtida com la temperatura ambiente média (T_m), la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), la profundidade média de variação (d_m), la mudança de fase de tempo (t_0) e la profundidade média de variação (\omega_m) da seguinte maneira:

T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )

q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) @DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c ) T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2 d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )dQSqdt



O valor de la mudança de fase de tempo (t_0) geralmente é usado para ajustar a solução ao hemisfério correspondente. Nesse sentido, no hemisfério norte, esse desfasamento é quase nulo, enquanto no hemisfério sul é aproximadamente meio ano.

ID:(15135, 0)



Profundidade média de variação

Equação

>Top, >Modelo


A solução para la temperatura do solo (T) em la profundidade (z) e o tempo (t) é obtida utilizando la temperatura ambiente média (T_m), la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), la mudança de fase de tempo (t_0), la profundidade média de variação (d_m) e la profundidade média de variação (\omega_m), resultando em:

T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )



Esta solução resolve a equação de condução quando la profundidade média de variação (d_m) é igual a la condutividade térmica (\lambda), o calor específico (c) e la densidade (\rho) através de:

d_m = \sqrt{\displaystyle\frac{2\lambda}{c\rho\omega_m}}

q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) @DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c ) T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2 d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )dQSqdt

ID:(15136, 0)



Fluxo de calor no solo

Equação

>Top, >Modelo


Para resolver la temperatura do solo (T) em la profundidade (z) e o tempo (t), utilizamos la temperatura ambiente média (T_m), la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), la mudança de fase de tempo (t_0), la profundidade média de variação (d_m) e la profundidade média de variação (\omega_m), resultando em:

T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )



Isso nos permite calcular o fluxo de calor na superfície no caso em que la mudança de fase de tempo (t_0) é considerado nulo e com la condutividade térmica (\lambda) e la profundidade média de variação (d_m) usando:

q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))

q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) @DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c ) T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2 d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )dQSqdt

Como la taxa de fluxo de calor (q) junto com la condutividade térmica (\lambda), la temperatura do solo (T) e la profundidade (z) resulta em



Para a solução de la temperatura do solo (T) com la profundidade (z) e o tempo (t), utilizamos la temperatura ambiente média (T_m), la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), la mudança de fase de tempo (t_0), la profundidade média de variação (d_m) e la profundidade média de variação (\omega_m):



Isso é obtido na superfície (z=0) e sem deslocamento de fase (t_0=0):

ID:(15138, 0)



Faixa de temperatura da superfície do solo

Equação

>Top, >Modelo


Para resolver la temperatura do solo (T) em la profundidade (z) e o tempo (t), utilizamos la temperatura ambiente média (T_m), la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), la mudança de fase de tempo (t_0), la profundidade média de variação (d_m) e la profundidade média de variação (\omega_m), resultando em:

T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )



Isso nos permite calcular o fluxo de calor na superfície no caso em que la mudança de fase de tempo (t_0) é considerado nulo e com la condutividade térmica (\lambda) e la profundidade média de variação (d_m) usando:

\Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m

q = - lambda * dT / dz q = dQ /( S * dt ) @DIFF( T , t ,1)=lambda*@DIFF(@DIFF( T , z ,1), z ,1)/( rho * c ) T = T_m - DT_s *exp(- z / d_m )*cos( omega_m *( t - t_0 ) - z / d_m )/2 d_m = sqrt(2* lambda /( c * rho * omega )) q = lambda * DT_s *(cos( omega_m *( t - t_0 )) - sin( omega_m *( t - t_0 )))/ d_m DT_s = alpha * DT_m /( alpha + lambda / d_m )dQSqdt

La taxa de fluxo de calor (q) como uma função de la condutividade térmica (\lambda), la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), la profundidade média de variação (d_m), la profundidade média de variação (\omega_m), o tempo (t) e la mudança de fase de tempo (t_0) é representado por:

q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))



Isso representa o fluxo total que passa pela área acima do solo e pelo próprio solo. No primeiro caso, o fluxo é igual a o coeficiente de transmissão (\alpha) devido à diferença de temperatura entre o ambiente e a superfície do solo. Para a situação em que o tempo (t) é igual a la mudança de fase de tempo (t_0), o fluxo na área acima do solo pode ser descrito como:

\alpha \left(\displaystyle\frac{\Delta T_m}{2}-\displaystyle\frac{\Delta T_s}{2}\right) = \displaystyle\frac{\lambda \Delta T_s}{2 d_m}



Resolvendo para la variação anual da temperatura do solo (\Delta T_s), obtemos:

\Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m

ID:(15139, 0)