Storyboard

La température dans le sol évolue en fonction de la température en surface et de la température moyenne en profondeur. La conductivité thermique et la capacité calorifique spécifique du sol déterminent la profondeur à laquelle la température moyenne est atteinte.

>Modèle

ID:(2051, 0)

Iframe

>Top

ID:(15208, 0)

Concept

>Top

Si nous représentons graphiquement la solution pour a température du sol ($T$) en fonction de a profondeur ($z$) et le temps ($t$) en utilisant a température ambiante moyenne ($T_m$), a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), a changement de phase temporelle ($t_0$), a profondeur moyenne de variation ($d_m$) et a profondeur moyenne de variation ($\omega_m$), le résultat est le suivant :

Cela donne une courbe qui, à la surface ($z=0$), montre le maximum de l'été et le minimum de l'hiver en termes de température. La température converge ensuite vers la température moyenne avec la profondeur, restant constante. De plus, il y a un effet d'inertie dans le système :

ID:(15137, 0)

Top

>Top

Paramètres

Variables

$dQ$

dQ

Chaleur transportée

J

$q$

q

Débit de chaleur

W/m^2

$S$

S

Section

m^2

$dt$

dt

Variation temporelle

s

Calculs

• Méthode alternative
• Méthode traditionnelle
• Stratégie
• 2D
• 3D

Équation

Nombre

D'abord, sélectionnez l'équation: à , puis, sélectionnez la variable: à

---

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Calculs

Symbole

Équation

Résolu

Traduit

Variable Donnée Calculer Cible : Équation À utiliser

Équations

ID:(15230, 0)

Équation

>Top, >Modèle

A débit de chaleur ($q$) est défini en fonction de a chaleur transportée ($dQ$), a variation temporelle ($dt$), et a section ($S$) comme suit :

$ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$

Conditions

Variables

$dQ$

Chaleur transportée

$J$

10159

$q$

Débit de chaleur

$W/m^2$

10178

$S$

Section

$m^2$

5205

$dt$

Variation temporelle

$s$

10160

Relation

ID:(15133, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour un conducteur avec les valeurs de le longueur du pilote ($L$) et a section ($S$), le flux de a chaleur transportée ($dQ$) est décrit sous a variation temporelle ($dt$) et a conductivité thermique ($\lambda$) comme suit :

Dans le cas infinitésimal, où Le longueur du pilote ($L$) se réduit à Une distance parcourue ($dz$) et a différence de température dans le conducteur ($\Delta T_0$) devient a variation de température ($dT$), l'équation pour a débit de chaleur ($q$) se simplifie à:

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Conditions

Variables

Relation

Développement

Étant donné que a chaleur transportée ($dQ$) est une fonction de le longueur du pilote ($L$), a section ($S$), a variation temporelle ($dt$), a différence de température dans le conducteur ($\Delta T_0$) et a conductivité thermique ($\lambda$) selon l'équation suivante :

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda }{ L } \Delta T_0 $

Avec l'équation pour a débit de chaleur ($q$) définie comme suit :

$ q \equiv \displaystyle\frac{1}{ S }\displaystyle\frac{ dQ }{ dt }$

Dans le cas infinitésimal, où Le longueur du pilote ($L$) se réduit à Une distance parcourue ($dz$) et a différence de température dans le conducteur ($\Delta T_0$) devient a variation de température ($dT$), l'équation se simplifie à :

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

[1] "Théorie analytique de la chaleur" (La Théorie Analytique de la Chaleur), Joseph Fourier, Cambridge University Press (2009) (original de 1822)

ID:(15132, 0)

Équation

>Top, >Modèle

La définition de a débit de chaleur ($q$) est établie en utilisant a conductivité thermique ($\lambda$) et a variation de température ($dT$) en fonction de a distance parcourue ($dz$) à travers l'équation suivante :

En étudiant le flux de chaleur, nous obtenons l'équation pour a température absolue ($T$) en fonction de a positionner le long d'un axe ($z$), le temps ($t$) et a conductivité thermique ($\lambda$), qui devient le chaleur spécifique ($c$). L'équation pour a densité ($\rho$) se simplifie à :

$ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$

Conditions

Variables

Relation

Développement

La quantité de a chaleur transportée ($dQ$) à travers une distance parcourue ($dz$) peut être calculée en utilisant a débit de chaleur ($q$) et a variation temporelle ($dt$) avec a section ($S$) grâce à l'équation suivante :

$dQ = -\displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(q S dt) dz$

Puisque a débit de chaleur ($q$) avec a variation de température ($dT$) et a conductivité thermique ($\lambda$) est défini comme suit :

$ q = - \lambda \displaystyle\frac{dT}{dz}$

Par conséquent,

$dQ = \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}(\lambda \displaystyle\frac{\partial T}{\partial z}) S dz dt$

D'autre part, nous pouvons relier a chaleur fournie au liquide ou au solide ($\Delta Q_s$) avec a masse ($M$), le chaleur spécifique ($c$) et a variation de température dans un liquide ou un solide ($\Delta T_s$) grâce à l'équation suivante :

$ \Delta Q = M c \Delta T$

Dans ce cas, avec a variation de volume ($dV$), l'équation devient :

$dQ=\rho dV c dT = \rho c S dz dT$

Et enfin, nous obtenons :

$ \displaystyle\frac{\partial T}{\partial t}=\displaystyle\frac{\lambda}{\rho c}\displaystyle\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}$

ID:(15134, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si l'on considère que la température de la surface subit des fluctuations quotidiennes rapides ainsi qu'une variation annuelle lente, et que l'inertie du système empêche les fluctuations quotidiennes d'affecter le sol, nous pouvons estimer la a température du sol ($T$) en fonction de a profondeur ($z$) et de le temps ($t$) tout au long de l'année en tant que solution de l'équation suivante :

où A conductivité thermique ($\lambda$), le chaleur spécifique ($c$) et a densité ($\rho$). Par conséquent, la solution est obtenue avec a température ambiante moyenne ($T_m$), a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), a profondeur moyenne de variation ($d_m$), a changement de phase temporelle ($t_0$) et a profondeur moyenne de variation ($\omega_m$) de la manière suivante :

$ T = T_m - \displaystyle\frac{1}{2} \Delta T_s e^{- z / d_m }\cos( \omega_m ( t - t_0 ) - z / d_m )$

Conditions

Variables

Relation

La valeur de a changement de phase temporelle ($t_0$) est généralement utilisée pour ajuster la solution à l'hémisphère correspondant. À cet égard, dans l'hémisphère nord, ce décalage est presque nul, tandis que dans l'hémisphère sud, il est d'environ un demi-année.

ID:(15135, 0)

Équation

>Top, >Modèle

La solution pour a température du sol ($T$) dans a profondeur ($z$) et le temps ($t$) est obtenue en utilisant a température ambiante moyenne ($T_m$), a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), a changement de phase temporelle ($t_0$), a profondeur moyenne de variation ($d_m$), et a profondeur moyenne de variation ($\omega_m$), ce qui donne :

Cette solution résout l'équation de conduction lorsque a profondeur moyenne de variation ($d_m$) est égal à A conductivité thermique ($\lambda$), le chaleur spécifique ($c$), et a densité ($\rho$) à travers :

$ d_m = \sqrt{\displaystyle\frac{2\lambda}{c\rho\omega_m}}$

Conditions

Variables

Relation

ID:(15136, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour résoudre a température du sol ($T$) dans a profondeur ($z$) et le temps ($t$), nous utilisons a température ambiante moyenne ($T_m$), a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), a changement de phase temporelle ($t_0$), a profondeur moyenne de variation ($d_m$), et a profondeur moyenne de variation ($\omega_m$), ce qui donne :

Cela nous permet de calculer le flux de chaleur à la surface dans le cas où A changement de phase temporelle ($t_0$) est supposé être nul et avec a conductivité thermique ($\lambda$) et a profondeur moyenne de variation ($d_m$) en utilisant :

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

Conditions

Variables

Relation

Développement

Comme a débit de chaleur ($q$) en combinaison avec a conductivité thermique ($\lambda$), a température du sol ($T$) et a profondeur ($z$) donne comme résultat



Pour la solution de a température du sol ($T$) avec a profondeur ($z$) et le temps ($t$), nous utilisons a température ambiante moyenne ($T_m$), a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), a changement de phase temporelle ($t_0$), a profondeur moyenne de variation ($d_m$) et a profondeur moyenne de variation ($\omega_m$) :



Cela est obtenu à la surface ($z=0$) et sans décalage de phase ($t_0=0$) :

ID:(15138, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour résoudre a température du sol ($T$) dans a profondeur ($z$) et le temps ($t$), nous utilisons a température ambiante moyenne ($T_m$), a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), a changement de phase temporelle ($t_0$), a profondeur moyenne de variation ($d_m$), et a profondeur moyenne de variation ($\omega_m$), ce qui donne :

Cela nous permet de calculer le flux de chaleur à la surface dans le cas où A changement de phase temporelle ($t_0$) est supposé être nul et avec a conductivité thermique ($\lambda$) et a profondeur moyenne de variation ($d_m$) en utilisant :

$ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $

Conditions

Variables

Relation

Développement

A débit de chaleur ($q$) en fonction de a conductivité thermique ($\lambda$), a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), a profondeur moyenne de variation ($d_m$), a profondeur moyenne de variation ($\omega_m$), le temps ($t$) et a changement de phase temporelle ($t_0$) est représenté par :

$ q = \displaystyle\frac{ \lambda \Delta T_s }{2 d_m }(\cos \omega_m ( t - t_0 ) - \sin \omega_m ( t - t_0 ))$

Ceci représente le flux total passant à travers la zone au-dessus du sol et le sol lui-même. Dans le premier cas, le flux est égal à Le coefficient de transmission ($\alpha$) en raison de la différence de température entre l'environnement et la surface du sol. Pour la situation où Le temps ($t$) est égal à A changement de phase temporelle ($t_0$), le flux dans la zone au-dessus du sol peut être décrit comme suit :

$\alpha \left(\displaystyle\frac{\Delta T_m}{2}-\displaystyle\frac{\Delta T_s}{2}\right) = \displaystyle\frac{\lambda \Delta T_s}{2 d_m}$

En résolvant pour a variation annuelle de la température du sol ($\Delta T_s$), nous obtenons :

$ \Delta T_s = \displaystyle\frac{ \alpha }{ \alpha + \lambda / d_m } \Delta T_m $

ID:(15139, 0)